ForHosting KIT · الرياضيات

حل نظام معادلات خطية 2×2

المستقيمان 2x + y يساوي 5 وx + 3y يساوي 7 يتقاطعان في (1.6, 1.8): يجد الحلال نقطة التقاطع الوحيدة لمعادلتين خطيتين بقاعدة كرامر أو بالحذف، ويعرض المحدد وهو هنا 5. مجانا في متصفحكم.

مجاني
يعمل في متصفحك
دون تسجيل
بياناتك لا تغادر جهازك

شغّل الأداة مجانًا اطّلع على الـAPI

استخدمها من الويبAPIالبريدTelegramالتطبيق قريبًا

مثال محلول

إذا أدخلت

A11: 2
A12: 1
A21: 1
A22: 3
B1: 5
B2: 7

تحصل على

X: 1.6
Y: 1.8
المحددة: 5
محدد x: 8

النظام الخطي اثنين في اثنين هو أصغر نموذج مفيد للمعادلات الآنية: مجهولان مقيدان بخطين مستقلين. يلتقيه الطلاب عند رسم التقاطعات، والمهندسون عند موازنة قوتين أو حلقتين في الدائرة، وأنابيب البيانات عند استعادة معلمتين من رصدتين مستقلتين. تحل هذه القدرة a11 x زائد a12 y يساوي b1 وa21 x زائد a22 y يساوي b2، وتعيد الزوج الفريد x وy عندما تكون محددة المعاملات غير صفرية. يمكنكم اختيار قاعدة كرامر التي تبني ثلاث محددات اثنين في اثنين، أو الحذف الغاوسي مع محور جزئي الذي يختزل المصفوفة الموسّعة.

ما النظام الخطي 2×2 ومتى يكون له حل فريد

اكتبوا النظام بصيغة مصفوفية كـA مضروبًا في متجه العمود للمجهولين يساوي متجه العمود للثوابت. تحوي مصفوفة المعاملات A القيم a11 وa12 في الصف الأول وa21 وa22 في الثاني. محددتها، a11 مضروبًا في a22 ناقص a12 مضروبًا في a21، رقم واحد يحدد هندسة الخطين في المستوى.

عندما تكون المحددة غير صفرية فالخطان غير متوازيين: يتقاطعان في نقطة واحدة تمامًا، وذلك التقاطع هو الحل الفريد (x, y). عندما تكون المحددة صفرًا تكون صفوف A مترابطة خطيًا، فالخطان متوازيان ولا يلتقيان (لا حل) أو هما نفس الخط مكتوبًا مرتين (حلول لا نهائية). يصل الحذف إلى نفس الزوج بمسح المدخل السفلي الأيسر والتعويض الخلفي.

كلا الأسلوبين دقيق لمعاملات الفاصلة العائمة العادية ضمن دقة الآلة، وكلاهما رخيص بما يكفي للتشغيل بالكامل في المتصفح بلا محلّ بعيد.

الاستخدام العملي والتسعير والحدود والتسليم

استخدموا أداة المتصفح حين تريدون تقاطعًا دقيقًا فوريًا أثناء مراجعة الواجبات أو إعداد شريحة محاضرة أو تصحيح قيود بمعادلتين دون تثبيت نظام جبر حاسوبي. لا يوجد نموذج لغة ولا خدمة جبر خطي خارجية ولا عشوائية، لذا تصلح القدرة للتثبيت في فحوصات التكامل المستمر ومواد الدرس القابلة لإعادة الإنتاج. النتائج حتمية بالكامل: نفس المعاملات والطريقة تنتج دائمًا نفس x وy والمحددة.

فضّلوا قاعدة كرامر حين تريدون محددات وسيطة للشرح؛ وفضّلوا الحذف حين تدرّسون عمليات الصفوف وتريدون المسار الذي يعمَّم على أنظمة أكبر. أبقوا المعاملات ضمن مقادير فاصلة عائمة عادية حتى لا يهيمن الإلغاء؛ لأعداد الصف الصحيحة ومقاييس الهندسة المعتادة يكون المحلّ دقيقًا ضمن الدقة المزدوجة. تتبع مدخلات ومخرجات المصدر نفس قواعد الاحتفاظ لبنود parse الأخرى في KIT، والمهمة الفاشلة لا تُحاسب بعد التحقق.

حالات الاستخدام

التحقق من الواجبات والتدريس

يؤكد الطلاب والمصححون (x, y) لمعادلتين خطيتين، بما في ذلك الحالات الشاذة التي تفشل بشكل صحيح، دون تثبيت CAS محلي.

استعادة معلمتين في الأنابيب

سكربتات تلائم مجهولين من قيدين خطيين مستقلين تستدعي وسيط 2×2 حتميًا بدل إعادة تنفيذ المحددات في كل لغة.

الأسئلة الشائعة

ما الفرق بين قاعدة كرامر والحذف؟

يختزل الحذف المصفوفة الموسّعة بمحور جزئي. كلاهما يعيد نفس (x, y) الفريد عندما لا يكون النظام شاذًا.

