Lotfusspunkt-Rechner
Finden Sie den Punkt einer Geraden, der einem gegebenen Punkt am nächsten liegt: Das Lot vom Ursprung auf die Gerade 3x + 4y − 5 = 0 trifft bei (0,6 | 0,8) auf, im Abstand 1. Sie sehen auch, ob er schon darauf lag. Kostenlos in Ihrem Browser.
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Rechenbeispiel
- A
- 3
- B
- 4
- C
- -5
- X
- 0
- Y
- 0
- Lotfußpunkt (x)
- 0,6
- Lotfußpunkt (y)
- 0,8
- Entfernung
- 1
- Nenner
- 25
Der Fuss des Lotes ist der eindeutige Punkt einer unendlichen Geraden, der einem gegebenen aussenliegenden Punkt am nächsten liegt. Vermesser nutzen ihn, wenn sie einen Bezugspunkt auf eine Grundstücksgrenze projizieren; Schüler brauchen ihn, wenn ein Lehrbuch die Koordinaten der Projektion eines Punktes auf eine Gerade der Form ax plus by plus c gleich null verlangt; CAD- und Spiel-Engines brauchen den Fuss beim Einrasten eines Scheitelpunkts oder einer Figur an eine Wandbedingung; und robotische Pfadplaner verwenden ihn, wenn sie einen Endeffektor an eine lineare Führung binden. Diese Fähigkeit akzeptiert die fünf Zahlen a, b, c, x und y, lehnt den entarteten Fall ab, in dem a und b beide null sind, weil diese Gleichung keine Gerade ist, und liefert die Fusskoordinaten zusammen mit dem senkrechten Abstand und einem Flag, das wahr ist, wenn der Punkt bereits auf der Geraden liegt.
Was der Lotfußpunkt ist und wie er entsteht
Der Lotfußpunkt ist der Punkt einer unendlichen Geraden, der einem gegebenen Punkt am nächsten liegt. Sie schreiben die Gerade in allgemeiner Form mit den Koeffizienten a, b und c; das Paar aus a und b steht dabei senkrecht auf der Geraden. Setzen Sie den Punkt in die Gleichung ein, erhalten Sie einen Rest. Teilt man ihn durch die Summe der Quadrate von a und b, weiß man, wie weit man entlang dieser Senkrechten zurückgehen muss. Für die Gerade 3x + 4y − 5 = 0 und den Ursprung ist der Rest minus fünf, der Nenner 25, der Fußpunkt liegt bei (0,6 | 0,8) und der Abstand beträgt genau 1.
Wofür man ihn braucht und typische Fehler
Vermesser projizieren damit einen Messpunkt auf eine Grundstücksgrenze, und in CAD, Spielen oder der Robotik rastet ein Punkt so an einer Wand oder einer linearen Führung ein. Ein häufiger Umweg ist, die Gerade erst in Steigung und Achsenabschnitt umzurechnen; das ist hier nicht nötig. Liegt der Punkt bereits auf der Geraden, ist der Rest null, der Fußpunkt fällt mit dem Punkt zusammen und der Abstand ist null. Sind a und b beide null, beschreibt die Gleichung keine Gerade, und der Rechner meldet das, statt Koordinaten zu erfinden.
Was die Fussformel ist und wie die Zahlen wirken
Schreiben Sie die unendliche Gerade in allgemeiner kartesischer Form als a mal x plus b mal y plus c gleich null. Das Paar (a, b) ist ein Normalenvektor der Geraden: er zeigt senkrecht zu jeder Richtung, die auf der Geraden bleibt. Die quadrierte Länge dieser Normalen ist der Nenner a im Quadrat plus b im Quadrat.
Für einen Abfragepunkt (x, y) bilden Sie das Residual r gleich a mal x plus b mal y plus c. Der Fuss des Lotes entsteht, indem man den Abfragepunkt entlang der Einheitsnormalen um den vorzeichenbehafteten Abstand r geteilt durch die Normalenlänge verschiebt. Wenn das Residual null ist, erfüllt der Punkt bereits die Geradengleichung, der Fuss fällt mit dem Punkt zusammen und der Abstand ist null.
