Pe da perpendicular
Encontre o ponto de uma reta mais próximo de outro ponto: a perpendicular baixada da origem até a reta 3x + 4y − 5 = 0 cai em (0,6, 0,8), a uma distância de 1. Você também vê se o ponto já estava sobre a reta. Grátis no seu navegador.
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Exemplo resolvido
- A
- 3
- B
- 4
- C
- -5
- X
- 0
- Y
- 0
- Pé da perpendicular (x)
- 0,6
- Pé da perpendicular (y)
- 0,8
- Distância
- 1
- Denominador
- 25
O pé da perpendicular é o ponto único de uma reta infinita mais próximo de um ponto externo dado. Topógrafos o usam ao projetar um marco sobre a borda de uma propriedade; estudantes precisam dele quando o livro pede as coordenadas da projeção de um ponto sobre uma reta escrita como ax mais by mais c igual a zero; motores CAD e de jogos o exigem ao encaixar um vértice ou personagem em uma restrição de parede; e planejadores robóticos o empregam ao limitar um efetuador final a um guia linear. Esta capacidade aceita os cinco números a, b, c, x e y, rejeita o caso degenerado em que a e b são ambos zero porque essa equação não é uma reta, e devolve as coordenadas do pé junto com a distância perpendicular e um indicador verdadeiro quando o ponto já está sobre a reta.
O que é a fórmula do pé e como os números funcionam
Escreva a reta infinita na forma geral cartesiana como a vezes x mais b vezes y mais c igual a zero. O par (a, b) é um vetor normal à reta: aponta na perpendicular a toda direção que permanece sobre a reta. O comprimento ao quadrado dessa normal é o denominador a ao quadrado mais b ao quadrado.
Para um ponto de consulta (x, y), forme o residual r igual a a vezes x mais b vezes y mais c. O pé da perpendicular obtém-se deslocando o ponto de consulta ao longo da normal unitária pela distância com sinal r sobre o comprimento da normal. Quando o residual é zero, o ponto já satisfaz a equação da reta, o pé coincide com o ponto e a distância é zero.
Uma verificação clássica é a reta três x mais quatro y menos cinco igual a zero (normal 3-4-5) e a origem: residual menos cinco, denom vinte e cinco, pé em (três quintos, quatro quintos), distância um. Cada passo é aritmética elementar e uma raiz quadrada para o campo opcional de distância, de modo que não há iteração, nem amostragem, nem dependência do relógio de parede, nem necessidade de inclinação ou intercepto no contrato de entrada.
Casos de uso
Projetar um marco sobre uma borda de topografia ou propriedade
Baixe uma perpendicular de um ponto medido até uma linha de limite em forma geral e registre o pé como projeção oficial sobre a borda.
Encaixar um vértice ou agente a uma restrição de parede
Em CAD, jogos ou robótica, mova um ponto para a localização mais próxima sobre uma restrição linear infinita calculando o pé da perpendicular.
Perguntas frequentes
Qual é a fórmula do pé da perpendicular?
O pé está sobre a reta e o segmento do ponto ao pé é perpendicular à reta.
E se o ponto já estiver sobre a reta?
Não é necessário um caso especial além da mesma fórmula.
É a mesma coisa que distância ponto a reta?
Relacionado, mas com intenção diferente. A distância devolve apenas o comprimento da perpendicular. Esta capacidade devolve as coordenadas do pé (e inclui distance como campo de conveniência).
A calculadora do pé da perpendicular é gratuita?
A ferramenta do navegador é gratuita e roda localmente.
Por que uma reta com a e b iguais a zero é recusada?
Com os dois coeficientes em zero, a equação vira apenas a constante c e não descreve reta nenhuma. Em vez de inventar coordenadas, a ferramenta pede que você corrija os coeficientes.
Ferramentas relacionadas
Para desenvolvedores — acesso via API
Tudo nesta página está disponível via API. Esta seção é para equipes que querem integrar a ferramenta aos próprios sistemas; quem não precisa disso pode simplesmente usar a ferramenta acima.