هل يحل أنظمة أكبر مثل 3×3؟

لا. تقتصر هذه القدرة على معادلتين بمجهولين. الأنظمة الأكبر تحتاج قدرة مختلفة أو مكتبة جبر خطي عامة.

ماذا يحدث إذا كان المحدد صفرا؟

يكون المستقيمان متوازيين أو مستقيما واحدا مكتوبا مرتين، فلا يوجد حل وحيد. ويبيّن الحلال أن النظام شاذ بدلا من اختلاق زوج من القيم.

كيف تحل قاعدة كرامر نظاما 2×2؟

يُستبدل عمود من المعاملات بالثوابت ويُقسم هذا المحدد على المحدد الرئيس. في المثال يكون 8 و9 مقسومين على 5، فنحصل على 1.6 و1.8.

هل يمكن أن تكون المعاملات عشرية؟

نعم، يُقبل أي عدد منته، صحيحا كان أو عشريا. ويتم الحساب بالدقة المعتادة للأعداد العشرية في الحاسوب، وهي كافية للتمارين والقيم الهندسية الشائعة.

أدوات ذات صلة

للمطوّرين — الوصول عبر API

كل ما في هذه الصفحة متاح برمجيًا. هذا القسم موجّه للفرق التقنية التي تريد ربط الأداة بأنظمتها الخاصة؛ بقية المستخدمين يمكنهم استخدام الأداة أعلاه مباشرة دون الحاجة لقراءة ما يلي.

الـEndpoint

POSThttps://api.kit.forhosting.com/algebra/system-2x2

صادِق على طلبك بترويسة Bearer، وأرسل طلب POST واحدًا لتدخل مهمتك قائمة التنفيذ فورًا؛ ثم تستلم النتيجة عبر webhook أو رابط موقّع.

استدعِ الخدمة من بيئتك

curl -X POST https://api.kit.forhosting.com/algebra/system-2x2 \
  -H "Authorization: Bearer $KIT_KEY" \
  -H "Content-Type: application/json" \
  -d '{"a11":2,"a12":1,"a21":1,"a22":3,"b1":5,"b2":7}'

const res = await fetch("https://api.kit.forhosting.com/algebra/system-2x2", {
  method: "POST",
  headers: {
    "Authorization": `Bearer ${process.env.KIT_KEY}`,
    "Content-Type": "application/json"
  },
  body: JSON.stringify({
    "a11": 2,
    "a12": 1,
    "a21": 1,
    "a22": 3,
    "b1": 5,
    "b2": 7
  })
});
const { task_id } = await res.json();

import os, requests

res = requests.post(
    "https://api.kit.forhosting.com/algebra/system-2x2",
    headers={"Authorization": f"Bearer {os.environ['KIT_KEY']}"},
    json={
    "a11": 2,
    "a12": 1,
    "a21": 1,
    "a22": 3,
    "b1": 5,
    "b2": 7
},
)
task_id = res.json()["task_id"]

<?php
$res = file_get_contents("https://api.kit.forhosting.com/algebra/system-2x2", false, stream_context_create([
  "http" => [
    "method"  => "POST",
    "header"  => "Authorization: Bearer " . getenv("KIT_KEY") . "\r\nContent-Type: application/json",
    "content" => '{"a11":2,"a12":1,"a21":1,"a22":3,"b1":5,"b2":7}',
  ],
]));
$task = json_decode($res, true);

body := bytes.NewBufferString(`{"a11":2,"a12":1,"a21":1,"a22":3,"b1":5,"b2":7}`)
req, _ := http.NewRequest("POST", "https://api.kit.forhosting.com/algebra/system-2x2", body)
req.Header.Set("Authorization", "Bearer "+os.Getenv("KIT_KEY"))
req.Header.Set("Content-Type", "application/json")
res, _ := http.DefaultClient.Do(req)

مثال على الطلب

{
  "a11": 2,
  "a12": 1,
  "a21": 1,
  "a22": 3,
  "b1": 5,
  "b2": 7
}

مثال على الاستجابة

{
  "task_id": "tsk_a1b2c3d4e5f6a1b2c3d4e5f6",
  "type": "algebra.system_2x2",
  "status": "queued",
  "_links": {
    "result": "/tasks/tsk_…/result"
  }
}

الواجهة غير متزامنة: تستلم task_id فور الإرسال، ويمكنك الاستعلام عن الحالة بمعدل طلب واحد في الثانية.

الأسعار

لكل طلب$0.002

السعر معلن كما تراه: لا tokens ولا نظام نقاط؛ وإن فشلت المهمة فلن تُحاسَب عليها.

الأخطاء

HTTP	الرمز	المعنى
`401`	`unauthorized`	مفتاح الوصول مفقود أو غير صالح؛ تحقق من ترويسة Bearer في طلبك.
`402`	`insufficient_balance`	رصيدك لا يكفي لتنفيذ هذه المهمة؛ أعد شحن الرصيد ثم أعد المحاولة.
`404`	`unknown_type`	نوع المهمة المطلوب غير موجود في الكتالوج — راجع الاسم المرسل في الطلب.
`429`	`rate_limited`	تجاوزت الحد المسموح من الطلبات؛ انتظر قليلًا ثم أعد المحاولة.