Ein klassischer Plausibilitätstest ist die Gerade drei x plus vier y minus fünf gleich null (3-4-5-Normale) und der Ursprung: Residual minus fünf, denom fünfundzwanzig, Fuss bei (drei Fünftel, vier Fünftel), Abstand eins. Jeder Schritt ist elementare Arithmetik und eine Quadratwurzel für das optionale Distanzfeld, also keine Iteration, kein Sampling, keine Abhängigkeit von der Wanduhr und kein Bedarf an Steigung oder Achsenabschnitt im Eingabevertrag.
Anwendungsfälle
Einen Bezugspunkt auf eine Vermessungs- oder Grundstücksgrenze projizieren
Fallen Sie das Lot von einem gemessenen Punkt auf eine Grenzgerade in allgemeiner Form und erfassen Sie den Fuss als offizielle Projektion auf den Rand.
Einen Scheitelpunkt oder Agenten an eine Wandbedingung einrasten
In CAD, Spielen oder Robotik verschieben Sie einen Punkt auf die nächste Stelle einer unendlichen linearen Bedingung, indem Sie den Fuss des Lotes berechnen.
Häufige Fragen
Wie lautet die Formel für den Fuss des Lotes?
Der Fuss liegt auf der Geraden und die Strecke vom Punkt zum Fuss steht senkrecht zur Geraden.
Was, wenn der Punkt bereits auf der Geraden liegt?
Über dieselbe Formel hinaus ist kein Sonderfall nötig.
Ist das dasselbe wie Punkt-Geraden-Abstand?
Verwandt, aber andere Absicht. Abstand liefert nur die Länge der Senkrechten. Diese Fähigkeit liefert die Fusskoordinaten (und distance als Komfortfeld).
Warum wird eine Gerade mit a und b gleich null abgelehnt?
Sind beide Koeffizienten null, schrumpft die Gleichung auf die Konstante c und beschreibt keine Gerade. Statt Koordinaten zu erfinden, bittet Sie der Rechner, die Koeffizienten zu korrigieren.
Muss ich die Gerade mit Steigung und Achsenabschnitt angeben?
Nein. Sie geben die Gerade in der allgemeinen Form mit den drei Koeffizienten a, b und c ein. Eine Umrechnung in Steigung und Achsenabschnitt ist vor der Rechnung nicht nötig.
Verwandte Tools
Für Entwickler — API-Zugang
Alles auf dieser Seite ist auch per API verfügbar. Dieser Abschnitt richtet sich an Teams, die es in ihre eigenen Systeme einbinden möchten; alle anderen nutzen einfach das Tool oben.
Endpunkt
Authentifizierung per Bearer-Token. Ein einziger POST stellt die Aufgabe in die Warteschlange; das Ergebnis erhalten Sie per Webhook oder über einen signierten Link.
Aufruf aus Ihrem Stack
curl -X POST https://api.kit.forhosting.com/geom/foot-of-perpendicular \
-H "Authorization: Bearer $KIT_KEY" \
-H "Content-Type: application/json" \
-d '{"a":3,"b":4,"c":-5,"x":0,"y":0}'const res = await fetch("https://api.kit.forhosting.com/geom/foot-of-perpendicular", {
method: "POST",
headers: {
"Authorization": `Bearer ${process.env.KIT_KEY}`,
"Content-Type": "application/json"
},
body: JSON.stringify({
"a": 3,
"b": 4,
"c": -5,
"x": 0,
"y": 0
})
});
const { task_id } = await res.json();import os, requests
res = requests.post(
"https://api.kit.forhosting.com/geom/foot-of-perpendicular",
headers={"Authorization": f"Bearer {os.environ['KIT_KEY']}"},
json={
"a": 3,
"b": 4,
"c": -5,
"x": 0,
"y": 0
},
)
task_id = res.json()["task_id"]<?php
$res = file_get_contents("https://api.kit.forhosting.com/geom/foot-of-perpendicular", false, stream_context_create([
"http" => [
"method" => "POST",
"header" => "Authorization: Bearer " . getenv("KIT_KEY") . "\r\nContent-Type: application/json",
"content" => '{"a":3,"b":4,"c":-5,"x":0,"y":0}',
],
]));
$task = json_decode($res, true);body := bytes.NewBufferString(`{"a":3,"b":4,"c":-5,"x":0,"y":0}`)
req, _ := http.NewRequest("POST", "https://api.kit.forhosting.com/geom/foot-of-perpendicular", body)
req.Header.Set("Authorization", "Bearer "+os.Getenv("KIT_KEY"))
req.Header.Set("Content-Type", "application/json")
res, _ := http.DefaultClient.Do(req)Beispiel-Anfrage
{
"a": 3,
"b": 4,
"c": -5,
"x": 0,
"y": 0
}Beispiel-Antwort
{
"task_id": "tsk_a1b2c3d4e5f6a1b2c3d4e5f6",
"type": "geom.foot_of_perpendicular",
"status": "queued",
"_links": {
"result": "/tasks/tsk_…/result"
}
}Die API arbeitet asynchron: Sie erhalten sofort eine task_id. Polling ist mit 1 Anfrage pro Sekunde erlaubt.
