Einsetzungsverfahren
Lösen Sie zwei lineare Gleichungen durch Einsetzen und sehen Sie die freigestellte Variable: Bei 2x + y gleich 5 und x − y gleich 1 kommt x aus der ersten Gleichung, die Lösung ist x gleich 2 und y gleich 1. Kostenlos in Ihrem Browser.
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Rechenbeispiel
- A1
- 2
- B1
- 1
- C1
- 5
- A2
- 1
- B2
- -1
- C2
- 1
- Gleichung 1
- 2*x + y = 5
- Gleichung 2
- x - y = 1
- Isolierte Variable
- x
- Aus der Gleichung isoliert
- 1
Das Einsetzungsverfahren ist das Unterrichtsverfahren der Algebra, um ein Paar linearer Gleichungen in zwei Unbekannten zu lösen: eine Variable aus einer Gleichung isolieren, sie in die andere einsetzen, die entstehende Gerade in einer Variablen lösen und anschließend zurückeinsetzen, um die zweite Koordinate zu gewinnen. Dieser Rechner nimmt die sechs endlichen Koeffizienten von a1 mal x plus b1 mal y gleich c1 und a2 mal x plus b2 mal y gleich c2 entgegen, zeigt, welche Variable aus welcher Gleichung isoliert wurde, und liefert das eindeutige Lösungspaar x und y.
Was das Einsetzungsverfahren ist und wann es ein eindeutiges Paar liefert
Einsetzen ist das erste Handverfahren, das die meisten Algebra-Kurse für ein lineares Zwei-mal-zwei-System lehren, vor dem Additionsverfahren und lange vor Matrixinversen. Sie schreiben das System als a1 mal x plus b1 mal y gleich c1 und a2 mal x plus b2 mal y gleich c2. Sie wählen eine Gleichung, deren Koeffizient von x oder von y nicht null ist, lösen diese Gleichung nach der gewählten Variablen als linearen Ausdruck in der verbleibenden Variablen und setzen den Ausdruck in die andere Gleichung ein.
Das Ergebnis ist eine einzige lineare Gleichung in einer Unbekannten. Lösen Sie sie mit gewöhnlicher Arithmetik und setzen Sie die gefundene Zahl anschließend in den Isolationsausdruck zurück, um die zweite Koordinate zu gewinnen. Algebraisch ist dieser Schnitt derselbe Punkt, den die Cramersche Regel und die Gauß-Elimination berechnen: das Paar ist genau dann eindeutig, wenn die Koeffizientendeterminante a1 mal b2 minus a2 mal b1 von null verschieden ist.
Wo ein Rechner für das Einsetzungsverfahren seinen Nutzen zeigt
Algebra-Kurse an Sekundarschulen und Hochschulen bewerten das Einsetzungsverfahren selbst, nicht nur das Endpaar, sodass ein verlässliches Orakel, das den Isolationsausdruck zusammen mit x und y zurückgibt, Hausaufgabenprüfungen, Tutorien und die Erzeugung von Lösungsschlüsseln beschleunigt, ohne die von der Rubrik geforderten Schritte zu überspringen. Prüfungsgeneratoren brauchen ein deterministisches Werkzeug, das abhängige und unverträgliche Systeme ablehnt, statt still leere Koordinaten auszugeben, die ein fehlerhafter Bewerter als Erfolg werten könnte.
Curriculum-Autorinnen und -Autoren interaktiver Lektionen wollen dieselbe Isolationspräferenz jedes Mal, ein lesbares Paar von Gleichungstexten und einen ehrlichen Fehler, wenn jemand zwei Kopien derselben Geraden oder zwei parallele Geraden eingibt. Programmiernotizen und Vorstellungsbildschirme verbergen oft eine Zwei-mal-zwei-Lösung in einer Mischung, einem Break-even oder einem Zweischleifenkreis, und Ingenieurinnen und Ingenieure brauchen den eindeutigen Schnitt aus sechs gemessenen Koeffizienten statt einer Computeralgebra-Sitzung.
Halten Sie alle sechs Werte endlich, behandeln Sie eine verschwindende Determinante als fehlende eindeutige Lösung und nicht als Absturz, und bevorzugen Sie die serverseitig berechneten x und y gegenüber einem erneuten Lösen mit einem anderen Gleitkommapfad im Clientcode. Falls Sie später Artefakte der Cramerschen Regel, ein drei-mal-drei-System oder ein Ungleichungsgebiet brauchen, behandeln Sie diese als getrennte Suchabsichten und Seiten, statt diesen Einsetzungsrechner zu überladen.
Anwendungsfälle
Lösungsschlüssel für Hausaufgaben und Prüfungen
Prüfen Sie Lehrbuch-2×2-Systeme gegen einen kanonischen Isolationsausdruck und das eindeutige Paar (x, y), oder erkennen Sie abhängige oder unverträgliche Aufgaben.
