Gerade-Ebene-Schnitt

Eine Gerade und eine Ebene im dreidimensionalen Raum schneiden sich in genau einem Punkt, treffen sich nie, weil sie parallel sind, oder fallen zusammen, sodass jeder Punkt der Geraden auf der Ebene liegt. Der Fall des eindeutigen Schnitts ist die alltägliche Frage in Hausaufgaben, CAD und Spiel-Engines: Gegeben seien ein bekannter Punkt und eine Richtung der Geraden sowie die allgemeine Ebenengleichung ax plus by plus cz plus d gleich null—welche Koordinaten hat der Treffpunkt? Diese Fähigkeit akzeptiert zehn Zahlen—den Ursprung der Geraden (x0, y0, z0), die Richtung (dx, dy, dz) und die Ebenenkoeffizienten a, b, c, d—, lehnt eine Nullrichtung, eine Null-Ebenennormale und jede parallele Konfiguration ab und liefert den Parameter t zusammen mit dem Schnittpunkt (x, y, z).

Drei mögliche Lagen von Gerade und Ebene

Eine Gerade und eine Ebene im Raum treffen sich entweder in genau einem Punkt, verlaufen parallel und treffen sich nie, oder die Gerade liegt vollständig in der Ebene. Nur der erste Fall liefert einen eindeutigen Schnittpunkt, und genau den berechnet dieser Rechner. Die Gerade wird dabei in Parameterform beschrieben: ein bekannter Punkt plus t mal ein Richtungsvektor. Die Ebene steht in allgemeiner Form mit den Koeffizienten a, b, c und d, wobei a, b und c zusammen den Normalenvektor bilden. Das ist die typische Frage aus Hausaufgaben, CAD-Abstandsprüfungen und einfachen Spiel-Engines, wenn ein Strahl auf einen Boden trifft.

So entsteht der Schnittpunkt, und hier passieren Fehler

Setzt man den Geradenpunkt in die Ebenengleichung ein, bleibt eine Gleichung mit der einzigen Unbekannten t. Sie wird gelöst, indem man den Wert der Ebenengleichung im Startpunkt durch das Skalarprodukt aus Normalenvektor und Richtung teilt und das Vorzeichen umkehrt. Beispiel: Start im Ursprung, Richtung (1, 1, 1), waagrechte Ebene auf Höhe 1. Das Skalarprodukt ist 1, der Restwert minus 1, also ist t gleich 1 und der Treffer (1, 1, 1). Ist das Skalarprodukt null, ist die Gerade parallel, und es gibt keinen einzelnen Punkt. Abgelehnt werden außerdem eine Richtung aus lauter Nullen und eine Ebene, deren Normalenvektor null ist.

Was der Gerade-Ebene-Schnitt ist und wie die Formel arbeitet

Schreiben Sie die unendliche Gerade in parametrischer Form als Punkt plus Skalar mal Richtung: P von t gleich (x0, y0, z0) plus t mal (dx, dy, dz). Schreiben Sie die unendliche Ebene in allgemeiner kartesischer Form als a mal x plus b mal y plus c mal z plus d gleich null, sodass der Normalenvektor N gleich (a, b, c) ist.

Setzen Sie den parametrischen Punkt in die Ebenengleichung ein, so ergibt sich N Skalarprodukt mit P von t plus d gleich null, was sich zu N Skalarprodukt mit dem Ursprungspunkt plus t mal (N Skalarprodukt mit D) plus d gleich null erweitert. Lösen nach dem freien Parameter ergibt t gleich minus dem Residual am Ursprung geteilt durch das Normalen-Richtungs-Produkt N·D. Die Schnittkoordinaten sind dann x gleich x0 plus t mal dx und dasselbe Muster für y und z.

Wenn N·D näherungsweise null ist, steht die Geradenrichtung orthogonal zur Ebenennormalen, also ist die Gerade parallel zur Ebene: Entweder trifft sie sie nie, oder sie liegt vollständig in ihr. Eine klassische Kontrolle ist die Gerade durch den Ursprung mit Richtung (1, 1, 1) gegen die horizontale Ebene z gleich eins (a gleich null, b gleich null, c gleich eins, d gleich minus eins): N·D ist eins, Residual ist minus eins, t ist eins und der Treffer ist (1, 1, 1).

Eine weitere Kontrolle ist jede Gerade mit horizontaler Richtung gegen eine horizontale Ebene in anderer Höhe: Die Engine muss mit einer Parallel-Meldung scheitern.

Praktische Tipps, Grenzen, verwandte Suchen und wann Sie dies nicht nutzen

Wenn Ihre Ebene durch drei nicht kollineare Punkte gegeben ist, bilden Sie zwei Kantenvektoren, nehmen Sie ihr Kreuzprodukt zu (a, b, c) und setzen Sie d so, dass einer der drei Punkte die Gleichung erfüllt. Wenn Ihre Gerade durch zwei verschiedene Punkte A und B gegeben ist, setzen Sie den Ursprung auf A und die Richtung auf B minus A.

Beim Unterrichten bevorzugen Sie gepaarte Beispiele: Ursprung mit Richtung eins-eins-eins gegen z gleich eins für den Treffer bei (1, 1, 1); eine vertikale Gerade gegen eine geneigte Ebene für ein nicht-einheitliches t; und eine horizontale Richtung gegen eine horizontale Ebene, um den harten Parallel-Ablehnungspfad zu zeigen. Diese Landing-Page zielt auf Personen, die nach einem Gerade-Ebene-Schnittrechner, einer parametrischen 3D-Gerade, die eine Ebene trifft, oder dem Schnittpunkt einer Geraden mit ax plus by plus cz plus d gleich null suchen.

Es ist kein Strahl-Clipping-Werkzeug, das an einem Dreieck stoppt, kein Segment-Clip, das Treffer außerhalb von [0, 1] ignoriert, und kein 2D-Gerade-Gerade-Schnitt-Helfer—das sind andere Suchabsichten mit anderen Verträgen. Bevorzugen Sie diese Fähigkeit, wenn Sie bereits eine Punkt-Richtungs-Gerade und die allgemeine Form einer unendlichen Ebene in drei Dimensionen haben.

Round-Trip-Prüfungen sind einfach: Setzen Sie nach dem Lösen den gelieferten (x, y, z) in a x plus b y plus c z plus d ein und bestätigen Sie, dass das Residual näherungsweise null ist, und bestätigen Sie, dass (x, y, z) innerhalb der Gleitkommatoleranz gleich (x0, y0, z0) plus t mal (dx, dy, dz) ist.