Determinante de matriz
Digite uma matriz quadrada e obtenha o determinante: as linhas 2, 1 e 1, 3 dão 5, então a matriz é invertível. Você também vê o sinal, o valor absoluto e se ela é singular. Grátis no seu navegador.
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O determinante de uma matriz quadrada é um escalar único que codifica o escalonamento de volume, a orientação e a invertibilidade de mapas lineares. Para uma matriz um por um é simplesmente a entrada; para dois por dois é o familiar produto ad menos bc das diagonais; para três por três a expansão clássica de Laplace por cofatores ao longo de uma linha recupera o mesmo polinômio que os diagramas de Sarrus ilustram nos livros; para ordens maiores uma fatoração LU estável com pivoteamento parcial multiplica a diagonal de U e o sinal da permutação de linhas. Esta calculadora aceita um array aninhado de números reais finitos, verifica que cada linha tem o mesmo comprimento igual ao número de linhas, e devolve o determinante limpo junto com seu valor absoluto, sinal, flag de singularidade, o método usado e uma string de fórmula curta. Entradas não quadradas, matrizes vazias, NaN, Infinity e grades grandes demais são rejeitadas com erro de validação claro em vez de uma resposta silenciosamente errada.
Como o determinante é calculado
Comece com um array n por n de números reais finitos. A capacidade primeiro verifica que a estrutura é retangular e quadrada: cada linha deve ser um array cujo comprimento iguala o número de linhas. Para n igual a um o determinante é a única entrada.
Para n igual a dois a forma fechada multiplica a diagonal principal e subtrai o produto da antidiagonal. Para n igual a três o motor expande ao longo da primeira linha usando menores dois por dois com sinais alternados, que é exatamente a expansão de Laplace por cofatores ensinada em cursos de álgebra linear e é algebricamente idêntica ao diagrama de Sarrus para matrizes reais três por três.
Para n maior ou igual a quatro o motor fatore uma cópia de trabalho de A em um L triangular inferior unitário e um U triangular superior após pivoteamento parcial: no passo k troca a linha atual com a que detém a maior entrada absoluta na coluna k, registra cada troca como inversão de sinal e elimina abaixo do pivô. Se um pivô é numericamente zero a matriz é tratada como singular e o determinante é devolvido como zero.
Caso contrário o produto das entradas diagonais de U, multiplicado pelo sinal de permutação acumulado, é o determinante. Entradas podem chegar como números ou strings numéricas; NaN e Infinity falham na validação.
Onde determinantes de matrizes aparecem no trabalho real
Cursos de álgebra linear do ensino médio e superior atribuem constantemente exercícios de cofatores, interpretações de área dois por dois e checagens de singularidade antes da inversão; um único oráculo confiável que devolve det, sinal e método acelera a correção e a preparação de demos.
Problemas de maratonas de programação e aquecimentos de entrevista frequentemente perguntam se uma matriz é invertível, se o volume de um paralelepípedo é positivo ou se uma matriz de mudança de base preserva orientação, e engenheiros precisam de um determinante numérico em vez de um NaN silencioso de um produto sem checagem. Gráficos por computador e robótica calculam volumes com sinal de tetraedros e bases orientadas, e um determinante zero marca uma configuração degenerada antes que uma inversa posterior exploda.
Pipelines de estatística e mínimos quadrados inspecionam blocos de Gram ou de covariância em busca de quase-singularidade como preflight barato antes de uma fatoração mais cara. Se mais tarde precisar de inversa de matriz, autovalores, posto, sistemas de equações lineares ou determinantes simbólicos sobre polinômios, trate-os como intenções de busca e landings separados em vez de sobrecarregar esta página de calculadora de determinantes.
Casos de uso
Chaves de resposta de lição e provas
Gere det(A), flags de singularidade e rótulos de método para conjuntos de livro 2×2, 3×3 e n×n pequenos para que professores e autoavaliadores compartilhem uma verdade de referência.
Checagens de invertibilidade e orientação
Teste se uma matriz de mudança de base ou jacobiana é singular e se preserva orientação via sign(det) antes de inversão ou transformações de coordenadas.
Volumes e degenerescência geométrica
Calcule volumes com sinal de paralelepípedos a partir de matrizes de arestas e marque configurações degeneradas de volume zero em pipelines de gráficos, CAD e robótica.
Perguntas frequentes
Quais métodos esta calculadora de determinantes usa?
Fórmulas fechadas 1×1 e 2×2, expansão de Laplace por cofatores ao longo da primeira linha para 3×3, e fatoração LU com pivoteamento parcial para n ≥ 4. A resposta inclui um campo method para você ver qual caminho rodou.
O que acontece se a matriz não for quadrada?
O determinante só é definido para matrizes quadradas; linhas irregulares ou contagens desiguais de linhas e colunas são rejeitadas com mensagem que nomeia a linha com falha.
Como sei se a matriz é singular?
Um pivô numericamente nulo durante LU também produz determinante zero. Matrizes singulares não são invertíveis.
Qual é o tamanho máximo da matriz?
n ≤ 32. Fatorações densas maiores ficam fora do caminho parse gratuito; tamanhos de sala de aula e concurso estão plenamente cobertos.
Quanto custa?
A ferramenta do navegador é gratuita e roda localmente.