ملاحظات تقنية

تُرفض الأنظمة الشاذة —خطوط متوازية أو متطابقة بمحددة صفر— بـinvalid_input بدل اختراع جذر فريد زائف.

ما النظام الخطي 2×2 ومتى يكون له حل فريد

في حالتي التفرد ترفض هذه API اختراع زوج فريد وتفشل بـinvalid_input، مطابقًا وعد وصف المنتج. تستغل قاعدة كرامر حالة المحددة غير الصفرية مباشرة: استبدلوا العمود الأول من A بالثوابت للحصول على det_x، والعمود الثاني للحصول على det_y، ثم عيّنوا x يساوي det_x على det وy يساوي det_y على det.

كيف تستدعون المحلّ وتقرأون الاستجابة

عيّنوا اختياريًا method إلى cramer (الافتراضي) أو elimination. عندما تكون القيمة المطلقة لمحددة المعاملات أصغر من إبسيلون ضيق قرب 1e-12، يفشل الطلب أيضًا برسالة أن النظام شاذ وليس له حل فريد. عند النجاح تشمل الاستجابة دائمًا x وy وdeterminant وmethod وعلامة unique بقيمة true وكائن equations بسلاسل عرض لكلا الخطين. يُنظَّف الغبار العددي قرب الصفر لتبقى goldens والعروض المقروءة مستقرة، بينما تحتفظ الأعداد الحقيقية غير الصحيحة العادية بدقة مزدوجة كاملة. أرسلوا جسم JSON بالأعداد الستة الإلزامية a11 وa12 وa21 وa22 وb1 وb2. يتحقق المحرك من أن كل معامل عدد منتهٍ؛ الحقول الناقصة والسلاسل غير العددية وNaN أو Infinity تفشل فورًا بـinvalid_input ولا تُحاسب. إن اخترتم قاعدة كرامر تُضمَّن det_x وdet_y ليُظهر واجهة تعليمية المحددات الثلاث جنبًا إلى جنب. اربطوا نقطة النهاية بسكربتات تتكلم JSON أصلًا وتحتاج عقدًا مستقرًا بدل إعادة تنفيذ منطق المحور في كل لغة.

الاستخدام العملي والتسعير والحدود والتسليم

استخدموا API عندما تحتاج منصة تدريس أو صندوق رمل لمقابلات البرمجة أو دفتر مختبر فيزياء أو أنبوب جداول JSON مستقرًا لمجموعات معاملات كثيرة بعقد واحد. كل طلب ناجح بند قابل للفوترة بسعر $0.002؛ فشل التحقق والأنظمة الشاذة لا تستهلك الرصيد.

حالات التكامل

تدريس كرامر مقابل الحذف

يمكن لصفحات الدرس تبديل الطريقة وإظهار det_x وdet_y أو مسار الحذف ليربط المتعلمون كلا الخوارزميتين بنفس التقاطع الفريد.

أسئلة تقنية

كيف أحل نظام معادلات 2×2 بهذه API؟

أرسلوا JSON بالحقول a11 وa12 وa21 وa22 وb1 وb2 (وmethod اختياري). تعيد الاستجابة x وy وdeterminant وحقولًا ذات صلة عند وجود حل فريد.

ماذا يحدث إن كان النظام شاذًا؟

عندما تكون محددة المعاملات صفرًا (ضمن إبسيلون ضيق)، يفشل الطلب بـinvalid_input ولا يُحاسب — لا يوجد حل فريد.

هل محلّ أنظمة 2×2 مجاني؟

تعمل أداة المتصفح مجانًا على جهازكم. تستخدم استدعاءات API رصيد KIT المدفوع مسبقًا بمبلغ $0.002 لكل بند ناجح؛ فشل التحقق والأنظمة الشاذة لا تُحاسب.

اطّلع على توثيق KIT الكامل ←

شغّل الأداة مجانًا

مثال محلول

ما النظام الخطي 2×2 ومتى يكون له حل فريد

الاستخدام العملي والتسعير والحدود والتسليم

حالات الاستخدام

التحقق من الواجبات والتدريس

استعادة معلمتين في الأنابيب

الأسئلة الشائعة

أدوات ذات صلة

للمطوّرين — الوصول عبر API

الـEndpoint

استدعِ الخدمة من بيئتك

مثال على الطلب

مثال على الاستجابة

الأسعار

الأخطاء

ملاحظات تقنية

ما النظام الخطي 2×2 ومتى يكون له حل فريد

كيف تستدعون المحلّ وتقرأون الاستجابة

الاستخدام العملي والتسعير والحدود والتسليم

حالات التكامل

تدريس كرامر مقابل الحذف

أسئلة تقنية

شكرًا