Recta de intersección de dos planos
Escriba los coeficientes de dos planos y obtenga la recta en que se cortan, como un punto y una dirección: x+y+z y x−y+z, ambos iguales a 1, se cortan en la recta que pasa por (0,5; 0; 0,5) con dirección (2; 0; −2). Gratis en su navegador.
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Ejemplo resuelto
- A1
- 1
- B1
- 1
- C1
- 1
- D1
- -1
- A2
- 1
- B2
- -1
- N1
- 1, 1, 1
- N2
- 1, -1, 1
- Dirección
- 2, 0, -2
- Dx
- 2
Dos planos distintos en el espacio tridimensional o bien permanecen paralelos y no se encuentran, o bien se cortan a lo largo de una recta única. Hallar esa recta de intersección de dos planos es una tarea clásica de geometría analítica: la dirección es el producto vectorial de los dos vectores normales, y cualquier punto particular que cumpla ambas ecuaciones cartesianas fija la forma paramétrica r de t igual al punto más t por la dirección. Estudiantes, scripts de CAD e ingenieros de gráficos se encuentran una y otra vez con los mismos ocho coeficientes: a1, b1, c1, d1 para el primer plano y a2, b2, c2, d2 para el segundo.
Qué es la recta de intersección y cómo las fórmulas la fijan
Un plano en forma cartesiana es el conjunto de puntos r igual a (x, y, z) que cumplen n · r más d igual a cero, donde n es un vector normal no nulo. Escriba el primer plano como a1 x más b1 y más c1 z más d1 igual a cero y el segundo como a2 x más b2 y más c2 z más d2 igual a cero.
Todo vector que yace en el primer plano es ortogonal a n1 igual a (a1, b1, c1); todo vector que yace en el segundo es ortogonal a n2 igual a (a2, b2, c2). Por tanto cualquier dirección que yace en ambos planos es ortogonal a ambas normales, que es exactamente el sentido geométrico del producto vectorial: la dirección de la recta de intersección es v igual a n1 cruz n2.
Si ese producto vectorial es el vector nulo, las normales son linealmente dependientes, los planos son paralelos —incluido el caso coincidente en que son el mismo plano escrito dos veces— y no hay una recta única que devolver. Cuando el producto vectorial no es nulo los dos planos se encuentran a lo largo de una recta, y la tarea restante es nombrar un punto particular sobre ella.
Este resolvedor elige el único punto de la recta más cercano al origen, que siempre yace en el subespacio generado por n1 y n2. Resolver el sistema de Gram dos por dos n1 · r0 igual a menos d1 y n2 · r0 igual a menos d2 para los coeficientes alfa y beta produce r0 igual a alfa n1 más beta n2.
El determinante de Gram equivale a la longitud al cuadrado de n1 cruz n2 por la identidad de Lagrange, de modo que una dirección no nula garantiza un punto más cercano único. La recta paramétrica es entonces r de t igual a r0 más t por (n1 cruz n2).
Una comprobación de aula es inmediata: los planos x más y más z igual a uno y x menos y más z igual a uno se cortan a lo largo de r de t igual a (un medio, cero, un medio) más t por (dos, cero, menos dos). El plano xy z igual a cero y el plano xz y igual a cero se cortan a lo largo del eje x.
Cada paso es álgebra vectorial elemental sobre ocho escalares, de modo que el resultado es determinista, no itera y nunca depende del reloj ni de una semilla aleatoria.
Dónde resulta útil una calculadora de intersección de dos planos
Las aulas y las plataformas de tutoría usan una calculadora de recta de intersección de dos planos para que el alumnado compruebe la forma paramétrica con coeficientes arbitrarios sin un error de signo en el producto vectorial ni un caso omitido cuando la componente de dirección mayor no es z. Los generadores de exámenes necesitan un oráculo determinista que marque la entrada paralela como inválida en lugar de devolver en silencio un éxito vacío que un calificador defectuoso podría tratar como acierto.
Los scripts de diseño asistido y de modelado sólido recuperan una arista a partir de dos caras adyacentes dadas en forma implícita y luego alimentan la recta paramétrica a un paso de recorte o extrusión. Las canalizaciones de gráficos y de geometría computacional se encuentran con los mismos ocho números cuando se conocen dos planos de recorte, dos planos espejo o dos planos de ligadura y hay que muestrear la bisagra compartida.