Endpoint
Autenticação por token Bearer. Um único POST coloca a tarefa na fila; o resultado chega por webhook ou link assinado.
Chame do seu código
curl -X POST https://api.kit.forhosting.com/geom/foot-of-perpendicular \
-H "Authorization: Bearer $KIT_KEY" \
-H "Content-Type: application/json" \
-d '{"a":3,"b":4,"c":-5,"x":0,"y":0}'const res = await fetch("https://api.kit.forhosting.com/geom/foot-of-perpendicular", {
method: "POST",
headers: {
"Authorization": `Bearer ${process.env.KIT_KEY}`,
"Content-Type": "application/json"
},
body: JSON.stringify({
"a": 3,
"b": 4,
"c": -5,
"x": 0,
"y": 0
})
});
const { task_id } = await res.json();import os, requests
res = requests.post(
"https://api.kit.forhosting.com/geom/foot-of-perpendicular",
headers={"Authorization": f"Bearer {os.environ['KIT_KEY']}"},
json={
"a": 3,
"b": 4,
"c": -5,
"x": 0,
"y": 0
},
)
task_id = res.json()["task_id"]<?php
$res = file_get_contents("https://api.kit.forhosting.com/geom/foot-of-perpendicular", false, stream_context_create([
"http" => [
"method" => "POST",
"header" => "Authorization: Bearer " . getenv("KIT_KEY") . "\r\nContent-Type: application/json",
"content" => '{"a":3,"b":4,"c":-5,"x":0,"y":0}',
],
]));
$task = json_decode($res, true);body := bytes.NewBufferString(`{"a":3,"b":4,"c":-5,"x":0,"y":0}`)
req, _ := http.NewRequest("POST", "https://api.kit.forhosting.com/geom/foot-of-perpendicular", body)
req.Header.Set("Authorization", "Bearer "+os.Getenv("KIT_KEY"))
req.Header.Set("Content-Type", "application/json")
res, _ := http.DefaultClient.Do(req)Exemplo de requisição
{
"a": 3,
"b": 4,
"c": -5,
"x": 0,
"y": 0
}Exemplo de resposta
{
"task_id": "tsk_a1b2c3d4e5f6a1b2c3d4e5f6",
"type": "geom.foot_of_perpendicular",
"status": "queued",
"_links": {
"result": "/tasks/tsk_…/result"
}
}A API é assíncrona: cada chamada devolve um task_id na hora. Se preferir polling, consulte o status a até 1 requisição por segundo.
Preço
Preço publicado, sem tokens nem créditos escondidos. Tarefa que falha não é cobrada.
Erros
| HTTP | Código | O que significa |
|---|---|---|
401 | unauthorized | Token ausente ou inválido. Confira o header Authorization. |
402 | insufficient_balance | Saldo insuficiente para esta tarefa. Faça uma recarga e tente de novo. |
404 | unknown_type | Esse tipo de tarefa não existe. Confira o campo type no catálogo. |
429 | rate_limited | Muitas requisições em pouco tempo. Espere um instante e tente de novo. |
Notas técnicas
Os resultados são JSON determinístico com arredondamento decimal fixo—sem sistema de álgebra computacional, sem sementes aleatórias e com a mesma função pura de resolução na ferramenta gratuita do navegador e na rota de API pré-paga—, de modo que verificações de dever de casa, scripts de correção e pipelines de produção veem sempre os mesmos números.
O que é a fórmula do pé e como os números funcionam
Em forma fechada, foot_x é x menos a vezes r sobre denom e foot_y é y menos b vezes r sobre denom. Quando a e b são ambos zero, a expressão reduz-se à constante c e não define uma reta de forma alguma—esta ferramenta devolve invalid_input em vez de inventar coordenadas. Outra verificação é qualquer ponto conhecido sobre a reta: o pé deve igualar o ponto e on_line deve ser verdadeiro.