Unterrichtsübungen zum Einsetzungsverfahren
Zeigen Sie, welche Variable isoliert wurde, aus welcher Gleichung und welcher Ausdruck eingesetzt wurde, damit Lernende jeden algebraischen Schritt prüfen können.
Häufige Fragen
Wie löst man ein System mit zwei Variablen per Einsetzungsverfahren?
Senden Sie die endlichen Zahlen a1, b1, c1, a2, b2 und c2 von a1*x + b1*y = c1 und a2*x + b2*y = c2.
Was geschieht, wenn das System keine eindeutige Lösung hat?
Abhängige Gleichungen (unendlich viele Lösungen) und unverträgliche parallele Geraden werden abgelehnt und nicht berechnet.
Welche Variable isoliert der Rechner zuerst?
Er bevorzugt x aus der ersten Gleichung, wenn a1 nicht null ist, dann y aus der ersten, dann x oder y aus der zweiten. Dieselben Koeffizienten erzeugen stets dieselben Isolationsfelder.
Worin unterscheidet sich das von der Cramerschen Regel oder dem Additionsverfahren?
Diese Seite löst durch Einsetzen und zeigt den Isolationsausdruck. Die Cramersche Regel nutzt Determinanten; das Additionsverfahren addiert Vielfache von Zeilen. Das eindeutige Paar stimmt überein, die Methodenartefakte unterscheiden sich.
Wie überprüfe ich die Lösung eines Gleichungssystems?
Setzen Sie beide Werte in jede Gleichung ein. Mit x gleich 2 und y gleich 1 ergibt die erste 2 mal 2 plus 1, also 5, und die zweite 2 minus 1, also 1, beide Gleichungen stimmen.
Welche Variable stellt der Rechner zuerst frei?
Er stellt x aus der ersten Gleichung frei, sofern dort ein x vorkommt, sonst y aus der ersten, danach x oder y aus der zweiten. Gleiche Eingaben führen so immer zum selben Lösungsweg.
Verwandte Tools
Für Entwickler — API-Zugang
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Endpunkt
Authentifizierung per Bearer-Token. Ein einziger POST stellt die Aufgabe in die Warteschlange; das Ergebnis erhalten Sie per Webhook oder über einen signierten Link.
Aufruf aus Ihrem Stack
curl -X POST https://api.kit.forhosting.com/math/substitution-method \
-H "Authorization: Bearer $KIT_KEY" \
-H "Content-Type: application/json" \
-d '{"a1":2,"b1":1,"c1":5,"a2":1,"b2":-1,"c2":1}'const res = await fetch("https://api.kit.forhosting.com/math/substitution-method", {
method: "POST",
headers: {
"Authorization": `Bearer ${process.env.KIT_KEY}`,
"Content-Type": "application/json"
},
body: JSON.stringify({
"a1": 2,
"b1": 1,
"c1": 5,
"a2": 1,
"b2": -1,
"c2": 1
})
});
const { task_id } = await res.json();import os, requests
res = requests.post(
"https://api.kit.forhosting.com/math/substitution-method",
headers={"Authorization": f"Bearer {os.environ['KIT_KEY']}"},
json={
"a1": 2,
"b1": 1,
"c1": 5,
"a2": 1,
"b2": -1,
"c2": 1
},
)
task_id = res.json()["task_id"]<?php
$res = file_get_contents("https://api.kit.forhosting.com/math/substitution-method", false, stream_context_create([
"http" => [
"method" => "POST",
"header" => "Authorization: Bearer " . getenv("KIT_KEY") . "\r\nContent-Type: application/json",
"content" => '{"a1":2,"b1":1,"c1":5,"a2":1,"b2":-1,"c2":1}',
],
]));
$task = json_decode($res, true);body := bytes.NewBufferString(`{"a1":2,"b1":1,"c1":5,"a2":1,"b2":-1,"c2":1}`)
req, _ := http.NewRequest("POST", "https://api.kit.forhosting.com/math/substitution-method", body)
req.Header.Set("Authorization", "Bearer "+os.Getenv("KIT_KEY"))
req.Header.Set("Content-Type", "application/json")
res, _ := http.DefaultClient.Do(req)Beispiel-Anfrage
{
"a1": 2,
"b1": 1,
"c1": 5,
"a2": 1,
"b2": -1,
"c2": 1
}Beispiel-Antwort
{
"task_id": "tsk_a1b2c3d4e5f6a1b2c3d4e5f6",
"type": "math.substitution_method",
"status": "queued",
"_links": {
"result": "/tasks/tsk_…/result"
}
}Die API arbeitet asynchron: Sie erhalten sofort eine task_id. Polling ist mit 1 Anfrage pro Sekunde erlaubt.
