Droite d'intersection de deux plans

Deux plans distincts de l'espace tridimensionnel restent parallèles et ne se rencontrent jamais, ou se coupent le long d'une droite unique. Trouver cette droite d'intersection de deux plans est une tâche classique de géométrie analytique : la direction est le produit vectoriel des deux vecteurs normaux, et tout point particulier qui satisfait les deux équations cartésiennes fige la forme paramétrique r de t égal au point plus t fois la direction. Élèves, scripts CAO et ingénieurs graphiques retrouvent sans cesse les mêmes huit coefficients : a1, b1, c1, d1 pour le premier plan et a2, b2, c2, d2 pour le second.

Ce qu'est la droite d'intersection et comment les formules la verrouillent

Un plan sous forme cartésienne est l'ensemble des points r égal à (x, y, z) qui satisfont n · r plus d égal zéro, où n est un vecteur normal non nul. Écrivez le premier plan comme a1 x plus b1 y plus c1 z plus d1 égal zéro et le second comme a2 x plus b2 y plus c2 z plus d2 égal zéro.

Tout vecteur qui gît dans le premier plan est orthogonal à n1 égal à (a1, b1, c1) ; tout vecteur qui gît dans le second est orthogonal à n2 égal à (a2, b2, c2). Par conséquent toute direction qui gît dans les deux plans est orthogonale aux deux normales, ce qui est exactement le sens géométrique du produit vectoriel : la direction de la droite d'intersection est v égal à n1 croix n2.

Si ce produit vectoriel est le vecteur nul, les normales sont linéairement dépendantes, les plans sont parallèles — y compris le cas coïncident où ils sont le même plan écrit deux fois — et il n'y a pas de droite unique à renvoyer. Lorsque le produit vectoriel est non nul les deux plans se rencontrent le long d'une droite, et la tâche restante est de nommer un point particulier sur cette droite.

Ce solveur choisit l'unique point de la droite le plus proche de l'origine, qui gît toujours dans l'espace engendré par n1 et n2. Résoudre le système de Gram deux par deux n1 · r0 égal moins d1 et n2 · r0 égal moins d2 pour les coefficients alpha et bêta donne r0 égal à alpha n1 plus bêta n2. Le déterminant de Gram égale la longueur au carré de n1 croix n2 par l'identité de Lagrange, donc une direction non nulle garantit un point le plus proche unique.

La droite paramétrique est alors r de t égal à r0 plus t fois (n1 croix n2). Un contrôle de classe est immédiat : les plans x plus y plus z égal un et x moins y plus z égal un se rencontrent le long de r de t égal à (un demi, zéro, un demi) plus t fois (deux, zéro, moins deux). Le plan xy z égal zéro et le plan xz y égal zéro se rencontrent le long de l'axe x.

Chaque étape est de l'algèbre vectorielle élémentaire sur huit scalaires, donc le résultat est déterministe, sans itération et sans dépendre de l'horloge ni d'une graine aléatoire.

Où une calculatrice d'intersection de deux plans justifie son existence

Les salles de classe et les plateformes de tutorat utilisent une calculatrice de droite d'intersection de deux plans pour que les apprenants vérifient la forme paramétrique pour des coefficients arbitraires sans erreur de signe dans le produit vectoriel ni cas oublié lorsque la plus grande composante de direction n'est pas z. Les générateurs d'épreuves ont besoin d'un oracle déterministe qui marque une entrée parallèle comme invalide au lieu de renvoyer silencieusement un succès vide qu'un correcteur défectueux pourrait traiter comme une réussite.

Les scripts de conception assistée et de modélisation solide récupèrent une arête à partir de deux faces adjacentes données sous forme implicite, puis injectent la droite paramétrique dans une étape de découpe ou d'extrusion. Les pipelines graphiques et de géométrie algorithmique rencontrent les mêmes huit nombres lorsque deux plans de découpe, deux plans miroir ou deux plans de contrainte sont connus et que la charnière partagée doit être échantillonnée.

Une validation échouée ne consomme pas de solde, ce qui maintient les scripts exploratoires bon marché lorsque vous saisissez des coefficients parallèles en apprenant le contrat. Gardez les requêtes petites, figez dans les tests la direction et le point arrondis, et vous obtenez une droite reproductible pour les devoirs, les greffons LMS, les aides CAO et les workers de bord sans dresser un système d'algèbre informatique à vous.

Préférez ce contrat lorsque les deux surfaces sont déjà écrites comme plans cartésiens ; si vous n'avez que trois points sur chaque plan, ajustez d'abord les deux équations implicites, puis appelez ce solveur. Si vous avez besoin de l'angle entre les plans plutôt que de leur droite commune, c'est une autre recherche et une autre calculatrice.