ForHosting KIT · 数学

クラメルの公式電卓

2x + yとx + 3yがどちらも5のとき、解は(2, 1)で、行列式は5、10、5です。係数と定数を入力すると、各未知数が2つの行列式の比として分かります。ブラウザで無料で使えます。

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クラメルの公式は、係数行列Aが正則であるとき、Aかけるxがbに等しい形の正方線形系を解くための古典的な行列式法です。n次正方行列では、まず主行列式DをAの行列式として求め、列インデックスiごとにAのその列を定数ベクトルbで置き換えたA sub iを作り、未知数x sub iをA sub iの行列式をDで割った値とします。厳密演算では構成は厳密であり、宿題の検算に完全に透明で、ガウス消去法と並ぶ教育用オラクルとしてもなお有用です。本電卓は入れ子の係数行列と一致する長さの定数ベクトルを受け取り、各変数を置換行列式とともに返し、係数行列式が零の場合は明確な検証エラーで拒否するため、特異または従属な系が唯一解として提示されることはありません。

クラメルの公式がAx=bを解く仕組み

Aかけるxがbに等しいと書かれた正方実数系から始めます。ここでAはn次正方係数行列、xは長さnの未知数列ベクトル、bは長さnの右辺です。クラメルの公式はまずD＝Aの行列式が非零であることを要求します。

そうでなければ行列は特異で、解がないか無限個あり、古典公式は未定義です。Dが非零のとき解はちょうど一つです。インデックスiを0からn−1までそれぞれについて、Aをコピーし列iをベクトルb全体で置き換えて（他の列は触らず）行列A sub iを作ります。

D sub iをA sub iの行列式として、Dと同じ行列式アルゴリズムで計算します。するとi番目の未知数の一意の値はx sub i＝D sub i／Dです。2次系では行列式は学生が暗記するad−bc積に帰着し、3次では第1行のラプラス展開が標準で、より大きなnではピボット付きLU分解が各行列式を立方時間で評価します。

n個の商がすべて分かれば完全な解ベクトルが得られ、各方程式に代入して残差がほぼ零であることを確認できます。要素は有限でなければならず、NaNとInfinityは拒否されます。行列と定数ベクトルの次元不一致は早期に無効入力で失敗します。

数値的に零と区別できない係数行列式は、クラメルの公式が非特異行列を必要とするというメッセージで失敗し、クライアントは当て推量ではなく階数解析や最小二乗に切り替えられます。

クラメルの公式電卓が実務で使われる場面

中等・大学の線形代数ではクラメルの公式ドリル、整数解の2次・3次系、消去法との比較が絶えず出題され、各変数を置換行列式と並べて返す信頼できる単一オラクルが採点とデモ準備を加速します。

プログラミングコンテストや面接のウォームアップは幾何制約・回路法則・混合方程式の下に小さな密系を隠すことが多く、技術者はベクトルだけを出すブラックボックスソルバではなく、透明な中間行列式付きの厳密な一意解を必要とします。

制御実験や入門回路解析は行列因子分解の前にクラメルの公式で学生を導くため、AとA sub iの行列式を手計算と一致させることが漸近コストより重要です。数値計算法の授業はガウス消去や反復法との対比例としてクラメルの公式を使い、係数行列式が消えたときの正しい特異拒否を必要とします。

後で行列の行列式だけ、既約行階段形、非正方系の最小二乗、固有値ソルバが必要なら、このクラメルの公式電卓ページを過負荷にせず、別の検索意図とランディングとして扱ってください。