Ferramentas relacionadas
Para desenvolvedores — acesso via API
Tudo nesta página está disponível via API. Esta seção é para equipes que querem integrar a ferramenta aos próprios sistemas; quem não precisa disso pode simplesmente usar a ferramenta acima.
Endpoint
Autenticação por token Bearer. Um único POST coloca a tarefa na fila; o resultado chega por webhook ou link assinado.
Chame do seu código
curl -X POST https://api.kit.forhosting.com/algebra/matrix-determinant \
-H "Authorization: Bearer $KIT_KEY" \
-H "Content-Type: application/json" \
-d '{"matrix":[[2,1],[1,3]]}'const res = await fetch("https://api.kit.forhosting.com/algebra/matrix-determinant", {
method: "POST",
headers: {
"Authorization": `Bearer ${process.env.KIT_KEY}`,
"Content-Type": "application/json"
},
body: JSON.stringify({
"matrix": [
[
2,
1
],
[
1,
3
]
]
})
});
const { task_id } = await res.json();import os, requests
res = requests.post(
"https://api.kit.forhosting.com/algebra/matrix-determinant",
headers={"Authorization": f"Bearer {os.environ['KIT_KEY']}"},
json={
"matrix": [
[
2,
1
],
[
1,
3
]
]
},
)
task_id = res.json()["task_id"]<?php
$res = file_get_contents("https://api.kit.forhosting.com/algebra/matrix-determinant", false, stream_context_create([
"http" => [
"method" => "POST",
"header" => "Authorization: Bearer " . getenv("KIT_KEY") . "\r\nContent-Type: application/json",
"content" => '{"matrix":[[2,1],[1,3]]}',
],
]));
$task = json_decode($res, true);body := bytes.NewBufferString(`{"matrix":[[2,1],[1,3]]}`)
req, _ := http.NewRequest("POST", "https://api.kit.forhosting.com/algebra/matrix-determinant", body)
req.Header.Set("Authorization", "Bearer "+os.Getenv("KIT_KEY"))
req.Header.Set("Content-Type", "application/json")
res, _ := http.DefaultClient.Do(req)Exemplo de requisição
{
"matrix": [
[
2,
1
],
[
1,
3
]
]
}Exemplo de resposta
{
"task_id": "tsk_a1b2c3d4e5f6a1b2c3d4e5f6",
"type": "algebra.matrix_determinant",
"status": "queued",
"_links": {
"result": "/tasks/tsk_…/result"
}
}A API é assíncrona: cada chamada devolve um task_id na hora. Se preferir polling, consulte o status a até 1 requisição por segundo.
Preço
Preço publicado, sem tokens nem créditos escondidos. Tarefa que falha não é cobrada.
Erros
| HTTP | Código | O que significa |
|---|---|---|
401 | unauthorized | Token ausente ou inválido. Confira o header Authorization. |
402 | insufficient_balance | Saldo insuficiente para esta tarefa. Faça uma recarga e tente de novo. |
404 | unknown_type | Esse tipo de tarefa não existe. Confira o campo type no catálogo. |
429 | rate_limited | Muitas requisições em pouco tempo. Espere um instante e tente de novo. |
Notas técnicas
Como o determinante é calculado
Matrizes vazias e dimensões acima de trinta e dois são rejeitadas porque o caso vazio é uma convenção de borda que confunde iniciantes e fatorações densas grandes não pertencem a um caminho Worker de parse gratuito. Toda a aritmética é código de ponto flutuante determinístico sem sementes aleatórias, sem carimbos de relógio, sem chamadas de rede e sem deriva de modelo, de modo que matrizes idênticas sempre produzem JSON idêntico.
O que você envia e o que recebe de volta
Cada linha deve ter o mesmo comprimento, e esse comprimento deve igualar o número de linhas para que a matriz seja quadrada. Checagens clássicas de livro incluem a matriz dois por dois com linhas dois um e um três cujo determinante é cinco, a identidade três por três com determinante um, uma matriz singular com linha repetida cujo determinante é zero, e matrizes inteiras de aparência aleatória maiores cujo produto LU coincide com o cálculo manual. Envie um campo obrigatório chamado matrix: um array JSON aninhado de linhas de números finitos, por exemplo dois vírgula um e depois um vírgula três para o caso clássico dois por dois, ou uma string JSON codificando o mesmo array aninhado. Matrix ausente, formas que não são arrays, linhas irregulares, células não numéricas, NaN, Infinity, grades vazias e dimensões maiores que trinta e dois por trinta e dois falham com invalid_input e não são cobradas. Em caso de sucesso a resposta ecoa a matriz limpa com arredondamento estável a doze dígitos significativos, a dimensão inteira n, o determinante como número, abs_determinant, sign, is_singular, method como um de closed_1x1, closed_2x2, cofactor_expansion ou lu_partial_pivot, pivots contando trocas de linhas na rota LU, e uma string de fórmula curta descrevendo a identidade usada. O preço de chamadas API bem-sucedidas é a base publicada de US$ 0,002 por item; falhas de validação não consomem saldo pré-pago.
Onde determinantes de matrizes aparecem no trabalho real
Como esta capacidade é um motor parse puro, o preço da API é a base publicada de US$ 0,002 por item bem-sucedido e a validação falha não consome saldo.