Retta di intersezione di due piani

Due piani distinti nello spazio tridimensionale restano paralleli e non si incontrano mai, oppure si tagliano lungo una retta unica. Trovare quella retta di intersezione di due piani è un compito classico di geometria analitica: la direzione è il prodotto vettoriale dei due vettori normali, e qualsiasi punto particolare che soddisfa entrambe le equazioni cartesiane fissa la forma parametrica r di t uguale al punto più t per la direzione. Studenti, script CAD e ingegneri grafici incontrano di continuo gli stessi otto coefficienti: a1, b1, c1, d1 per il primo piano e a2, b2, c2, d2 per il secondo.

Che cos'è la retta di intersezione e come le formule la bloccano

Un piano in forma cartesiana è l'insieme dei punti r uguale a (x, y, z) che soddisfano n · r più d uguale a zero, dove n è un vettore normale non nullo. Scriva il primo piano come a1 x più b1 y più c1 z più d1 uguale a zero e il secondo come a2 x più b2 y più c2 z più d2 uguale a zero.

Ogni vettore che giace nel primo piano è ortogonale a n1 uguale a (a1, b1, c1); ogni vettore che giace nel secondo è ortogonale a n2 uguale a (a2, b2, c2). Pertanto qualsiasi direzione che giace in entrambi i piani è ortogonale a entrambe le normali, che è esattamente il senso geometrico del prodotto vettoriale: la direzione della retta di intersezione è v uguale a n1 croce n2.

Se quel prodotto vettoriale è il vettore nullo, le normali sono linearmente dipendenti, i piani sono paralleli — compreso il caso coincidente in cui sono lo stesso piano scritto due volte — e non c'è una retta unica da restituire. Quando il prodotto vettoriale è non nullo i due piani si incontrano lungo una retta, e il compito restante è nominare un punto particolare su quella retta. Questo risolutore sceglie l'unico punto della retta più vicino all'origine, che giace sempre nello spazio generato da n1 e n2.

Risolvere il sistema di Gram due per due n1 · r0 uguale a meno d1 e n2 · r0 uguale a meno d2 per i coefficienti alfa e beta produce r0 uguale ad alfa n1 più beta n2. Il determinante di Gram equivale alla lunghezza al quadrato di n1 croce n2 per l'identità di Lagrange, quindi una direzione non nulla garantisce un punto più vicino unico. La retta parametrica è allora r di t uguale a r0 più t per (n1 croce n2).

Un controllo d'aula è immediato: i piani x più y più z uguale a uno e x meno y più z uguale a uno si incontrano lungo r di t uguale a (un mezzo, zero, un mezzo) più t per (due, zero, meno due). Il piano xy z uguale a zero e il piano xz y uguale a zero si incontrano lungo l'asse x. Ogni passo è algebra vettoriale elementare su otto scalari, quindi il risultato è deterministico, senza iterazione e senza dipendere dall'orologio o da un seme casuale.

Dove una calcolatrice di intersezione di due piani merita il suo posto

Aule e piattaforme di tutoraggio usano una calcolatrice di retta di intersezione di due piani perché gli apprendenti possano controllare la forma parametrica per coefficienti arbitrari senza un errore di segno nel prodotto vettoriale né un caso saltato quando la componente di direzione maggiore non è z. I generatori di prove hanno bisogno di un oracolo deterministico che segni l'ingresso parallelo come non valido invece di restituire in silenzio un successo vuoto che un correttore difettoso potrebbe trattare come un voto positivo.

Gli script di progettazione assistita e di modellazione solida recuperano uno spigolo da due facce adiacenti date in forma implicita, poi immettono la retta parametrica in un passo di ritaglio o estrusione. Le pipeline grafiche e di geometria computazionale incontrano gli stessi otto numeri quando sono noti due piani di ritaglio, due piani specchio o due piani di vincolo e la cerniera condivisa va campionata. La convalida fallita non consuma saldo, il che tiene a basso costo gli script esplorativi quando Lei digita coefficienti paralleli imparando il contratto.

Tenga le richieste piccole, fissi nei test la direzione e il punto arrotondati, e ottiene una retta riproducibile per i compiti, i plugin LMS, gli aiuti CAD e i worker di bordo senza alzare un sistema di algebra computazionale proprio. Preferisca questo contratto quando entrambe le superfici sono già scritte come piani cartesiani; se ha solo tre punti su ciascun piano, adatti prima le due equazioni implicite, poi chiami questo risolutore. Se Le serve l'angolo fra i piani anziché la retta comune, quella è un'altra ricerca e un'altra calcolatrice.