Método de sustitución
Resuelva dos ecuaciones lineales por sustitución, viendo qué variable se despeja: con 2x + y igual a 5 y x − y igual a 1, se despeja x de la primera y la solución es x igual a 2, y igual a 1. Gratis en su navegador.
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Ejemplo resuelto
- A1
- 2
- B1
- 1
- C1
- 5
- A2
- 1
- B2
- -1
- C2
- 1
- Ecuación 1
- 2*x + y = 5
- Ecuación 2
- x - y = 1
- Variable despejada
- x
- Despejada de la ecuación
- 1
El método de sustitución es el procedimiento de aula de álgebra para resolver un par de ecuaciones lineales con dos incógnitas: despejar una variable de una ecuación, sustituirla en la otra, resolver la recta de una sola variable resultante y, a continuación, sustituir hacia atrás para recuperar la segunda coordenada. Esta calculadora admite los seis coeficientes finitos de a1 por x más b1 por y igual a c1 y a2 por x más b2 por y igual a c2, indica qué variable se despejó y desde qué ecuación, y devuelve el par de solución único x e y.
Qué es el método de sustitución y cuándo produce un par único
La sustitución es el primer método a mano que la mayoría de los cursos de álgebra enseña para un sistema lineal dos por dos, antes de la reducción y mucho antes de las inversas matriciales. Usted escribe el sistema como a1 por x más b1 por y igual a c1 y a2 por x más b2 por y igual a c2.
Elige una ecuación cuyo coeficiente de x o de y no sea cero, despeja de esa ecuación la variable elegida como expresión lineal en la variable restante, y sustituye la expresión en la otra ecuación. El resultado es una sola ecuación lineal en una incógnita. La resuelve con aritmética ordinaria y luego introduce el número hallado de nuevo en la expresión de despeje para recuperar la segunda coordenada.
Algebraicamente esta intersección es el mismo punto que calculan la regla de Cramer y la eliminación gaussiana: el par es único precisamente cuando el determinante de los coeficientes a1 por b2 menos a2 por b1 es no nulo.
Contrato de entrada, forma de la respuesta y errores
En un sistema único el cuerpo repite los seis coeficientes, las cadenas imprimibles equation1 y equation2, method substitution, la variable despejada, la ecuación de la que procede, la expresión de despeje en la forma despejada igual a paréntesis de apertura segundo miembro menos el otro coeficiente por la otra variable paréntesis de cierre dividido por el coeficiente propio, y el par numérico x e y redondeado a doce decimales para que los goldens se mantengan estables entre entornos de ejecución.
Comprobación clásica: a1 igual a dos, b1 igual a uno, c1 igual a cinco, a2 igual a uno, b2 igual a menos uno, c2 igual a uno despeja x de la primera ecuación como x igual a paréntesis de apertura cinco menos uno por y paréntesis de cierre sobre dos, sustituye en la segunda y devuelve x igual a dos e y igual a uno.
Cuando el determinante es cero el manejador rechaza la petición con un mensaje de que el sistema no tiene solución única, distinguiendo ecuaciones dependientes (infinitas soluciones) de rectas paralelas incompatibles. Esos fallos no se facturan. Combine la respuesta con su propio código de graficado si necesita un bosquejo de las dos rectas; este extremo resuelve solo la intersección.
Dónde una calculadora del método de sustitución justifica su sitio
Los cursos de álgebra de secundaria y universidad califican el método de sustitución en sí, no solo el par final, de modo que un oráculo de confianza que devuelve la expresión de despeje junto con x e y acelera las comprobaciones de deberes, las demostraciones de tutoría y la generación de claves de respuesta sin saltarse los pasos que exige la rúbrica.
Los generadores de exámenes necesitan una herramienta determinista que rechace sistemas dependientes e incompatibles en lugar de emitir en silencio coordenadas vacías que un calificador defectuoso podría tratar como acierto. Los autores de currículo que construyen lecciones interactivas quieren la misma preferencia de despeje cada vez, un par legible de cadenas de ecuación y un error honesto cuando el estudiante escribe dos copias de la misma recta o dos rectas paralelas.
Los cuadernos de programación y las pantallas de entrevista a menudo ocultan una resolución dos por dos dentro de una mezcla, un umbral de rentabilidad o un circuito de dos mallas, y los ingenieros necesitan la intersección única a partir de seis coeficientes medidos, no una sesión de álgebra computacional.
Mantenga finitos los seis valores, trate un determinante nulo como ausencia de solución única y no como una caída, y prefiera las x e y calculadas por el servidor antes que volver a resolver con otra ruta de coma flotante en el código del cliente. Si más adelante necesita artefactos de la regla de Cramer, un sistema tres por tres o una región de desigualdades, considérelos como intenciones de búsqueda y páginas distintas en lugar de sobrecargar este resolutor por sustitución.
Qué puede hacer con ella
Claves de deberes y exámenes
Contraste sistemas 2×2 de libro con una expresión de despeje canónica y el par único (x, y), o detecte ítems dependientes o incompatibles.
Ejercicios de aula del método de sustitución
Muestre qué variable se despejó, de qué ecuación y la expresión que se sustituyó, para que el alumnado verifique cada paso algebraico.
Preguntas frecuentes
¿Cómo se resuelve un sistema de dos variables por el método de sustitución?