Como chamar a API e o que ela devolve
Use em pipelines de dever de geometria, scripts de projeção em obra, ferramentas de encaixe em jogos, sandboxes de preparação de entrevistas, checagens ortográficas de queda GIS ou qualquer fluxo que precise de um pé da perpendicular reproduzível sem instalar um pacote de álgebra computacional em cada máquina. Envie um corpo JSON com cinco campos numéricos. O campo a é o primeiro coeficiente da reta; aceitam-se os aliases A e coeff_a. O campo b é o segundo coeficiente; os aliases B e coeff_b têm o mesmo significado. O campo c é o termo constante; aceitam-se os aliases C e coeff_c. O campo x é a coordenada horizontal do ponto externo; funcionam os aliases x0, px e point_x. O campo y é a coordenada vertical; funcionam os aliases y0, py e point_y. Em caso de sucesso a resposta repete a, b, c, x e y, acrescenta foot_x e foot_y (coordenadas do pé da perpendicular sobre a reta), distance (comprimento perpendicular não negativo do ponto ao pé), on_line (verdadeiro quando o residual é zero), denom (a ao quadrado mais b ao quadrado), method igual a foot_of_perpendicular, e um bloco formula breve que documenta as formas fechadas. A validação falhada—campo obrigatório ausente, número não finito, valor fora dos limites absolutos publicados, ou par a e b ambos zero—devolve invalid_input e nunca é cobrada. O preço é um fixo de US$ 0,002 por requisição bem-sucedida com unidade item.
Dicas práticas, limites e buscas relacionadas
Se a reta for dada por dois pontos (x1, y1) e (x2, y2), converta primeiro: a é y1 menos y2, b é x2 menos x1, c é x1 vezes y2 menos x2 vezes y1 (ou qualquer múltiplo não nulo). Esta página destina-se a quem busca uma calculadora do pé da perpendicular ou as coordenadas da projeção de um ponto sobre ax mais by mais c igual a zero; não é uma ferramenta de projeção sobre segmento—restringir o pé a um segmento finito precisa de lógica de extremos fora do escopo aqui. Prefira esta capacidade quando já dispuser da forma geral de uma reta infinita e precisar do ponto pé em si, não apenas da distância. Mantenha coeficientes e coordenadas dentro do intervalo absoluto publicado até um trilhão para que os produtos intermediários permaneçam finitos em precisão dupla IEEE no Worker e no navegador. As unidades são as que você passar—metros, pés ou unidades de jogo—desde que a, b, c, x e y sejam coerentes com uma única unidade de comprimento para o resultado de distância; a API não converte unidades por você. Ao ensinar, prefira exemplos emparelhados: três-quatro-menos-cinco na origem para pé (0.6, 0.8) e distância um; um ponto sobre a reta para pé coincidente e on_line verdadeiro; e a igual a b igual a zero para demonstrar a rejeição rígida que protege os chamadores de uma não-reta. Como a fórmula só precisa de cinco escalares, os alunos podem recalcular à mão residual, denom e as duas coordenadas do pé com inteiros pequenos e conferir a API linha a linha. Tarefas falhas que devolvem invalid_input não consomem saldo pré-pago, o que mantém baratos os scripts exploratórios quando os usuários digitam uma normal nula ao aprender o contrato. Verificações de ida e volta são fáceis: após resolver, confirme que a vezes foot_x mais b vezes foot_y mais c é aproximadamente zero, que distance é o comprimento euclidiano de (x, y) a (foot_x, foot_y), e que on_line é verdadeiro exatamente quando distance é zero.
Casos de integração
Checagens de dever e provas do pé de uma perpendicular
Dê aos alunos uma reta ax+by+c=0 e um ponto; compare as coordenadas do pé calculadas à mão com um resultado determinístico da API ou do navegador gratuito.
Perguntas técnicas
Por que a e b ambos zero são rejeitados?
Se a=b=0 a equação reduz-se a c=0 ou a uma contradição e não define uma reta. Esta ferramenta devolve invalid_input em vez de inventar coordenadas do pé.