活用例

宿題・試験の解答キー

教科書のAx=b集合について各変数・det(A)・置換det(A_i)を生成し、教員と自動採点が一つのクラメルの公式の正解を共有できるようにします。

小さな回路・混合系

キルヒホッフや混合の2・3方程式問題を、不透明なブラックボックス線形ソルバではなく透明な行列式で解きます。

よくある質問

係数行列式が零だとどうなりますか？

クラメルの公式は一意解のためdet(A) ≠ 0を必要とし、特異または従属な系は値を捏造せず拒否されます。

対応する行列サイズは？

1×1から8×8までの正方系です。行列式は1×1・2×2で閉形式、3×3で余因子展開、より大きなnでは部分ピボット付きLUを用います。

クラメルの公式はどう使いますか？

係数の行列式Dを求め、列を1つずつ定数に置き換えた行列式をそれぞれDで割ります。2x + yとx + 3yがどちらも5なら、Dは5で、xは10 ÷ 5 = 2、yは5 ÷ 5 = 1です。

解はどう確かめますか？

求めた値を元の各式に代入します。xが2、yが1なら、2 · 2 + 1は5、2 + 3 · 1も5になるので、解は正しいと確認できます。

消去法ではなくクラメルの公式を使うのはどんなときですか？

小さな正方の系で、各未知数がどの行列式から来るかを見せたいときに向いています。宿題の確認や授業で、ガウスの消去法と並べて答えを照らし合わせるのに便利です。

開発者向け — APIアクセス

このページの機能はすべてAPIからも利用できます。自社システムに組み込みたいチーム向けのセクションです。それ以外の方は上のツールをそのままお使いください。

エンドポイント

POSThttps://api.kit.forhosting.com/algebra/cramers-rule

Bearerトークンで認証し、POST1回でタスクをキューに登録します。結果はWebhookまたは署名付きリンクで受け取れます。

お使いのスタックから呼び出す

curl -X POST https://api.kit.forhosting.com/algebra/cramers-rule \
  -H "Authorization: Bearer $KIT_KEY" \
  -H "Content-Type: application/json" \
  -d '{"matrix":[[2,1],[1,3]],"constants":[5,5]}'

const res = await fetch("https://api.kit.forhosting.com/algebra/cramers-rule", {
  method: "POST",
  headers: {
    "Authorization": `Bearer ${process.env.KIT_KEY}`,
    "Content-Type": "application/json"
  },
  body: JSON.stringify({
    "matrix": [
      [
        2,
        1
      ],
      [
        1,
        3
      ]
    ],
    "constants": [
      5,
      5
    ]
  })
});
const { task_id } = await res.json();

import os, requests

res = requests.post(
    "https://api.kit.forhosting.com/algebra/cramers-rule",
    headers={"Authorization": f"Bearer {os.environ['KIT_KEY']}"},
    json={
    "matrix": [
        [
            2,
            1
        ],
        [
            1,
            3
        ]
    ],
    "constants": [
        5,
        5
    ]
},
)
task_id = res.json()["task_id"]

<?php
$res = file_get_contents("https://api.kit.forhosting.com/algebra/cramers-rule", false, stream_context_create([
  "http" => [
    "method"  => "POST",
    "header"  => "Authorization: Bearer " . getenv("KIT_KEY") . "\r\nContent-Type: application/json",
    "content" => '{"matrix":[[2,1],[1,3]],"constants":[5,5]}',
  ],
]));
$task = json_decode($res, true);

body := bytes.NewBufferString(`{"matrix":[[2,1],[1,3]],"constants":[5,5]}`)
req, _ := http.NewRequest("POST", "https://api.kit.forhosting.com/algebra/cramers-rule", body)
req.Header.Set("Authorization", "Bearer "+os.Getenv("KIT_KEY"))
req.Header.Set("Content-Type", "application/json")
res, _ := http.DefaultClient.Do(req)

リクエスト例

{
  "matrix": [
    [
      2,
      1
    ],
    [
      1,
      3
    ]
  ],
  "constants": [
    5,
    5
  ]
}

レスポンス例

{
  "task_id": "tsk_a1b2c3d4e5f6a1b2c3d4e5f6",
  "type": "algebra.cramers_rule",
  "status": "queued",
  "_links": {
    "result": "/tasks/tsk_…/result"
  }
}

