Calculadora de Matriz Adjunta adj(A) Online Grátis
Para a matriz com linhas (2, 1) e (1, 3), a adjunta tem linhas (3, −1) e (−1, 2) e o determinante é 5. Funciona com qualquer matriz quadrada de até 32 por 32, inclusive as singulares. Grátis no seu navegador.
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A adjunta de uma matriz quadrada, também chamada de adjunta clássica, é a transposta de sua matriz de cofatores: cada entrada é um determinante com sinal da submatriz que resta após excluir uma linha e uma coluna. Ao contrário da inversa, a adjunta existe para toda matriz quadrada, inclusive as singulares, pois a identidade A vezes adj(A) igual a det(A) vezes a identidade é sempre válida. Para uma matriz dois por dois, a receita é famosa: troque os elementos da diagonal e negue os de fora dela. Para ordens maiores, esta calculadora computa cada cofator com fórmulas fechadas para os blocos pequenos e fatoração LU com pivoteamento parcial para os demais, até trinta e dois por trinta e dois. Envie um array aninhado de números reais finitos e receba a matriz adjunta normalizada, o determinante, um indicador de singularidade, o método usado e uma breve fórmula descritiva. Entradas não quadradas, vazias, não numéricas ou grandes demais são rejeitadas com um erro de validação claro, em vez de uma resposta errada silenciosa.
Como a matriz adjunta é calculada
Comece com um array n por n de números reais finitos. A capacidade primeiro valida a estrutura: cada linha deve ser um array cujo comprimento seja igual ao número de linhas, a grade não pode estar vazia e a dimensão não pode exceder trinta e dois. A adjunta é então construída entrada a entrada a partir dos cofatores.
O cofator C[i][j] é (−1) elevado a i mais j, multiplicado pelo determinante do menor que resta após excluir a linha i e a coluna j, e a adjunta é a transposta dessa matriz de cofatores, portanto adj(A)[i][j] é igual a C[j][i]. Para uma matriz um por um, aplica-se a convenção adj([a]) igual a [1], que mantém a identidade A vezes adj(A) igual a det(A) vezes I verdadeira até no caso escalar.
Para entradas dois por dois, a construção de cofatores se reduz ao conhecido padrão de troca e negação: a adjunta de [[a,b],[c,d]] é [[d,−b],[−c,a]], de modo que a resposta é exata. Para ordens maiores, cada determinante menor é avaliado com fórmulas fechadas para blocos de até três por três e com fatoração LU com pivoteamento parcial além disso, o que mantém a aritmética determinística e numericamente estável, sem nenhum passo probabilístico. As entradas podem chegar como números ou strings numéricas; NaN e Infinity falham na validação.
Onde a matriz adjunta aparece no trabalho real
Cursos de álgebra linear propõem exercícios de cofatores e adjuntas constantemente, pois a adjunta é a ponte entre determinantes e inversas: quando det(A) é diferente de zero, a inversa de A é igual a adj(A) dividida por det(A). Um oráculo confiável que retorna a adjunta completa acelera a correção de provas, a preparação de demonstrações e a geração de gabaritos.
O trabalho simbólico e de álgebra computacional usa a adjunta para expressar inversas sobre anéis de polinômios e para provar identidades como a regra de Cramer, em que cada componente da solução é uma razão de determinantes derivada de adj(A) vezes b.
Em geometria e computação gráfica, a adjunta do bloco superior esquerdo de uma transformação se relaciona ao transporte de vetores normais sob escalonamento não uniforme, e engenheiros verificam a identidade A vezes adj(A) igual a det(A) vezes I como uma prova barata de consistência antes de tentar uma inversão mais custosa. Matrizes singulares são comuns em pré-verificações de mínimos quadrados com deficiência de posto, e a adjunta permanece bem definida nesses casos, o que a torna um diagnóstico seguro onde uma inversa simplesmente falharia.
Se mais tarde você precisar de determinantes, inversas, autovalores ou posto, trate-os como intenções de busca e páginas de destino separadas, em vez de sobrecarregar esta página da calculadora de adjunta.
Casos de uso
Gabaritos de tarefas e provas
Gere adj(A), determinantes e indicadores de singularidade para conjuntos didáticos 2×2, 3×3 e pequenos n×n, para que professores e corretores automáticos compartilhem uma única verdade de referência.
Derivação de inversas e regra de Cramer
Obtenha adj(A) como o numerador de A⁻¹ = adj(A)/det(A) e como o motor por trás da regra de Cramer em exercícios simbólicos e verificadores de provas.
Diagnóstico de matrizes singulares
Calcule a adjunta onde uma inversa não existe e verifique a identidade A·adj(A) = det(A)·I como pré-verificação antes de fatorações mais custosas.
Perguntas frequentes
Qual é a diferença entre adjunta e adjunta clássica?
Neste contexto, são a mesma coisa: a transposta da matriz de cofatores, às vezes chamada de adjunta clássica. Não deve ser confundida com a transposta conjugada, que é um objeto diferente sobre matrizes complexas.
A adjunta existe se a matriz for singular?
Sim. A adjunta é definida para toda matriz quadrada, pois exige apenas menores e seus determinantes. A identidade A·adj(A) = det(A)·I continua válida; para matrizes singulares, o lado direito é a matriz nula.
O que acontece se a matriz não for quadrada?
A construção de cofatores precisa de uma linha e uma coluna para cada entrada, portanto linhas irregulares ou contagens diferentes de linhas e colunas são rejeitadas com uma mensagem que indica a linha problemática.
Qual é o tamanho máximo da matriz?
n ≤ 32. Cada cofator menor é avaliado com fórmulas fechadas ou fatoração LU; os tamanhos de sala de aula e de competições são totalmente cobertos no caminho de cálculo gratuito.
