Résoudre un système 2×2 d'équations linéaires
Les droites 2x + y égal à 5 et x + 3y égal à 7 se coupent en (1,6 ; 1,8) : le solveur trouve l’unique intersection de deux équations linéaires par Cramer ou par élimination et affiche le déterminant, ici 5. Gratuit dans votre navigateur.
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Exemple résolu
- A11
- 2
- A12
- 1
- A21
- 1
- A22
- 3
- B1
- 5
- B2
- 7
- X
- 1,6
- Y
- 1,8
- Déterminant
- 5
- Det. x
- 8
Un système linéaire deux par deux est le plus petit modèle utile d'équations simultanées : deux inconnues contraintes par deux droites indépendantes. Les élèves le rencontrent en traçant des intersections, les ingénieurs en équilibrant deux forces ou deux mailles de circuit, et les pipelines de données en récupérant deux paramètres à partir de deux observations indépendantes. Cette capacité résout a11 x plus a12 y égal à b1 et a21 x plus a22 y égal à b2, en renvoyant le couple unique x et y lorsque le déterminant des coefficients est non nul. Vous pouvez choisir la règle de Cramer, qui construit trois déterminants deux par deux, ou l'élimination de Gauss avec pivot partiel, qui réduit la matrice augmentée.
Qu'est-ce qu'un système linéaire 2×2 et quand a-t-il une solution unique
Écrivez le système sous forme matricielle comme A fois le vecteur colonne des inconnues égal au vecteur colonne des constantes. La matrice des coefficients A contient a11 et a12 sur la première ligne et a21 et a22 sur la seconde. Son déterminant, a11 fois a22 moins a12 fois a21, est un seul nombre qui décide de la géométrie des deux droites dans le plan.
Lorsque le déterminant est non nul les droites ne sont pas parallèles : elles se croisent en exactement un point, et cette intersection est la solution unique (x, y). Lorsque le déterminant est zéro les lignes de A sont linéairement dépendantes, de sorte que les droites sont parallèles et ne se rencontrent jamais (pas de solution) ou sont la même droite écrite deux fois (infiniment de solutions). L'élimination atteint le même couple en annulant l'entrée inférieure gauche et en remontant.
L'une ou l'autre méthode est exacte pour des coefficients flottants ordinaires dans la précision machine, et toutes deux sont assez bon marché pour s'exécuter entièrement dans le navigateur sans solveur distant.
Usage pratique, tarifs, limites et livraison
Utilisez l'outil navigateur lorsque vous voulez une intersection exacte immédiate en corrigeant des devoirs, en préparant une diapositive de cours ou en déboguant des contraintes à deux équations sans installer un système d'algèbre computerisée. Il n'y a ni modèle de langage, ni service externe d'algèbre linéaire, ni aléatoire, de sorte que la capacité est sûre à figer dans des contrôles d'intégration continue et des supports de leçon reproductibles. Les résultats sont pleinement déterministes : les mêmes coefficients et la même méthode produisent toujours les mêmes x, y et déterminant.
Préférez la règle de Cramer lorsque vous voulez des déterminants intermédiaires pour l'explication ; préférez l'élimination lorsque vous enseignez les opérations sur les lignes et voulez le chemin qui se généralise aux systèmes plus grands. Gardez les coefficients dans des magnitudes flottantes ordinaires pour que l'annulation ne domine pas ; pour des entiers de classe et des échelles d'ingénierie typiques le solveur est exact dans la précision double.
Les entrées et sorties sources suivent les mêmes règles de rétention que les autres items parse de KIT, et une tâche échouée n'est jamais facturée après validation.
Cas d’usage
Vérification de devoirs et tutorat
Élèves et correcteurs confirment (x, y) pour deux équations linéaires, y compris les cas singuliers qui échouent correctement, sans installer un CAS local.
Récupération de deux paramètres dans des pipelines
Des scripts qui ajustent deux inconnues à partir de deux contraintes linéaires indépendantes appellent un oracle 2×2 déterministe au lieu de réimplémenter les déterminants dans chaque langage.