La validación fallida no consume saldo, lo que abarata los scripts exploratorios cuando se escriben coeficientes paralelos al aprender el contrato. Mantenga las peticiones pequeñas, fije en las pruebas la dirección y el punto redondeados, y obtendrá una recta reproducible para deberes, complementos LMS, ayudantes CAD y workers de borde sin levantar un sistema de álgebra computacional propio. Prefiera este contrato cuando ambas superficies ya estén escritas como planos cartesianos; si solo tiene tres puntos en cada plano, ajuste primero las dos ecuaciones implícitas y luego llame a este resolvedor.
Si necesita el ángulo entre los planos y no su recta común, esa es otra búsqueda y otra calculadora.
Qué puede hacer con ella
Deberes y exámenes de geometría analítica
Permita que el alumnado envíe los ocho coeficientes de dos planos cartesianos y compruebe la recta paramétrica —dirección n1 cruz n2 y un punto en ambos planos— frente al método del libro.
Bisagras de gráficos y de ligaduras
Convierta dos planos de recorte, de espejo o de ligadura en una recta paramétrica de bisagra que sombreadores, trazadores de rayos y resolvedores puedan evaluar sin un paquete de álgebra computacional.
Preguntas frecuentes
¿Qué ocurre si los planos son paralelos?
Cuando n1 × n2 es el vector nulo los planos son paralelos o coincidentes, de modo que no determinan una recta de intersección única y la llamada no se cobra.
¿En qué forma están las ecuaciones de los planos?
Las ternas (a1,b1,c1) y (a2,b2,c2) son las normales; ninguna puede ser el vector nulo.
¿Qué punto de la recta devuelve el resolvedor?
El único punto de la recta de intersección más cercano al origen. Es la combinación lineal de las dos normales que cumple ambas ecuaciones del plano, de modo que la forma paramétrica es canónica y no depende de qué coordenada se fije a cero.
¿Cómo se obtiene la dirección de la recta?
Es el producto vectorial de los dos vectores normales, formados por los coeficientes de x, y, z de cada plano. Las normales (1; 1; 1) y (1; −1; 1) dan la dirección (2; 0; −2), que está contenida en ambos planos.
¿Cómo compruebo el resultado a mano?
Sustituya el punto en las dos ecuaciones. En el ejemplo, el punto (0,5; 0; 0,5) da 0,5 + 0 + 0,5 en el primer plano y 0,5 − 0 + 0,5 en el segundo: 1 en ambos casos, justo lo que piden las dos ecuaciones.
Herramientas relacionadas
Para desarrolladores — acceso por API
Todo lo de esta página está disponible por programación. Esta sección es para equipos que quieren integrarlo en sus sistemas; el resto puede usar la herramienta de arriba sin más.
Endpoint de API
¿Prefiere automatizarlo? Un POST autenticado crea la tarea; el resultado llega por webhook o enlace firmado. La misma capacidad también se ejecuta aquí en la web, por email y desde Telegram — y pronto también desde nuestra app.
Llámela desde su stack
curl -X POST https://api.kit.forhosting.com/math/line-of-intersection-of-two-planes \
-H "Authorization: Bearer $KIT_KEY" \
-H "Content-Type: application/json" \
-d '{"a1":1,"b1":1,"c1":1,"d1":-1,"a2":1,"b2":-1,"c2":1,"d2":-1}'const res = await fetch("https://api.kit.forhosting.com/math/line-of-intersection-of-two-planes", {
method: "POST",
headers: {
"Authorization": `Bearer ${process.env.KIT_KEY}`,
"Content-Type": "application/json"
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});
const { task_id } = await res.json();import os, requests
res = requests.post(
"https://api.kit.forhosting.com/math/line-of-intersection-of-two-planes",
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json={
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"a2": 1,
"b2": -1,
"c2": 1,
"d2": -1
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)
task_id = res.json()["task_id"]<?php
$res = file_get_contents("https://api.kit.forhosting.com/math/line-of-intersection-of-two-planes", false, stream_context_create([
"http" => [
"method" => "POST",
"header" => "Authorization: Bearer " . getenv("KIT_KEY") . "\r\nContent-Type: application/json",
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],
]));
$task = json_decode($res, true);body := bytes.NewBufferString(`{"a1":1,"b1":1,"c1":1,"d1":-1,"a2":1,"b2":-1,"c2":1,"d2":-1}`)
req, _ := http.NewRequest("POST", "https://api.kit.forhosting.com/math/line-of-intersection-of-two-planes", body)
req.Header.Set("Authorization", "Bearer "+os.Getenv("KIT_KEY"))
req.Header.Set("Content-Type", "application/json")
res, _ := http.DefaultClient.Do(req)Ejemplo de solicitud
{
"a1": 1,
"b1": 1,
"c1": 1,
"d1": -1,
"a2": 1,
"b2": -1,
"c2": 1,
"d2": -1
}Ejemplo de respuesta
{
"task_id": "tsk_a1b2c3d4e5f6a1b2c3d4e5f6",
"type": "math.line_of_intersection_of_two_planes",
"status": "queued",
"_links": {
"result": "/tasks/tsk_…/result"
}
}La API es asíncrona: la llamada devuelve un task_id al instante y el resultado llega por webhook. El polling está limitado a 1 req/s por tarea.