Preis
Der Preis steht auf der Seite – keine Tokens, keine Credits. Fehlgeschlagene Aufgaben werden nicht berechnet.
Fehler
| HTTP | Code | Bedeutung |
|---|---|---|
401 | unauthorized | Der API-Schlüssel fehlt oder ist ungültig – prüfen Sie den Authorization-Header (Bearer). |
402 | insufficient_balance | Ihr Guthaben reicht für diese Aufgabe nicht aus – Aufladungen verfallen nicht. |
404 | unknown_type | Unbekannter Aufgabentyp – prüfen Sie das Feld „type“ gegen den Katalog. |
429 | rate_limited | Zu viele Anfragen – warten Sie kurz; Polling ist mit 1 Anfrage pro Sekunde erlaubt. |
Technische Hinweise
Die Ergebnisse sind deterministisches JSON mit fester Dezimalrundung—ohne Computer-Algebra-System, ohne Zufallskeime und mit derselben reinen Lösungsfunktion im kostenlosen Browser-Werkzeug und im vorausbezahlten API-Pfad—, sodass Hausaufgabenprüfungen, Bewertungsskripte und Produktionspipelines jedes Mal dieselben Zahlen sehen.
Was die Fussformel ist und wie die Zahlen wirken
In geschlossener Form ist foot_x gleich x minus a mal r durch denom und foot_y gleich y minus b mal r durch denom. Wenn a und b beide null sind, sinkt der Ausdruck auf die Konstante c und definiert überhaupt keine Gerade—dieses Werkzeug liefert invalid_input statt erfundene Koordinaten. Ein weiterer Test ist jeder bekannte Punkt auf der Geraden: der Fuss muss dem Punkt gleichen und on_line muss wahr sein.
Wie Sie die API aufrufen und was zurückkommt
Nutzen Sie sie für Geometrie-Hausaufgaben-Pipelines, Bau-Projektionsskripte, Spiel-Snap-Werkzeuge, Interview-Sandboxes, GIS-Orthogonalprojektionsprüfungen oder jeden Workflow, der einen reproduzierbaren Lotfusspunkt braucht, ohne auf jeder Maschine ein Computer-Algebra-Paket zu installieren. Senden Sie einen JSON-Körper mit fünf numerischen Feldern. Feld a ist der erste Koeffizient der Geraden; die Aliasse A und coeff_a werden akzeptiert. Feld b ist der zweite Koeffizient; die Aliasse B und coeff_b haben dieselbe Bedeutung. Feld c ist der konstante Term; die Aliasse C und coeff_c werden akzeptiert. Feld x ist die horizontale Koordinate des aussenliegenden Punktes; die Aliasse x0, px und point_x funktionieren. Feld y ist die vertikale Koordinate; die Aliasse y0, py und point_y funktionieren. Bei Erfolg wiederholt die Antwort a, b, c, x und y, ergänzt foot_x und foot_y (Koordinaten des Lotfusspunkts auf der Geraden), distance (nichtnegativer senkrechter Abstand vom Punkt zum Fuss), on_line (wahr, wenn das Residual null ist), denom (a im Quadrat plus b im Quadrat), method gesetzt auf foot_of_perpendicular und einen kurzen formula-Block mit den geschlossenen Formen. Fehlgeschlagene Validierung—fehlendes Pflichtfeld, nicht endliche Zahl, Wert ausserhalb der veröffentlichten Absolutgrenzen oder Paar a und b beide null—liefert invalid_input und wird nie berechnet. Der Preis ist ein fester Betrag von $0.002 pro erfolgreicher Anfrage mit Einheit item.
