حاسبة المصفوفة الملحقة (المرافقة) adj(A) مجاناً
للمصفوفة ذات الصفين (2، 1) و(1، 3) تكون الملحقة بالصفين (3، −1) و(−1، 2) ويكون المحدد 5. تعمل مع أي مصفوفة مربعة حتى 32 في 32، بما فيها المصفوفات الشاذة. مجانية في متصفحك.
- مجاني
- يعمل في متصفحك
- دون تسجيل
- بياناتك لا تغادر جهازك
شغّل الأداة مجانًا
تعمل هذه الأداة داخل متصفحك — مجانًا، ولا تُرسل بياناتك إلى أي خادم
المصفوفة الملحقة لمصفوفة مربعة، والتي تُسمى أيضاً المرافقة أو الملحقة الكلاسيكية، هي منقول مصفوفة العوامل المرافقة: كل عنصر فيها هو محدد بإشارة للمصفوفة الجزئية المتبقية بعد حذف صف وعمود واحد. وعلى خلاف المعكوس، توجد المصفوفة الملحقة لكل مصفوفة مربعة بما فيها الشاذة، لأن المتطابقة A·adj(A) = det(A)·I تتحقق دائماً. وللمصفوفة 2×2 قاعدة مشهورة: بدّل عنصري القطر واعكس إشارة العنصرين خارج القطر. وللرتب الأكبر تحسب هذه الآلة كل محدد مرافق بصيغ مغلقة للكتل الصغيرة وبتحليل LU مع المحورنة الجزئية لما عداها، حتى رتبة 32×32. أرسل مصفوفة متداخلة من أعداد حقيقية منتهية واحصل على المصفوفة الملحقة المنقّحة، والمحدد، وعلامة الشذوذ، والطريقة المستخدمة، ونص صيغة مختصر. تُرفض المدخلات غير المربعة أو الفارغة أو غير الرقمية أو المتجاوزة للحد برسالة خطأ تحقق واضحة بدلاً من نتيجة خاطئة صامتة.
كيفية حساب المصفوفة الملحقة
نبدأ بمصفوفة n×n من أعداد حقيقية منتهية. تتحقق الأداة أولاً من البنية: يجب أن يكون كل صف مصفوفة طولها يساوي عدد الصفوف، وألا تكون الشبكة فارغة، وألا يتجاوز البعد اثنين وثلاثين. ثم تُبنى المرافقة عنصراً بعنصر من العوامل المرافقة.
العامل المرافق C[i][j] هو (−1) مرفوعاً إلى i+j مضروباً في محدد المصفوفة الجزئية المتبقية بعد حذف الصف i والعمود j، والملحقة هي منقول مصفوفة العوامل تلك، أي adj(A)[i][j] = C[j][i]. وللمصفوفة 1×1 يُطبَّق الاصطلاح adj([a]) = [1]، مما يُبقي المتطابقة A·adj(A) = det(A)·I صحيحة حتى في الحالة العددية. وللمدخلات 2×2 تنهار عملية البناء إلى قاعدة التبديل وعكس الإشارة المعروفة: ملحقة [[a,b],[c,d]] هي [[d,−b],[−c,a]]، فتكون النتيجة دقيقة تماماً.
وللرتب الأكبر يُقيَّم كل محدد جزئي بصيغ مغلقة للكتل حتى 3×3 وبتحليل LU مع المحورنة الجزئية لما بعدها، مما يحفظ الحساب حتمياً ومستقراً عددياً دون أي خطوة احتمالية. قد تصل العناصر أرقاماً أو سلاسل رقمية؛ أما NaN وInfinity فتفشلان في التحقق.
أين تظهر المصفوفة الملحقة في العمل الفعلي
تكلف مقررات الجبر الخطي بتمارين العوامل المرافقة والمرافقة باستمرار، لأن الملحقة جسر بين المحددات والمعكوسات: فعندما لا يكون det(A) صفراً يكون معكوس A مساوياً لـ adj(A) مقسومة على det(A). ومرجع موثوق يُرجع المرافقة كاملة يسرّع التصحيح وإعداد العروض وتوليد مفاتيح الإجابات. وتستخدم الأعمال الرمزية وبرامج الجبر الحاسوبي الملحقة للتعبير عن المعكوسات فوق حلقات كثيرات الحدود ولإثبات متطابقات مثل قاعدة Cramer، حيث كل مركبة من الحل نسبة محددات مشتقة من adj(A) مضروبة في b.
وفي الهندسة والرسوميات الحاسوبية ترتبط مرافقة الكتلة العلوية اليسرى لتحويل ما بنقل المتجهات العمودية تحت القياس غير المنتظم، ويتحقق المهندسون من المتطابقة A·adj(A) = det(A)·I كفحص اتساق زهيد قبل محاولة حساب معكوس أعلى كلفة. والمصفوفات الشاذة شائعة في فحوص المربعات الصغرى ناقصة الرتبة، وتبقى الملحقة معرّفة هناك، مما يجعلها أداة تشخيص آمنة حيث يفشل المعكوس ببساطة. وإن احتجت لاحقاً إلى المحددات أو المعكوسات أو القيم الذاتية أو الرتبة، فعاملها كنوايا بحث وصفحات هبوط مستقلة بدلاً من إثقال صفحة حاسبة الملحقة هذه.