Precio
Precio publicado — sin tokens ni créditos inventados. Una tarea fallida no se cobra.
Límites
max_abs | 1000000000000 |
Errores
| HTTP | Código | Significado |
|---|---|---|
401 | unauthorized | API key ausente o inválida. |
402 | insufficient_balance | El saldo no cubre el precio de la tarea. |
404 | unknown_type | El tipo de tarea no existe. |
429 | rate_limited | Demasiadas peticiones. Use el webhook en vez de sondear. |
Notas técnicas
Esta calculadora acepta esos coeficientes, rechaza una normal nula o un par paralelo con invalid_input, y devuelve el vector director junto con el único punto de la recta más cercano al origen.
Contrato de entrada, forma de la respuesta y conducta ante errores
Si a1, b1 y c1 son todos cero, el plano uno no es un plano y la tarea se rechaza; la misma regla vale para el plano dos. Si el producto vectorial de las normales es numéricamente nulo los planos son paralelos, incluidos los coincidentes, y el manejador falla con un mensaje de que no determinan una recta de intersección única —esos fallos no se cobran—. El punto particular se devuelve tanto como el arreglo point como con los escalares x0, y0, z0. Empareje la respuesta con su propio código de trazado si necesita un croquis; este extremo resuelve solo la recta y no emite mallas ni prosa paso a paso más allá del campo formula. Envíe un cuerpo JSON con ocho números finitos obligatorios: a1, b1, c1, d1 para el primer plano a1 x más b1 y más c1 z más d1 igual a cero, y a2, b2, c2, d2 para el segundo plano escrito igual. Cada coeficiente puede llegar como número JSON o como cadena numérica; se aceptan los alias n1x, n1y, n1z, plane1_d y los nombres homólogos del plano dos. Los campos ausentes, las cadenas vacías, los valores no finitos y las magnitudes por encima del tope publicado de un billón fallan con invalid_input nombrando el campo. En caso de éxito el cuerpo repite los ocho coeficientes, reescribe las dos normales como arreglos n1 y n2, y devuelve direction como el producto vectorial crudo junto con las componentes escalares dx, dy, dz y direction_magnitude. Las cadenas de presentación incluyen plane1 y plane2, las tres ecuaciones de componente paramétrica parametric_x, parametric_y y parametric_z, la forma vectorial parametric_vector, una cadena de forma simétrica y un campo formula que documenta las formas cerradas. El precio es un $0.002 fijo por petición correcta con unidad item.
Dónde resulta útil una calculadora de intersección de dos planos
Como la implementación es parse pura de nivel A, cada llamada correcta cuesta el $0.002 publicado de base, sin tokens de modelo y sin red de salida.
Casos de integración
Aristas CAD a partir de dos caras implícitas
Recupere la arista compartida de dos caras planas adyacentes dadas en forma a1x+b1y+c1z+d1=0 y muestre r(t) para recorte, acotación o extrusión.
Preguntas técnicas
¿Cómo hallo la recta de intersección de dos planos?
Envíe los ocho coeficientes finitos de a1x+b1y+c1z+d1=0 y a2x+b2y+c2z+d2=0. La API devuelve direction = n1 × n2 y el único punto de la recta más cercano al origen, más las cadenas paramétrica y simétrica.
¿Cuánto cuesta la calculadora de recta de intersección de dos planos?
La herramienta del navegador es gratuita. Las peticiones API usan saldo prepago a $0.002 por llamada correcta; la entrada inválida no se cobra.