Praktische Tipps, Grenzen und verwandte Suchen
Wenn Ihre Gerade durch zwei Punkte (x1, y1) und (x2, y2) gegeben ist, wandeln Sie zuerst um: a ist y1 minus y2, b ist x2 minus x1, c ist x1 mal y2 minus x2 mal y1 (oder jedes nichtnullfache Vielfache). Bevorzugen Sie diese Fähigkeit, wenn Sie bereits die allgemeine Form einer unendlichen Geraden haben und den Fusspunkt selbst brauchen, nicht nur den Abstand. Halten Sie Koeffizienten und Koordinaten im veröffentlichten Absolutbereich bis zu einer Billion, damit Zwischenprodukte in IEEE-Doppelpräzision auf dem Worker und im Browser endlich bleiben. Einheiten sind, was Sie übergeben—Meter, Fuss oder Spieleinheiten—solange a, b, c, x und y mit einer einzigen Längeneinheit für das Distanzresultat konsistent sind; die API rechnet Einheiten nicht für Sie um. Beim Unterrichten bevorzugen Sie gepaarte Beispiele: drei-vier-minus-fünf am Ursprung für Fuss (0.6, 0.8) und Abstand eins; einen Punkt auf der Geraden für zusammenfallenden Fuss und on_line wahr; und a gleich b gleich null, um den harten Ablehnungspfad zu zeigen, der Aufrufer vor einer Nicht-Geraden schützt. Weil die Formel nur fünf Skalare braucht, können Schüler Residual, denom und die beiden Fusskoordinaten mit kleinen ganzen Zahlen von Hand nachrechnen und die API Zeile für Zeile abgleichen. Diese Seite richtet sich an Personen, die nach einem Lotfusspunkt-Rechner oder den Koordinaten der Projektion eines Punktes auf ax plus by plus c gleich null suchen; es ist kein Segment-Projektionswerkzeug—das Einklemmen des Fusses auf ein endliches Segment braucht Endpunktlogik ausserhalb des Umfangs hier. Fehlgeschlagene Aufgaben mit invalid_input verbrauchen kein vorausbezahltes Guthaben, was explorative Skripte günstig hält, wenn Nutzer beim Lernen des Vertrags eine verschwindende Normale tippen. Round-Trip-Prüfungen sind einfach: bestätigen Sie nach dem Lösen, dass a mal foot_x plus b mal foot_y plus c ungefähr null ist, dass distance der euklidischen Länge von (x, y) zu (foot_x, foot_y) gleicht und dass on_line genau dann wahr ist, wenn distance null ist.
Integrationsbeispiele
Hausaufgaben- und Prüfungschecks für den Lotfusspunkt
Geben Sie Schülern eine Gerade ax+by+c=0 und einen Punkt; vergleichen Sie ihre handberechneten Fusskoordinaten mit einem deterministischen API- oder kostenlosen Browser-Ergebnis.
Technische Fragen
Warum werden a und b beide null abgelehnt?
Wenn a=b=0 reduziert sich die Gleichung auf c=0 oder einen Widerspruch und definiert keine Gerade. Dieses Werkzeug liefert invalid_input statt erfundener Fusskoordinaten.
Ist der Lotfusspunkt-Rechner kostenlos?
Das Browser-Werkzeug ist kostenlos und läuft lokal. API-Aufrufe nutzen vorausbezahltes KIT-Guthaben zu $0.002 pro erfolgreicher Anfrage; fehlgeschlagene Aufgaben werden nie berechnet.