Intersezione retta-piano

Una retta e un piano nello spazio tridimensionale si incontrano in esattamente un punto, non si incontrano mai perché sono paralleli, oppure coincidono in modo che ogni punto della retta giaccia sul piano. Il caso di intersezione unica è la domanda quotidiana di compiti, CAD e motori di gioco: dati un punto e una direzione noti della retta e l'equazione generale del piano ax più by più cz più d uguale a zero, quali sono le coordinate dell'incontro? Questa capacità accetta dieci numeri—l'origine della retta (x0, y0, z0), la direzione (dx, dy, dz) e i coefficienti del piano a, b, c, d—, rifiuta una direzione nulla, una normale di piano nulla e qualsiasi configurazione parallela, e restituisce il parametro parametrico t insieme al punto di intersezione (x, y, z).

Cos'è l'intersezione retta-piano e come funziona la formula

Scriva la retta infinita in forma parametrica come un punto più uno scalare per una direzione: P di t è uguale a (x0, y0, z0) più t per (dx, dy, dz). Scriva il piano infinito in forma cartesiana generale come a per x più b per y più c per z più d uguale a zero, così il vettore normale N è (a, b, c).

Sostituire il punto parametrico nell'equazione del piano produce N prodotto scalare con P di t più d uguale a zero, che si espande in N prodotto scalare con il punto di origine più t per (N prodotto scalare con D) più d uguale a zero. Risolvere il parametro libero dà t uguale a meno il residuo all'origine diviso per il prodotto normale-direzione N·D.

Quando N·D è approssimativamente zero la direzione della retta è ortogonale alla normale del piano, quindi la retta è parallela al piano: o non lo incontra mai oppure giace interamente al suo interno. Un controllo classico è la retta per l'origine con direzione (1, 1, 1) contro il piano orizzontale z uguale a uno (a uguale a zero, b uguale a zero, c uguale a uno, d uguale a meno uno): N·D è uno, il residuo è meno uno, t è uno e l'incontro è (1, 1, 1).

Un altro controllo è qualsiasi retta a direzione orizzontale contro un piano orizzontale a un'altra altezza: il motore deve fallire con un messaggio di parallelo.

Consigli pratici, limiti, ricerche correlate e quando non usarla

Se il Suo piano è dato da tre punti non collineari, formi due vettori di spigolo, prenda il loro prodotto vettoriale per ottenere (a, b, c), poi fissi d in modo che uno dei tre punti soddisfi l'equazione. Se la Sua retta è data da due punti distinti A e B, fissi l'origine in A e la direzione in B meno A.

Nell'insegnare, preferisca esempi accoppiati: origine con direzione uno-uno-uno contro z uguale a uno per l'incontro in (1, 1, 1); una retta verticale contro un piano inclinato per un t non unitario; e una direzione orizzontale contro un piano orizzontale per dimostrare il percorso di rifiuto duro del parallelo. Questa pagina si rivolge a chi cerca una calcolatrice di intersezione retta-piano, retta parametrica 3D che incontra un piano, o trovare il punto di intersezione di una retta con ax più by più cz più d uguale a zero.

Non è uno strumento di clip di raggi che si ferma a un triangolo, né un clip solo di segmento che ignora incontri fuori da [0, 1], né un aiutante di intersezione retta-retta in 2D—sono intenzioni di ricerca diverse con contratti diversi. Preferisca questa capacità quando dispone già di una retta punto-direzione e della forma generale di un piano infinito in tre dimensioni.

I controlli andata e ritorno sono facili: dopo la risoluzione, sostituisca il (x, y, z) restituito in a x più b y più c z più d e confermi che il residuo è approssimativamente zero, e confermi che (x, y, z) è uguale a (x0, y0, z0) più t per (dx, dy, dz) entro la tolleranza floating.