Intersection droite-plan

Une droite et un plan dans l'espace tridimensionnel se rencontrent en exactement un point, ne se rencontrent jamais car ils sont parallèles, ou coïncident de sorte que tout point de la droite appartient au plan. Le cas d'intersection unique est la question courante des devoirs, du CAD et des moteurs de jeu : étant donnés un point et une direction connus de la droite et l'équation générale du plan ax plus by plus cz plus d égale zéro, quelles sont les coordonnées de la rencontre ? Cette capacité accepte dix nombres—l'origine de la droite (x0, y0, z0), la direction (dx, dy, dz) et les coefficients du plan a, b, c, d—, rejette une direction nulle, une normale de plan nulle et toute configuration parallèle, et renvoie le paramètre paramétrique t avec le point d'intersection (x, y, z).

Ce qu'est l'intersection droite-plan et comment la formule fonctionne

Écrivez la droite infinie sous forme paramétrique comme un point plus un scalaire multiplié par une direction : P de t égale (x0, y0, z0) plus t multiplié par (dx, dy, dz). Écrivez le plan infini sous forme cartésienne générale comme a multiplié par x plus b multiplié par y plus c multiplié par z plus d égale zéro, de sorte que le vecteur normal N égale (a, b, c).

Substituer le point paramétrique dans l'équation du plan donne N produit scalaire avec P de t plus d égale zéro, ce qui se développe en N produit scalaire avec le point d'origine plus t multiplié par (N produit scalaire avec D) plus d égale zéro. Résoudre le paramètre libre donne t égale moins le résidu à l'origine divisé par le produit normale-direction N·D. Les coordonnées d'intersection sont alors x égale x0 plus t multiplié par dx, et le même schéma pour y et z.

Lorsque N·D est approximativement zéro, la direction de la droite est orthogonale à la normale du plan, donc la droite est parallèle au plan : soit elle ne le rencontre jamais, soit elle est entièrement contenue. Un contrôle classique est la droite passant par l'origine de direction (1, 1, 1) face au plan horizontal z égale un (a égale zéro, b égale zéro, c égale un, d égale moins un) : N·D vaut un, le résidu vaut moins un, t vaut un et la rencontre est (1, 1, 1).

Un autre contrôle est toute droite de direction horizontale face à un plan horizontal à une autre hauteur : le moteur doit échouer avec un message de parallèle.

Conseils pratiques, limites, recherches liées et quand ne pas l'utiliser

Si votre plan est donné par trois points non colinéaires, formez deux vecteurs d'arête, prenez leur produit vectoriel pour obtenir (a, b, c), puis fixez d de sorte qu'un des trois points satisfasse l'équation. Si votre droite est donnée par deux points distincts A et B, fixez l'origine à A et la direction à B moins A.

En enseignant, préférez des exemples appariés : origine avec direction un-un-un face à z égale un pour la rencontre en (1, 1, 1) ; une droite verticale face à un plan incliné pour un t non unitaire ; et une direction horizontale face à un plan horizontal pour démontrer le rejet dur du parallèle. Cette page vise les personnes qui cherchent un calculateur d'intersection droite-plan, une droite paramétrique 3D qui rencontre un plan, ou trouver le point d'intersection d'une droite avec ax plus by plus cz plus d égale zéro.

Ce n'est pas un outil de découpe de rayons qui s'arrête à un triangle, ni un clip segment seul qui ignore les rencontres hors de [0, 1], ni un assistant d'intersection droite-droite en 2D—ce sont des intentions de recherche différentes avec des contrats différents. Préférez cette capacité lorsque vous disposez déjà d'une droite point-direction et de la forme générale d'un plan infini en trois dimensions.

Les contrôles aller-retour sont faciles : après résolution, reportez le (x, y, z) renvoyé dans a x plus b y plus c z plus d et confirmez que le résidu est approximativement zéro, et confirmez que (x, y, z) égale (x0, y0, z0) plus t multiplié par (dx, dy, dz) dans la tolérance flottante.