Calculateur règle de Cramer

La règle de Cramer est la méthode classique par déterminants pour résoudre un système linéaire carré de la forme A fois x égale b lorsque la matrice des coefficients A est inversible. Pour une matrice n par n vous calculez le déterminant principal D égal à det de A, puis pour chaque indice de colonne i vous remplacez cette colonne de A par le vecteur des constantes b afin de former A sub i et vous posez l'inconnue x sub i égale à det de A sub i divisé par D. La construction est exacte en arithmétique exacte, entièrement transparente pour vérifier les devoirs, et reste utile comme oracle pédagogique à côté de l'élimination de Gauss. Ce calculateur accepte une matrice de coefficients imbriquée et un vecteur de constantes de longueur correspondante, renvoie chaque variable avec son déterminant de remplacement, et rejette un déterminant de coefficients nul avec une erreur de validation claire, de sorte que les systèmes singuliers ou dépendants ne sont jamais présentés comme solutions uniques.

Comment la règle de Cramer résout Ax égale b

Partez d'un système réel carré écrit sous la forme A fois x égale b, où A est une matrice de coefficients n par n, x le vecteur colonne d'inconnues de longueur n, et b le second membre de longueur n. La règle de Cramer exige d'abord que D, le déterminant de A, soit non nul ; sinon la matrice est singulière et il n'y a soit aucune solution, soit une infinité, et la formule classique est indéfinie. Lorsque D est non nul, il existe exactement une solution.

Pour chaque indice i de zéro à n moins un, formez la matrice A sub i en copiant A et en remplaçant la colonne i par le vecteur b entier, sans toucher aux autres colonnes. Calculez D sub i égal à det de A sub i avec le même algorithme de déterminant que pour D. Alors la valeur unique de la i-ème inconnue est x sub i égale à D sub i divisé par D.

Pour les systèmes deux par deux, les déterminants se réduisent aux produits ad moins bc que les étudiants mémorisent ; pour trois par trois, un développement de Laplace sur la première ligne est standard ; pour n plus grand, une factorisation LU avec pivot évalue chaque déterminant en temps cubique. Une fois les n quotients connus, vous détenez le vecteur solution complet et pouvez le réinjecter dans chaque équation pour vérifier des résidus proches de zéro. Les entrées doivent être finies ; NaN et Infinity sont rejetés.

Les décalages de dimension entre la matrice et le vecteur de constantes échouent tôt en entrée invalide. Un déterminant de coefficients numériquement indiscernable de zéro échoue avec un message indiquant que la règle de Cramer exige une matrice non singulière, afin que le client puisse basculer vers une analyse de rang ou des moindres carrés plutôt que d'improviser.

Où les calculateurs de la règle de Cramer interviennent en pratique

Les cours d'algèbre linéaire du secondaire et de l'université assignent sans cesse des exercices de règle de Cramer, des systèmes deux par deux et trois par trois à solutions entières, et des comparaisons avec l'élimination ; un seul oracle de confiance qui renvoie chaque variable à côté de son déterminant de remplacement accélère la notation et la préparation des démos.

Les problèmes de concours de programmation et les échauffements d'entretien cachent souvent de petits systèmes denses sous des contraintes géométriques, des lois de circuits ou des équations de mélange, et les ingénieurs ont besoin de solutions uniques exactes avec des déterminants intermédiaires transparents plutôt que d'un solveur boîte noire qui n'imprime que le vecteur.

Les laboratoires de commande et l'analyse introductive des circuits guident encore les étudiants par la règle de Cramer avant d'introduire les factorisations matricielles, de sorte qu'aligner det de A et det de A sub i sur le travail à la main compte davantage que le coût asymptotique. Les cours de méthodes numériques utilisent la règle de Cramer comme cas de contraste face à l'élimination de Gauss et aux méthodes itératives, et ont besoin d'un rejet correct de singularité lorsque le déterminant des coefficients s'annule.

Si vous avez ensuite besoin seulement du déterminant d'une matrice, d'une forme échelonnée réduite, de moindres carrés pour des systèmes non carrés ou de solveurs de valeurs propres, traitez-les comme des intentions de recherche et des pages d'atterrissage distinctes plutôt que de surcharger cette page du calculateur de la règle de Cramer.