Questions fréquentes
Quelle est la différence entre la règle de Cramer et l'élimination ?
L'élimination réduit la matrice augmentée avec pivot partiel. Les deux renvoient le même (x, y) unique lorsque le système n'est pas singulier.
Peut-il résoudre des systèmes plus grands comme 3×3 ?
Non. Cette capacité se limite à deux équations à deux inconnues. Les systèmes plus grands nécessitent une autre capacité ou une bibliothèque générale d'algèbre linéaire.
Que se passe-t-il si le déterminant est nul ?
Les deux droites sont alors parallèles ou confondues, et il n’existe pas de solution unique. Le solveur indique que le système est singulier au lieu d’inventer un couple de valeurs.
Comment la règle de Cramer résout-elle un système 2×2 ?
On remplace une colonne de coefficients par les seconds membres et on divise ce déterminant par le déterminant principal. Dans l’exemple, 8 et 9 divisés par 5 donnent 1,6 et 1,8.
Les coefficients peuvent-ils être décimaux ?
Oui, tout nombre fini est accepté, entier ou décimal. Le calcul est exact à la précision habituelle des nombres décimaux de l’ordinateur, ce qui suffit pour les exercices et les valeurs d’ingénierie courantes.
Outils associés
Pour les développeurs — accès API
Tout sur cette page est disponible par programmation. Cette section s'adresse aux équipes qui veulent l'intégrer à leurs systèmes ; les autres peuvent simplement utiliser l'outil ci-dessus.
Endpoint
Authentification par jeton Bearer : un seul POST met la tâche en file d’attente, et le résultat vous parvient par webhook ou lien signé.
Appeler depuis votre stack
curl -X POST https://api.kit.forhosting.com/algebra/system-2x2 \
-H "Authorization: Bearer $KIT_KEY" \
-H "Content-Type: application/json" \
-d '{"a11":2,"a12":1,"a21":1,"a22":3,"b1":5,"b2":7}'const res = await fetch("https://api.kit.forhosting.com/algebra/system-2x2", {
method: "POST",
headers: {
"Authorization": `Bearer ${process.env.KIT_KEY}`,
"Content-Type": "application/json"
},
body: JSON.stringify({
"a11": 2,
"a12": 1,
"a21": 1,
"a22": 3,
"b1": 5,
"b2": 7
})
});
const { task_id } = await res.json();import os, requests
res = requests.post(
"https://api.kit.forhosting.com/algebra/system-2x2",
headers={"Authorization": f"Bearer {os.environ['KIT_KEY']}"},
json={
"a11": 2,
"a12": 1,
"a21": 1,
"a22": 3,
"b1": 5,
"b2": 7
},
)
task_id = res.json()["task_id"]<?php
$res = file_get_contents("https://api.kit.forhosting.com/algebra/system-2x2", false, stream_context_create([
"http" => [
"method" => "POST",
"header" => "Authorization: Bearer " . getenv("KIT_KEY") . "\r\nContent-Type: application/json",
"content" => '{"a11":2,"a12":1,"a21":1,"a22":3,"b1":5,"b2":7}',
],
]));
$task = json_decode($res, true);body := bytes.NewBufferString(`{"a11":2,"a12":1,"a21":1,"a22":3,"b1":5,"b2":7}`)
req, _ := http.NewRequest("POST", "https://api.kit.forhosting.com/algebra/system-2x2", body)
req.Header.Set("Authorization", "Bearer "+os.Getenv("KIT_KEY"))
req.Header.Set("Content-Type", "application/json")
res, _ := http.DefaultClient.Do(req)Exemple de requête
{
"a11": 2,
"a12": 1,
"a21": 1,
"a22": 3,
"b1": 5,
"b2": 7
}Exemple de réponse
{
"task_id": "tsk_a1b2c3d4e5f6a1b2c3d4e5f6",
"type": "algebra.system_2x2",
"status": "queued",
"_links": {
"result": "/tasks/tsk_…/result"
}
}L’API est asynchrone : chaque appel renvoie un task_id immédiatement, puis vous interrogez l’état à raison d’une requête par seconde.