Quanto custa?
A ferramenta do navegador é gratuita e roda localmente.
Ferramentas relacionadas
Para desenvolvedores — acesso via API
Tudo nesta página está disponível via API. Esta seção é para equipes que querem integrar a ferramenta aos próprios sistemas; quem não precisa disso pode simplesmente usar a ferramenta acima.
Endpoint
Autenticação por token Bearer. Um único POST coloca a tarefa na fila; o resultado chega por webhook ou link assinado.
Chame do seu código
curl -X POST https://api.kit.forhosting.com/math/adjoint-matrix \
-H "Authorization: Bearer $KIT_KEY" \
-H "Content-Type: application/json" \
-d '{"matrix":[[2,1],[1,3]]}'const res = await fetch("https://api.kit.forhosting.com/math/adjoint-matrix", {
method: "POST",
headers: {
"Authorization": `Bearer ${process.env.KIT_KEY}`,
"Content-Type": "application/json"
},
body: JSON.stringify({
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[
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1
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[
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3
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]
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const { task_id } = await res.json();import os, requests
res = requests.post(
"https://api.kit.forhosting.com/math/adjoint-matrix",
headers={"Authorization": f"Bearer {os.environ['KIT_KEY']}"},
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"matrix": [
[
2,
1
],
[
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3
]
]
},
)
task_id = res.json()["task_id"]<?php
$res = file_get_contents("https://api.kit.forhosting.com/math/adjoint-matrix", false, stream_context_create([
"http" => [
"method" => "POST",
"header" => "Authorization: Bearer " . getenv("KIT_KEY") . "\r\nContent-Type: application/json",
"content" => '{"matrix":[[2,1],[1,3]]}',
],
]));
$task = json_decode($res, true);body := bytes.NewBufferString(`{"matrix":[[2,1],[1,3]]}`)
req, _ := http.NewRequest("POST", "https://api.kit.forhosting.com/math/adjoint-matrix", body)
req.Header.Set("Authorization", "Bearer "+os.Getenv("KIT_KEY"))
req.Header.Set("Content-Type", "application/json")
res, _ := http.DefaultClient.Do(req)Exemplo de requisição
{
"matrix": [
[
2,
1
],
[
1,
3
]
]
}Exemplo de resposta
{
"task_id": "tsk_a1b2c3d4e5f6a1b2c3d4e5f6",
"type": "math.adjoint_matrix",
"status": "queued",
"_links": {
"result": "/tasks/tsk_…/result"
}
}A API é assíncrona: cada chamada devolve um task_id na hora. Se preferir polling, consulte o status a até 1 requisição por segundo.
Preço
Preço publicado, sem tokens nem créditos escondidos. Tarefa que falha não é cobrada.
Erros
| HTTP | Código | O que significa |
|---|---|---|
401 | unauthorized | Token ausente ou inválido. Confira o header Authorization. |
402 | insufficient_balance | Saldo insuficiente para esta tarefa. Faça uma recarga e tente de novo. |
404 | unknown_type | Esse tipo de tarefa não existe. Confira o campo type no catálogo. |
429 | rate_limited | Muitas requisições em pouco tempo. Espere um instante e tente de novo. |
Notas técnicas
Como a matriz adjunta é calculada
Toda a aritmética é código puro de ponto flutuante, sem sementes aleatórias, sem carimbos de data e hora, sem chamadas de rede e sem desvio de modelo, portanto matrizes idênticas sempre produzem JSON idêntico byte a byte. A resposta informa a adjunta normalizada com arredondamento estável de doze dígitos significativos, a dimensão n, o determinante calculado uma vez como contexto, um indicador booleano is_singular, o rótulo do método e uma fórmula legível que declara a identidade de cofatores utilizada.
O que você envia e o que recebe de volta
Todas as linhas devem ter o mesmo comprimento, e esse comprimento deve ser igual ao número de linhas para que a matriz seja quadrada. Verificações clássicas de livros didáticos incluem a matriz dois por dois com linhas dois um e um três, cuja adjunta é [[3,−1],[−1,2]], o exemplo três por três [[1,2,3],[0,1,4],[5,6,0]], cuja adjunta é [[−24,18,5],[20,−15,−4],[−5,4,1]], e uma matriz singular cuja adjunta ainda existe e satisfaz A vezes adj(A) igual à matriz nula. Use o formulário gratuito do navegador para tarefas de casa e verificações rápidas, e depois chame o mesmo contrato a partir de scripts quando precisar de gabaritos em massa ou conjuntos de regressão. Envie um campo obrigatório chamado matrix: um array JSON aninhado de linhas de números finitos, como dois vírgula um e depois um vírgula três para o clássico caso dois por dois, ou uma string JSON codificando o mesmo array aninhado. Ausência de matrix, formatos que não são arrays, linhas irregulares, células não numéricas, NaN, Infinity, grades vazias e dimensões maiores que trinta e dois por trinta e dois falham com invalid_input e não são cobrados. Em caso de sucesso, a resposta ecoa a matriz de entrada normalizada, a dimensão inteira n, a matriz adjunta como um array aninhado do mesmo formato, o determinante, um indicador is_singular, o método como um dos valores trivial_1x1, cofactor_closed_2x2 ou cofactor_minors_lu, e uma breve fórmula que lembra que adj(A) é a transposta da matriz de cofatores e que A vezes adj(A) é igual a det(A) vezes a identidade. O preço das chamadas de API bem-sucedidas é a base publicada de US$ 0,002 por item; falhas de validação não consomem saldo pré-pago.
Onde a matriz adjunta aparece no trabalho real
Como esta capacidade é um motor de cálculo puro, o preço da API é a base publicada de US$ 0,002 por item bem-sucedido, e a validação malsucedida não consome saldo.