Determinante de matriz

El determinante de una matriz cuadrada es un escalar único que codifica el escalado de volumen, la orientación y la invertibilidad de las aplicaciones lineales. Para una matriz uno por uno es simplemente la entrada; para dos por dos es el familiar producto ad menos bc de las diagonales; para tres por tres la expansión clásica de Laplace por cofactores a lo largo de una fila recupera el mismo polinomio que ilustran los diagramas de Sarrus en los libros; para órdenes mayores una factorización LU estable con pivote parcial multiplica la diagonal de U y el signo de la permutación de filas. Esta calculadora acepta un array anidado de números reales finitos, verifica que cada fila tenga la misma longitud igual al número de filas, y devuelve el determinante limpio junto con su valor absoluto, signo, indicador de singularidad, el método usado y una cadena de fórmula breve. Entradas no cuadradas, matrices vacías, NaN, Infinity y rejillas demasiado grandes se rechazan con un error de validación claro en lugar de una respuesta silenciosamente incorrecta.

Cómo se calcula el determinante

Comience con un array n por n de números reales finitos. La capacidad primero comprueba que la estructura es rectangular y cuadrada: cada fila debe ser un array cuya longitud iguale el número de filas. Para n igual a uno el determinante es la única entrada.

Para n igual a dos la forma cerrada multiplica la diagonal principal y resta el producto de la antidiagonal. Para n igual a tres el motor expande a lo largo de la primera fila usando menores dos por dos con signos alternados, que es exactamente la expansión de Laplace por cofactores enseñada en cursos de álgebra lineal y es algebraicamente idéntica al diagrama de Sarrus para matrices reales tres por tres.

Para n mayor o igual que cuatro el motor factoriza una copia de trabajo de A en un L triangular inferior unitario y un U triangular superior tras pivote parcial: en el paso k intercambia la fila actual con la que tiene la entrada de mayor valor absoluto en la columna k, registra cada intercambio como un cambio de signo y elimina por debajo del pivote. Si un pivote es numéricamente cero la matriz se trata como singular y el determinante se devuelve como cero.

En caso contrario el producto de las entradas diagonales de U, multiplicado por el signo de permutación acumulado, es el determinante. Las entradas pueden llegar como números o cadenas numéricas; NaN e Infinity fallan la validación.

Dónde aparecen los determinantes de matrices en el trabajo real

Los cursos de álgebra lineal de secundaria y universidad asignan constantemente ejercicios de cofactores, interpretaciones de área dos por dos y comprobaciones de singularidad antes de la inversión; un único oráculo de confianza que devuelve det, signo y método acelera la calificación y la preparación de demos.

Problemas de concursos de programación y calentamientos de entrevista a menudo preguntan si una matriz es invertible, si el volumen de un paralelepípedo es positivo o si una matriz de cambio de base preserva la orientación, y los ingenieros necesitan un determinante numérico en lugar de un NaN silencioso de un producto sin comprobar. Gráficos por computadora y robótica calculan volúmenes con signo de tetraedros y bases orientadas, y un determinante cero marca una configuración degenerada antes de que una inversa posterior explote.

Las tuberías de estadística y mínimos cuadrados inspeccionan bloques de Gram o de covarianza en busca de casi-singularidad como preflight barato antes de una factorización más costosa. Si más adelante necesita inversa de matriz, autovalores, rango, sistemas de ecuaciones lineales o determinantes simbólicos sobre polinomios, trátelos como intenciones de búsqueda y aterrizajes separados en lugar de sobrecargar esta página de calculadora de determinantes.