Calculadora regla de Cramer
Si tanto 2x + y como x + 3y valen 5, la solución es (2, 1), con determinantes 5, 10 y 5: indique los coeficientes y los términos independientes y vea cada incógnita como cociente de dos determinantes. Gratis en su navegador.
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La regla de Cramer es el método clásico por determinantes para resolver un sistema lineal cuadrado de la forma A por x igual a b cuando la matriz de coeficientes A es invertible. Para una matriz n por n se calcula el determinante principal D igual a det de A; a continuación, por cada índice de columna i se sustituye esa columna de A por el vector de términos independientes b para formar A sub i y se define la incógnita x sub i como det de A sub i dividido por D. La construcción es exacta en aritmética exacta, totalmente transparente para comprobar ejercicios y sigue siendo útil como oráculo didáctico junto a la eliminación de Gauss. Esta calculadora acepta una matriz de coeficientes anidada y un vector de constantes de longitud coincidente, devuelve cada variable con su determinante de sustitución y rechaza un determinante de coeficientes nulo con un error de validación claro, de modo que los sistemas singulares o dependientes nunca se presentan como solución única.
Cómo la regla de Cramer resuelve Ax igual a b
Parta de un sistema real cuadrado escrito como A por x igual a b, donde A es una matriz de coeficientes n por n, x es el vector columna de incógnitas de longitud n y b es el segundo miembro de longitud n. La regla de Cramer exige primero que D, el determinante de A, sea distinto de cero; en caso contrario la matriz es singular y o bien no hay solución o hay infinitas, y la fórmula clásica queda indefinida. Cuando D es no nulo existe exactamente una solución.
Para cada índice i desde cero hasta n menos uno, forme la matriz A sub i copiando A y reemplazando la columna i por el vector b completo, sin tocar el resto de columnas. Calcule D sub i igual a det de A sub i con el mismo algoritmo de determinante usado para D. Entonces el valor único de la i-ésima incógnita es x sub i igual a D sub i dividido por D.
En sistemas dos por dos los determinantes se reducen a los productos ad menos bc que memorizan los estudiantes; en tres por tres es habitual una expansión de Laplace por la primera fila; para n mayor, una factorización LU con pivote evalúa cada determinante en tiempo cúbico. Tras conocer los n cocientes se tiene el vector solución completo y se puede sustituir en cada ecuación para verificar residuos cercanos a cero. Las entradas deben ser finitas; NaN e Infinity se rechazan.
Los desajustes de dimensión entre la matriz y el vector de constantes fallan pronto con entrada inválida. Un determinante de coeficientes numéricamente indistinguible de cero falla con un mensaje de que la regla de Cramer requiere una matriz no singular, para que el cliente pueda pasar a un análisis de rango o a mínimos cuadrados en lugar de improvisar.
Dónde aparecen las calculadoras de la regla de Cramer en el trabajo real
Los cursos de álgebra lineal de secundaria y universidad asignan sin cesar ejercicios de la regla de Cramer, sistemas dos por dos y tres por tres con soluciones enteras, y comparaciones con la eliminación; un único oráculo de confianza que devuelve cada variable junto a su determinante de sustitución agiliza la corrección y el montaje de demos.
Los problemas de olimpiadas de programación y los calentamientos de entrevista a menudo esconden sistemas densos pequeños bajo restricciones geométricas, leyes de circuitos o ecuaciones de mezclas, y los ingenieros necesitan soluciones únicas exactas con determinantes intermedios transparentes en lugar de un solucionador de caja negra que solo imprime el vector.
Los laboratorios de control y el análisis introductorio de circuitos siguen guiando a los estudiantes por la regla de Cramer antes de presentar factorizaciones matriciales, de modo que emparejar det de A y det de A sub i con el trabajo a mano importa más que el coste asintótico. Los cursos de métodos numéricos usan la regla de Cramer como caso de contraste frente a la eliminación de Gauss y los métodos iterativos, y necesitan un rechazo correcto de singularidad cuando el determinante de coeficientes se anula.
Si más adelante solo necesita el determinante de una matriz, una forma escalonada reducida, mínimos cuadrados para sistemas no cuadrados o resolutores de autovalores, trátelos como intenciones de búsqueda y aterrizajes separados en lugar de sobrecargar esta página de la calculadora de la regla de Cramer.
Qué puede hacer con ella
Claves de respuesta para deberes y exámenes
Genere cada variable, det(A) y det(A_i) de sustitución para conjuntos Ax=b de libro de texto, de modo que docentes y autoevaluadores compartan una sola verdad de la regla de Cramer.
Sistemas pequeños de circuitos y mezclas
Resuelva problemas de Kirchhoff o de mezclas de dos y tres ecuaciones con determinantes transparentes en lugar de solucionadores lineales opacos de caja negra.
Preguntas frecuentes
¿Qué ocurre si el determinante de coeficientes es cero?
La regla de Cramer exige det(A) ≠ 0 para una solución única; los sistemas singulares o dependientes se rechazan en lugar de inventar valores.
¿Qué tamaños de matriz se admiten?