Preis
Der Preis steht auf der Seite – keine Tokens, keine Credits. Fehlgeschlagene Aufgaben werden nicht berechnet.
Fehler
| HTTP | Code | Bedeutung |
|---|---|---|
401 | unauthorized | Der API-Schlüssel fehlt oder ist ungültig – prüfen Sie den Authorization-Header (Bearer). |
402 | insufficient_balance | Ihr Guthaben reicht für diese Aufgabe nicht aus – Aufladungen verfallen nicht. |
404 | unknown_type | Unbekannter Aufgabentyp – prüfen Sie das Feld „type“ gegen den Katalog. |
429 | rate_limited | Zu viele Anfragen – warten Sie kurz; Polling ist mit 1 Anfrage pro Sekunde erlaubt. |
Technische Hinweise
Sind die beiden Geraden parallel oder identisch, gibt es keine eindeutige Lösung, und die Aufgabe scheitert mit invalid_input statt ein Paar zu erfinden.
Was das Einsetzungsverfahren ist und wann es ein eindeutiges Paar liefert
Verschwindet diese Determinante, sind die beiden Geraden parallel oder identisch, sodass es entweder keine oder unendlich viele Lösungen gibt, und dieser Rechner meldet invalid_input statt eines hohlen Erfolgs mit fehlenden Koordinaten. Die Implementierung isoliert stets bevorzugt x aus der ersten Gleichung, wenn a1 nicht null ist, dann y aus der ersten, dann x oder y aus der zweiten, sodass dieselben sechs Koeffizienten stets dieselben isolated_variable, isolated_from_equation, isolated_expression und dieselben gerundeten x und y erzeugen. Es gibt keinen Zufallskeim, keine Uhr und keinen Netzaufruf auf dem Pfad; identische Eingaben liefern identisches JSON, sooft ein Lernender, eine Lehrkraft oder ein Skript erneut fragt.
Eingabevertrag, Antwortform und Fehlerverhalten
Bei einem eindeutigen System wiederholt der Körper die sechs Koeffizienten, die druckbaren Zeichenketten equation1 und equation2, method substitution, die isolierte Variable, die Herkunftsgleichung, den Isolationsausdruck in der Form isoliert gleich öffnende Klammer rechte Seite minus anderer Koeffizient mal die andere Variable schließende Klammer geteilt durch den eigenen Koeffizienten, und das Zahlenpaar x und y auf zwölf Dezimalstellen gerundet, damit Goldens über Laufzeitumgebungen hinweg stabil bleiben. Klassische Prüfung: a1 gleich zwei, b1 gleich eins, c1 gleich fünf, a2 gleich eins, b2 gleich minus eins, c2 gleich eins isoliert x aus der ersten Gleichung als x gleich öffnende Klammer fünf minus eins mal y schließende Klammer durch zwei, setzt in die zweite ein und liefert x gleich zwei und y gleich eins. Kombinieren Sie die Antwort mit eigenem Zeichen-Code, wenn Sie eine Skizze der beiden Geraden brauchen; dieser Endpunkt löst nur den Schnitt. Senden Sie einen JSON-Körper mit sechs erforderlichen endlichen Zahlen: a1, b1 und c1 für die erste Gleichung sowie a2, b2 und c2 für die zweite. Jedes Feld darf als JSON-Zahl oder als schlichte numerische Zeichenkette eintreffen; fehlende Felder, leere Zeichenketten, boolesche Werte, Objekte und nichtendliche Werte scheitern mit invalid_input unter Nennung des Feldes und werden nicht berechnet. Erfolgreiche API-Aufrufe nutzen die veröffentlichte Basis von $0.002 je Element.
Wo ein Rechner für das Einsetzungsverfahren seinen Nutzen zeigt
Weil diese Fähigkeit eine reine parse-Engine ist, ist das Browser-Werkzeug kostenlos und der API-Preis die veröffentlichte Basis von $0.002 je erfolgreichem Element; fehlgeschlagene Prüfung verbraucht kein vorausbezahltes Guthaben.
Integrationsbeispiele
LMS-Autobewertung eindeutiger Lösungen
Nehmen Sie Einsetzungsantworten nur an, wenn ein eindeutiges Paar existiert; lehnen Sie parallele oder identische Geraden als invalid_input ab, statt Koordinaten zu erfinden.
Technische Fragen
Was kostet der Rechner für das Einsetzungsverfahren?
Das Browser-Werkzeug ist kostenlos. API-Anfragen nutzen vorausbezahltes KIT-Guthaben zu $0.002 je erfolgreichem Aufruf; ungültige Eingabe wird nicht berechnet.