Envíe los números finitos a1, b1, c1, a2, b2 y c2 de a1*x + b1*y = c1 y a2*x + b2*y = c2.
¿Qué ocurre si el sistema no tiene solución única?
Se rechazan tanto las ecuaciones dependientes (infinitas soluciones) como las rectas paralelas incompatibles, y no se facturan.
¿Qué variable despeja primero la calculadora?
Prefiere x de la primera ecuación cuando a1 no es nulo, luego y de la primera, luego x o y de la segunda. Los mismos coeficientes producen siempre los mismos campos de despeje.
¿En qué se diferencia de la regla de Cramer o de la reducción?
Esta página resuelve por sustitución y muestra la expresión de despeje. La regla de Cramer usa determinantes; la reducción suma múltiplos de filas. El par único coincide, pero los artefactos del método difieren.
¿Cómo compruebo la solución de un sistema?
Sustituya los dos valores en cada ecuación. Con x igual a 2 e y igual a 1, la primera da 2 por 2 más 1, que es 5, y la segunda da 2 menos 1, que es 1, así que ambas se cumplen.
Herramientas relacionadas
Para desarrolladores — acceso por API
Todo lo de esta página está disponible por programación. Esta sección es para equipos que quieren integrarlo en sus sistemas; el resto puede usar la herramienta de arriba sin más.
Endpoint de API
¿Prefiere automatizarlo? Un POST autenticado crea la tarea; el resultado llega por webhook o enlace firmado. La misma capacidad también se ejecuta aquí en la web, por email y desde Telegram — y pronto también desde nuestra app.
Llámela desde su stack
curl -X POST https://api.kit.forhosting.com/math/substitution-method \
-H "Authorization: Bearer $KIT_KEY" \
-H "Content-Type: application/json" \
-d '{"a1":2,"b1":1,"c1":5,"a2":1,"b2":-1,"c2":1}'const res = await fetch("https://api.kit.forhosting.com/math/substitution-method", {
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"Authorization": `Bearer ${process.env.KIT_KEY}`,
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const { task_id } = await res.json();import os, requests
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req.Header.Set("Authorization", "Bearer "+os.Getenv("KIT_KEY"))
req.Header.Set("Content-Type", "application/json")
res, _ := http.DefaultClient.Do(req)Ejemplo de solicitud
{
"a1": 2,
"b1": 1,
"c1": 5,
"a2": 1,
"b2": -1,
"c2": 1
}Ejemplo de respuesta
{
"task_id": "tsk_a1b2c3d4e5f6a1b2c3d4e5f6",
"type": "math.substitution_method",
"status": "queued",
"_links": {
"result": "/tasks/tsk_…/result"
}
}La API es asíncrona: la llamada devuelve un task_id al instante y el resultado llega por webhook. El polling está limitado a 1 req/s por tarea.
Precio
Precio publicado — sin tokens ni créditos inventados. Una tarea fallida no se cobra.
Errores
| HTTP | Código | Significado |
|---|---|---|
401 | unauthorized | API key ausente o inválida. |
402 | insufficient_balance | El saldo no cubre el precio de la tarea. |
404 | unknown_type | El tipo de tarea no existe. |
429 | rate_limited | Demasiadas peticiones. Use el webhook en vez de sondear. |
Notas técnicas
Cuando las dos rectas son paralelas o coincidentes no hay solución única, y la tarea falla con invalid_input en lugar de inventar un par.
Qué es el método de sustitución y cuándo produce un par único
Cuando ese determinante se anula las dos rectas son paralelas o coincidentes, de modo que o no hay solución o hay infinitas, y esta calculadora informa invalid_input en lugar de un éxito vacío con coordenadas ausentes. La implementación siempre prefiere despejar x de la primera ecuación cuando a1 no es nulo, luego y de la primera, luego x o y de la segunda, de modo que los mismos seis coeficientes producen siempre los mismos isolated_variable, isolated_from_equation, isolated_expression y los mismos x e y redondeados. No hay semilla aleatoria, ni reloj, ni llamada de red en el camino; entradas idénticas generan JSON idéntico cada vez que un estudiante, un tutor o un guion vuelven a preguntar.
Contrato de entrada, forma de la respuesta y errores
Envíe un cuerpo JSON con seis números finitos obligatorios: a1, b1 y c1 para la primera ecuación, y a2, b2 y c2 para la segunda. Cada campo puede llegar como número JSON o como cadena numérica simple; los campos ausentes, las cadenas vacías, los booleanos, los objetos y los valores no finitos fallan con invalid_input nombrando el campo y no se cobran. Las llamadas API exitosas usan la base publicada de $0.002 por elemento.
Dónde una calculadora del método de sustitución justifica su sitio
Como esta capacidad es un motor parse puro, la herramienta del navegador es gratuita y el precio de la API es la base publicada de $0.002 por elemento correcto; la validación fallida no consume saldo prepago.
Casos de integración
Autocalificación LMS de soluciones únicas
Acepte respuestas por sustitución solo cuando exista un par único; rechace rectas paralelas o coincidentes como invalid_input en lugar de inventar coordenadas.
Preguntas técnicas
¿Cuánto cuesta la calculadora del método de sustitución?
La herramienta del navegador es gratuita. Las peticiones API usan saldo prepago del KIT a $0.002 por llamada correcta; la entrada inválida no se factura.