2×2-Gleichungssystem lösen
Die Geraden 2x + y gleich 5 und x + 3y gleich 7 schneiden sich in (1,6 | 1,8): Der Löser findet den einzigen Schnittpunkt zweier linearer Gleichungen per Cramerscher Regel oder Elimination und zeigt die Determinante, hier 5. Kostenlos in Ihrem Browser.
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Rechenbeispiel
- A11
- 2
- A12
- 1
- A21
- 1
- A22
- 3
- B1
- 5
- B2
- 7
- X
- 1,6
- Y
- 1,8
- Determinante
- 5
- Det. x
- 8
Ein zwei-mal-zwei lineares System ist das kleinste nützliche Modell simultaner Gleichungen: zwei Unbekannte, eingeschränkt durch zwei unabhängige Geraden. Schüler begegnen ihm beim Graphen von Schnittpunkten, Ingenieure beim Ausgleichen zweier Kräfte oder zweier Stromkreisschleifen, und Datenpipelines beim Wiederherstellen zweier Parameter aus zwei unabhängigen Beobachtungen. Diese Fähigkeit löst a11 x plus a12 y gleich b1 und a21 x plus a22 y gleich b2 und liefert das eindeutige Paar x und y, wenn die Koeffizientendeterminante nicht null ist. Sie können die Cramer-Regel wählen, die drei zwei-mal-zwei Determinanten bildet, oder die Gauß-Elimination mit partieller Pivotisierung, die die erweiterte Matrix reduziert.
Was ein 2×2-lineares System ist und wann es eine eindeutige Lösung hat
Schreiben Sie das System in Matrixform als A mal den Spaltenvektor der Unbekannten gleich dem Spaltenvektor der Konstanten. Die Koeffizientenmatrix A enthält a11 und a12 in der ersten Zeile und a21 und a22 in der zweiten. Ihre Determinante, a11 mal a22 minus a12 mal a21, ist eine einzige Zahl, die die Geometrie der beiden Geraden in der Ebene entscheidet.
Wenn die Determinante nicht null ist, sind die Geraden nicht parallel: sie kreuzen sich in genau einem Punkt, und dieser Schnittpunkt ist die eindeutige Lösung (x, y). Wenn die Determinante null ist, sind die Zeilen von A linear abhängig, sodass die Geraden parallel sind und sich nie treffen (keine Lösung) oder dieselbe Gerade zweimal geschrieben (unendlich viele Lösungen). Die Elimination erreicht dasselbe Paar, indem sie den unteren linken Eintrag löscht und rückwärts substituiert.
Beide Methoden sind für gewöhnliche Gleitkomma-Koeffizienten innerhalb der Maschinengenauigkeit exakt und billig genug, um vollständig im Browser ohne entfernten Solver zu laufen.
Praktische Nutzung, Preise, Grenzen und Lieferung
Nutzen Sie das Browser-Werkzeug, wenn Sie einen sofortigen exakten Schnittpunkt beim Prüfen von Hausaufgaben, Vorbereiten einer Vorlesungsfolie oder Debuggen von Zwei-Gleichungs-Beschränkungen ohne Computer-Algebra-System wollen. Es gibt kein Sprachmodell, keinen externen lineare-Algebra-Dienst und keine Zufälligkeit, sodass die Fähigkeit sicher in CI-Prüfungen und reproduzierbaren Unterrichtsmaterialien festgenagelt werden kann. Ergebnisse sind vollständig deterministisch: dieselben Koeffizienten und dieselbe Methode ergeben immer dieselben x, y und Determinante.
Bevorzugen Sie die Cramer-Regel, wenn Sie Zwischen-Determinanten zur Erklärung wollen; bevorzugen Sie die Elimination, wenn Sie Zeilenoperationen lehren und den Weg wollen, der sich auf größere Systeme verallgemeinert. Halten Sie Koeffizienten in gewöhnlichen Gleitkomma-Magnituden, damit Auslöschung nicht dominiert; für Klassenraum-Ganzzahlen und typische Ingenieurskalen ist der Solver innerhalb der Doppelpräzision exakt. Quell-Ein- und Ausgaben folgen denselben Aufbewahrungsregeln wie andere KIT-parse-Positionen, und eine fehlgeschlagene Aufgabe wird nach Validierung nie berechnet.
Anwendungsfälle
Hausaufgaben- und Tutorenprüfung
Schüler und Bewerter bestätigen (x, y) für zwei lineare Gleichungen, einschließlich singulärer Fälle, die korrekt scheitern, ohne lokale CAS-Installation.