非同期APIです。task_idは即時に返ります。ポーリングは1秒あたり1リクエストまでです。

料金

1リクエストあたり$0.002

単価はすべて公開しています。トークン換算や独自クレジットはありません。失敗したタスクは課金されません。

エラー

HTTP	コード	意味
`401`	`unauthorized`	APIキーが無効か、指定されていません。Authorizationヘッダーを確認してください。
`402`	`insufficient_balance`	残高が不足しています。チャージ後に再度お試しください。
`404`	`unknown_type`	指定されたタスクタイプは存在しません。タイプ名を確認してください。
`429`	`rate_limited`	リクエストが多すぎます。しばらく待ってから再度お試しください。

技術的な注記

無料のブラウザツールと有料APIは同一の純粋同型関数を共有するため、教室デモと自動パイプラインが同じ数値で食い違うことはありません。

クラメルの公式がAx=bを解く仕組み

パイプライン全体は決定的な浮動小数点演算であり、乱数シード、壁時計タイムスタンプ、ネットワーク呼び出し、モデルドリフトはなく、同一の行列と定数は常に同一のJSONを生みます。

送信内容と返却内容

Aの行列式が零または極めて零に近い場合、係数行列式が零でありクラメルの公式が一意解を作れないというメッセージで要求は失敗します。2つのフィールドを送ってください。フィールドmatrixは有限数の正方入れ子配列、またはその形のJSON文字列で、行・列は最大8までです。フィールドconstantsは長さnの有限数配列、またはその配列のJSON文字列で、行列次元と完全に一致します。両フィールドとも必須です。欠落フィールド、非数値文字列、NaN、Infinity、非正方行列、空行列、過大次元、長さの誤ったconstantsはinvalid_inputで失敗し、課金されません。成功時、応答は整理済みのmatrixとconstants、印刷可能な連立方程式文字列、主行列式、n個の置換行列式の配列det_columns、n個の数のsolution配列、およびx・y・zやx1〜xnのような人間可読名・数値・対応するdet_Aiを持つオブジェクトのvariables配列をエコーします。フラグunique true、method cramers_rule、det_method closedまたはcofactorまたはLUは行列式の評価方法を記録します。古典的な教科書チェックには、2x+y=5とx+3y=5で解x=2・y=1となる2次系や、整数解の任意の正則3次教室例があります。成功したAPI呼び出しの料金は公開ベースの$0.002/件で、検証失敗は前払い残高を消費しません。

クラメルの公式電卓が実務で使われる場面

本機能は純粋なparseエンジンのため、API料金は成功件あたり公開ベースの$0.002で、検証失敗は残高を消費しません。

連携の活用例

コンテスト・面接用fixture

密なn≤8系の一意解を一括生成し、特異係数行列を静かなNaNではなく硬いinvalid_inputで捕捉します。

技術的な質問

クラメルの公式とは何ですか？

正方で正則な系Ax=bでは、各未知数はx_i = det(A_i)/det(A)です。ここでA_iは列iを定数ベクトルbで置き換えたAです。

入力の書式はどうすればよいですか？

matrixを行の入れ子配列（例: [[2,1],[1,3]]）、constantsを一致する長さnの配列（例: [5,5]）として送ってください。同じ形のJSON文字列も受け付けます。

費用はいくらですか？

ブラウザツールは無料でローカル実行です。API要求は成功件あたり$0.002の前払いKIT残高を使い、無効入力は課金されません。

KITの完全なドキュメントを見る →

クラメルの公式電卓

無料で実行

クラメルの公式がAx=bを解く仕組み

クラメルの公式電卓が実務で使われる場面

活用例

宿題・試験の解答キー

小さな回路・混合系

よくある質問

関連ツール

開発者向け — APIアクセス

エンドポイント

お使いのスタックから呼び出す

リクエスト例

レスポンス例

料金

エラー

技術的な注記

クラメルの公式がAx=bを解く仕組み

送信内容と返却内容

クラメルの公式電卓が実務で使われる場面

連携の活用例

コンテスト・面接用fixture

技術的な質問

ありがとう