Sistemas cuadrados desde 1×1 hasta 8×8. Los determinantes usan formas cerradas para 1×1 y 2×2, expansión por cofactores para 3×3 y LU con pivote parcial para n mayor.
¿Cuánto cuesta?
La herramienta del navegador es gratuita y se ejecuta en local.
¿Cómo funciona la regla de Cramer?
Calcule el determinante D de los coeficientes; después sustituya una columna cada vez por los términos independientes y divida cada nuevo determinante entre D. Si tanto 2x + y como x + 3y valen 5, D es 5, así que x vale 10 ÷ 5 = 2 e y vale 5 ÷ 5 = 1.
¿Cómo compruebo la solución?
Sustituya los valores en cada ecuación original y verifique que se cumplen. Con x igual a 2 e y igual a 1, 2 · 2 + 1 da 5 y 2 + 3 · 1 también da 5, así que la solución es correcta.
Herramientas relacionadas
Para desarrolladores — acceso por API
Todo lo de esta página está disponible por programación. Esta sección es para equipos que quieren integrarlo en sus sistemas; el resto puede usar la herramienta de arriba sin más.
Endpoint de API
¿Prefiere automatizarlo? Un POST autenticado crea la tarea; el resultado llega por webhook o enlace firmado. La misma capacidad también se ejecuta aquí en la web, por email y desde Telegram — y pronto también desde nuestra app.
Llámela desde su stack
curl -X POST https://api.kit.forhosting.com/algebra/cramers-rule \
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req.Header.Set("Content-Type", "application/json")
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],
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3
]
],
"constants": [
5,
5
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}Ejemplo de respuesta
{
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"type": "algebra.cramers_rule",
"status": "queued",
"_links": {
"result": "/tasks/tsk_…/result"
}
}La API es asíncrona: la llamada devuelve un task_id al instante y el resultado llega por webhook. El polling está limitado a 1 req/s por tarea.
Precio
Precio publicado — sin tokens ni créditos inventados. Una tarea fallida no se cobra.
Errores
| HTTP | Código | Significado |
|---|---|---|
401 | unauthorized | API key ausente o inválida. |
402 | insufficient_balance | El saldo no cubre el precio de la tarea. |
404 | unknown_type | El tipo de tarea no existe. |
429 | rate_limited | Demasiadas peticiones. Use el webhook en vez de sondear. |
Notas técnicas
Cómo la regla de Cramer resuelve Ax igual a b
Toda la canalización es aritmética de punto flotante determinista: sin semillas aleatorias, sin marcas de reloj, sin llamadas de red y sin deriva de modelo, de modo que la misma matriz y las mismas constantes producen siempre el mismo JSON.
Qué envía usted y qué recibe a cambio
Envíe dos campos. Ambos campos son obligatorios. Cuando det de A es cero o está extremadamente cerca de cero, la solicitud falla con un mensaje de que el determinante de coeficientes es cero y la regla de Cramer no puede producir una solución única. Comprobaciones clásicas de libro incluyen el sistema dos por dos dos x más y igual a cinco y x más tres y igual a cinco con solución x igual a dos e y igual a uno, y cualquier ejemplo de aula tres por tres invertible con respuestas enteras. El campo matrix es un array anidado cuadrado de números finitos, o una cadena JSON de esa forma, con como máximo ocho filas y ocho columnas. El campo constants es un array de longitud n de números finitos, o una cadena JSON de ese array, que coincide exactamente con la dimensión de la matriz. Campos ausentes, cadenas no numéricas, NaN, Infinity, matrices no cuadradas, matrices vacías, dimensiones excesivas y constants de longitud incorrecta fallan con invalid_input y no se cobran. En caso de éxito la respuesta devuelve la matriz y constants depurados, una cadena imprimible del sistema multi-ecuación, el determinante principal, el array det_columns de los n determinantes de sustitución, el array solution de n números y un array variables de objetos, cada uno con un nombre legible como x, y, z o x1 hasta xn, el valor numérico y el det_Ai correspondiente. Los indicadores unique true, method cramers_rule y det_method closed o cofactor o LU documentan cómo se evaluaron los determinantes. El precio de las llamadas API exitosas es la base publicada de $0.002 por ítem; los fallos de validación no consumen saldo prepago.
Dónde aparecen las calculadoras de la regla de Cramer en el trabajo real
Como esta capacidad es un motor de parse puro, el precio de la API es la base publicada de $0.002 por ítem exitoso y la validación fallida no consume saldo.
Casos de integración
Fixtures de concursos y entrevistas
Produzca en masa soluciones únicas para sistemas densos n≤8 y detecte matrices de coeficientes singulares con un invalid_input duro en lugar de NaN silenciosos.
Preguntas técnicas
¿Qué es la regla de Cramer?
Para un sistema cuadrado invertible Ax=b, cada incógnita es x_i = det(A_i)/det(A), donde A_i es A con la columna i sustituida por el vector de constantes b.
¿Cómo debo formatear la entrada?
Envíe matrix como un array anidado de filas (p. ej. [[2,1],[1,3]]) y constants como un array de longitud n coincidente (p. ej. [5,5]). También se aceptan cadenas JSON de las mismas formas.