Zwei-Parameter-Wiederherstellung in Pipelines
Skripte, die zwei Unbekannte aus zwei unabhängigen linearen Beschränkungen anpassen, rufen ein deterministisches 2×2-Orakel auf statt Determinanten in jeder Sprache neu zu implementieren.
Häufige Fragen
Was ist der Unterschied zwischen Cramer-Regel und Elimination?
Die Elimination reduziert die erweiterte Matrix mit partieller Pivotisierung. Beide liefern dasselbe eindeutige (x, y), wenn das System nicht singulär ist.
Kann es größere Systeme wie 3×3 lösen?
Nein. Diese Fähigkeit ist auf zwei Gleichungen in zwei Unbekannten beschränkt. Größere Systeme brauchen eine andere Fähigkeit oder eine allgemeine lineare-Algebra-Bibliothek.
Was passiert, wenn die Determinante null ist?
Dann sind die beiden Geraden parallel oder identisch, und es gibt keine eindeutige Lösung. Der Löser meldet ein singuläres System, statt ein Wertepaar zu erfinden.
Wie löst die Cramersche Regel ein 2×2-System?
Man ersetzt eine Spalte der Koeffizienten durch die rechten Seiten und teilt diese Determinante durch die Hauptdeterminante. Im Beispiel ergeben 8 und 9 geteilt durch 5 die Werte 1,6 und 1,8.
Dürfen die Koeffizienten Dezimalzahlen sein?
Ja, jede endliche Zahl ist erlaubt, ganz oder mit Nachkommastellen. Gerechnet wird mit der üblichen Genauigkeit von Gleitkommazahlen, was für Übungsaufgaben und gängige technische Werte genügt.
Verwandte Tools
Für Entwickler — API-Zugang
Alles auf dieser Seite ist auch per API verfügbar. Dieser Abschnitt richtet sich an Teams, die es in ihre eigenen Systeme einbinden möchten; alle anderen nutzen einfach das Tool oben.
Endpunkt
Authentifizierung per Bearer-Token. Ein einziger POST stellt die Aufgabe in die Warteschlange; das Ergebnis erhalten Sie per Webhook oder über einen signierten Link.
Aufruf aus Ihrem Stack
curl -X POST https://api.kit.forhosting.com/algebra/system-2x2 \
-H "Authorization: Bearer $KIT_KEY" \
-H "Content-Type: application/json" \
-d '{"a11":2,"a12":1,"a21":1,"a22":3,"b1":5,"b2":7}'const res = await fetch("https://api.kit.forhosting.com/algebra/system-2x2", {
method: "POST",
headers: {
"Authorization": `Bearer ${process.env.KIT_KEY}`,
"Content-Type": "application/json"
},
body: JSON.stringify({
"a11": 2,
"a12": 1,
"a21": 1,
"a22": 3,
"b1": 5,
"b2": 7
})
});
const { task_id } = await res.json();import os, requests
res = requests.post(
"https://api.kit.forhosting.com/algebra/system-2x2",
headers={"Authorization": f"Bearer {os.environ['KIT_KEY']}"},
json={
"a11": 2,
"a12": 1,
"a21": 1,
"a22": 3,
"b1": 5,
"b2": 7
},
)
task_id = res.json()["task_id"]<?php
$res = file_get_contents("https://api.kit.forhosting.com/algebra/system-2x2", false, stream_context_create([
"http" => [
"method" => "POST",
"header" => "Authorization: Bearer " . getenv("KIT_KEY") . "\r\nContent-Type: application/json",
"content" => '{"a11":2,"a12":1,"a21":1,"a22":3,"b1":5,"b2":7}',
],
]));
$task = json_decode($res, true);body := bytes.NewBufferString(`{"a11":2,"a12":1,"a21":1,"a22":3,"b1":5,"b2":7}`)
req, _ := http.NewRequest("POST", "https://api.kit.forhosting.com/algebra/system-2x2", body)
req.Header.Set("Authorization", "Bearer "+os.Getenv("KIT_KEY"))
req.Header.Set("Content-Type", "application/json")
res, _ := http.DefaultClient.Do(req)Beispiel-Anfrage
{
"a11": 2,
"a12": 1,
"a21": 1,
"a22": 3,
"b1": 5,
"b2": 7
}Beispiel-Antwort
{
"task_id": "tsk_a1b2c3d4e5f6a1b2c3d4e5f6",
"type": "algebra.system_2x2",
"status": "queued",
"_links": {
"result": "/tasks/tsk_…/result"
}
}Die API arbeitet asynchron: Sie erhalten sofort eine task_id. Polling ist mit 1 Anfrage pro Sekunde erlaubt.