Tarifs
Le prix est publié, sans tokens ni crédits. Une tâche qui échoue n’est pas facturée.
Erreurs
| HTTP | Code | Signification |
|---|---|---|
401 | unauthorized | Clé API absente ou invalide : vérifiez l’en-tête Authorization. |
402 | insufficient_balance | Solde insuffisant : rechargez votre compte pour lancer cette tâche. |
404 | unknown_type | Type de tâche inconnu : vérifiez le champ type de votre requête. |
429 | rate_limited | Trop de requêtes : ralentissez la cadence, puis réessayez. |
Notes techniques
Les systèmes singuliers —droites parallèles ou confondues avec déterminant zéro— sont rejetés avec invalid_input au lieu d'inventer une racine unique fausse.
Qu'est-ce qu'un système linéaire 2×2 et quand a-t-il une solution unique
Dans les deux cas singuliers cette API refuse d'inventer un couple unique et échoue avec invalid_input, conformément à la promesse de la description du produit. La règle de Cramer exploite directement le cas de déterminant non nul : remplacez la première colonne de A par les constantes pour obtenir det_x, remplacez la seconde pour obtenir det_y, puis fixez x égal à det_x sur det et y égal à det_y sur det.
Comment appeler le solveur et lire la réponse
Fixez éventuellement method à cramer (la valeur par défaut) ou elimination. Lorsque la valeur absolue du déterminant des coefficients est inférieure à un epsilon serré près de 1e-12, la requête échoue aussi avec un message indiquant que le système est singulier et n'a pas de solution unique. En succès la réponse inclut toujours x, y, determinant, method, un indicateur unique à true et un objet equations avec des chaînes d'affichage pour les deux droites. La poussière numérique près de zéro est nettoyée pour que les goldens et les démos lisibles restent stables, tandis que les réels non entiers ordinaires gardent la pleine précision double. Envoyez un corps JSON avec les six nombres obligatoires a11, a12, a21, a22, b1 et b2. Le moteur valide que chaque coefficient est un nombre fini ; les champs manquants, les chaînes non numériques et NaN ou Infinity échouent immédiatement avec invalid_input et ne sont pas facturés. Si vous avez choisi la règle de Cramer, det_x et det_y sont inclus pour qu'une interface pédagogique montre les trois déterminants côte à côte. Branchez le endpoint sur des scripts qui parlent déjà JSON et ont besoin d'un contrat stable plutôt que de réimplémenter la logique de pivot dans chaque langage.
Usage pratique, tarifs, limites et livraison
Utilisez l'API lorsqu'une plateforme de tutorat, un sandbox d'entretien de code, un carnet de laboratoire de physique ou un pipeline de tableur a besoin de JSON stable pour de nombreux jeux de coefficients sous un seul contrat. Chaque requête réussie est un item facturable à $0.002 ; les échecs de validation et les systèmes singuliers ne consomment pas le solde.
Cas d'intégration
Enseigner Cramer versus élimination
Les pages de leçon peuvent changer de méthode et montrer det_x, det_y ou le chemin d'élimination pour que les apprenants relient les deux algorithmes à la même intersection unique.
Questions techniques
Comment résoudre un système 2×2 d'équations avec cette API ?
Envoyez du JSON avec a11, a12, a21, a22, b1 et b2 (et method optionnel). La réponse renvoie x, y, determinant et des champs liés lorsqu'une solution unique existe.
Que se passe-t-il si le système est singulier ?
Lorsque le déterminant des coefficients est zéro (dans un epsilon serré), la requête échoue avec invalid_input et n'est pas facturée — il n'y a pas de solution unique.
Le solveur de systèmes 2×2 est-il gratuit ?
L'outil navigateur s'exécute gratuitement sur votre appareil. Les appels API utilisent le solde prépayé KIT à $0.002 par item réussi ; les échecs de validation et les systèmes singuliers ne sont pas facturés.