Preis
Der Preis steht auf der Seite – keine Tokens, keine Credits. Fehlgeschlagene Aufgaben werden nicht berechnet.
Fehler
| HTTP | Code | Bedeutung |
|---|---|---|
401 | unauthorized | Der API-Schlüssel fehlt oder ist ungültig – prüfen Sie den Authorization-Header (Bearer). |
402 | insufficient_balance | Ihr Guthaben reicht für diese Aufgabe nicht aus – Aufladungen verfallen nicht. |
404 | unknown_type | Unbekannter Aufgabentyp – prüfen Sie das Feld „type“ gegen den Katalog. |
429 | rate_limited | Zu viele Anfragen – warten Sie kurz; Polling ist mit 1 Anfrage pro Sekunde erlaubt. |
Technische Hinweise
Singuläre Systeme —parallele oder zusammenfallende Geraden mit Determinante null— werden mit invalid_input abgelehnt, statt eine falsche eindeutige Wurzel zu erfinden.
Was ein 2×2-lineares System ist und wann es eine eindeutige Lösung hat
In beiden singulären Fällen weigert sich diese API, ein eindeutiges Paar zu erfinden, und scheitert mit invalid_input, passend zum Versprechen in der Produktbeschreibung. Die Cramer-Regel nutzt den Fall nicht nuller Determinante direkt: ersetzen Sie die erste Spalte von A durch die Konstanten, um det_x zu erhalten, ersetzen Sie die zweite, um det_y zu erhalten, setzen Sie dann x gleich det_x durch det und y gleich det_y durch det.
So rufen Sie den Solver auf und lesen die Antwort
Setzen Sie optional method auf cramer (Standard) oder elimination. Wenn der Absolutbetrag der Koeffizientendeterminante kleiner als ein enges Epsilon nahe 1e-12 ist, scheitert die Anfrage auch mit der Meldung, dass das System singulär ist und keine eindeutige Lösung hat. Bei Erfolg enthält die Antwort immer x, y, determinant, method, ein unique-Flag auf true und ein equations-Objekt mit Anzeigezeichenketten für beide Geraden. Numerischer Staub nahe null wird bereinigt, damit goldens und lesbare Demos stabil bleiben, während gewöhnliche nichtganze Reelle volle Doppelpräzision behalten. Senden Sie einen JSON-Body mit den sechs Pflichtzahlen a11, a12, a21, a22, b1 und b2. Die Engine prüft, dass jeder Koeffizient eine endliche Zahl ist; fehlende Felder, nichtnumerische Strings und NaN oder Infinity scheitern sofort mit invalid_input und werden nicht berechnet. Wenn Sie die Cramer-Regel wählten, sind det_x und det_y enthalten, damit eine Lehr-UI die drei Determinanten nebeneinander zeigen kann. Verdrahten Sie den Endpoint in Skripte, die bereits JSON sprechen und einen stabilen Vertrag brauchen, statt Pivot-Logik in jeder Sprache neu zu implementieren.
Praktische Nutzung, Preise, Grenzen und Lieferung
Nutzen Sie die API, wenn eine Tutorenplattform, ein Coding-Interview-Sandbox, ein Physik-Labortagebuch oder eine Tabellen-Pipeline stabiles JSON für viele Koeffizientensätze unter einem Vertrag braucht. Jede erfolgreiche Anfrage ist eine abrechenbare Position zu $0.002; fehlgeschlagene Validierung und singuläre Systeme werden nicht berechnet.
Integrationsbeispiele
Cramer versus Elimination unterrichten
Unterrichtsseiten können die Methode wechseln und det_x, det_y oder den Eliminationsweg zeigen, damit Lernende beide Algorithmen mit demselben eindeutigen Schnittpunkt verbinden.
Technische Fragen
Wie löse ich ein 2×2-Gleichungssystem mit dieser API?
Senden Sie JSON mit a11, a12, a21, a22, b1 und b2 (und optional method). Die Antwort liefert x, y, determinant und verwandte Felder, wenn eine eindeutige Lösung existiert.
Was passiert, wenn das System singulär ist?
Wenn die Koeffizientendeterminante null ist (innerhalb eines engen Epsilons), scheitert die Anfrage mit invalid_input und wird nicht berechnet — es gibt keine eindeutige Lösung.
Ist der 2×2-Systemlöser kostenlos?
Das Browser-Werkzeug läuft kostenlos auf Ihrem Gerät. API-Aufrufe nutzen vorausbezahltes KIT-Guthaben zu $0.002 pro erfolgreicher Position; Validierungsfehler und singuläre Systeme werden nicht berechnet.