حالات الاستخدام
واجبات منزلية ومفاتيح إجابات الامتحانات
ولّد adj(A) والمحددات وعلامات الشذوذ لمجموعات الكتب المدرسية من رتب 2×2 و3×3 وn×n الصغيرة ليتشارك المعلمون والمصححون الآليون مرجعاً واحداً موثوقاً.
اشتقاق المعكوس وقاعدة Cramer
احصل على adj(A) كبسط في الصيغة A⁻¹ = adj(A)/det(A) وكمحرك لقاعدة Cramer في التمارين الرمزية ومدققات البراهين.
تشخيص المصفوفات الشاذة
احسب المرافقة حيث لا يوجد معكوس، وتحقق من المتطابقة A·adj(A) = det(A)·I كفحص أولي قبل التحليلات الأعلى كلفة.
الأسئلة الشائعة
ما الفرق بين الملحقة والمرافقة؟
في هذا السياق هما الشيء نفسه: منقول مصفوفة العوامل المرافقة، ويُسمى أحياناً الملحقة الكلاسيكية. ولا ينبغي الخلط بينها وبين المنقول المرافق (المرتبط بالمرافقة العقدية)، فهو كائن مختلف فوق المصفوفات المركبة.
هل توجد الملحقة إذا كانت المصفوفة شاذة؟
نعم. المرافقة معرّفة لكل مصفوفة مربعة لأنها لا تتطلب سوى المصفوفات الجزئية ومحدداتها. وتبقى المتطابقة A·adj(A) = det(A)·I صحيحة؛ وفي المصفوفات الشاذة يكون الطرف الأيمن هو المصفوفة الصفرية.
ماذا يحدث إذا لم تكن المصفوفة مربعة؟
فبناء العوامل المرافقة يحتاج صفاً وعموداً لكل عنصر، لذا تُرفض الصفوف غير المنتظمة أو عدم تساوي عدد الصفوف مع عدد الأعمدة برسالة تسمّي الصف المتسبب في الفشل.
ما الحد الأقصى لحجم المصفوفة؟
n ≤ 32. يُقيَّم كل محدد مرافق جزئي بصيغ مغلقة أو بتحليل LU؛ وأحجام الفصول الدراسية والمسابقات مغطاة بالكامل في المسار المجاني.
كيف أحصل على المصفوفة العكسية من الملحقة؟
اقسم كل عنصر في الملحقة على المحدد. ينجح ذلك فقط إذا لم يكن المحدد صفرًا، أما المصفوفة الشاذة فلها ملحقة لكن ليس لها معكوس.
أدوات ذات صلة
للمطوّرين — الوصول عبر API
كل ما في هذه الصفحة متاح برمجيًا. هذا القسم موجّه للفرق التقنية التي تريد ربط الأداة بأنظمتها الخاصة؛ بقية المستخدمين يمكنهم استخدام الأداة أعلاه مباشرة دون الحاجة لقراءة ما يلي.
الـEndpoint
صادِق على طلبك بترويسة Bearer، وأرسل طلب POST واحدًا لتدخل مهمتك قائمة التنفيذ فورًا؛ ثم تستلم النتيجة عبر webhook أو رابط موقّع.
استدعِ الخدمة من بيئتك
curl -X POST https://api.kit.forhosting.com/math/adjoint-matrix \
-H "Authorization: Bearer $KIT_KEY" \
-H "Content-Type: application/json" \
-d '{"matrix":[[2,1],[1,3]]}'const res = await fetch("https://api.kit.forhosting.com/math/adjoint-matrix", {
method: "POST",
headers: {
"Authorization": `Bearer ${process.env.KIT_KEY}`,
"Content-Type": "application/json"
},
body: JSON.stringify({
"matrix": [
[
2,
1
],
[
1,
3
]
]
})
});
const { task_id } = await res.json();import os, requests
res = requests.post(
"https://api.kit.forhosting.com/math/adjoint-matrix",
headers={"Authorization": f"Bearer {os.environ['KIT_KEY']}"},
json={
"matrix": [
[
2,
1
],
[
1,
3
]
]
},
)
task_id = res.json()["task_id"]<?php
$res = file_get_contents("https://api.kit.forhosting.com/math/adjoint-matrix", false, stream_context_create([
"http" => [
"method" => "POST",
"header" => "Authorization: Bearer " . getenv("KIT_KEY") . "\r\nContent-Type: application/json",
"content" => '{"matrix":[[2,1],[1,3]]}',
],
]));
$task = json_decode($res, true);body := bytes.NewBufferString(`{"matrix":[[2,1],[1,3]]}`)
req, _ := http.NewRequest("POST", "https://api.kit.forhosting.com/math/adjoint-matrix", body)
req.Header.Set("Authorization", "Bearer "+os.Getenv("KIT_KEY"))
req.Header.Set("Content-Type", "application/json")
res, _ := http.DefaultClient.Do(req)مثال على الطلب
{
"matrix": [
[
2,
1
],
[
1,
3
]
]
}مثال على الاستجابة
{
"task_id": "tsk_a1b2c3d4e5f6a1b2c3d4e5f6",
"type": "math.adjoint_matrix",
"status": "queued",
"_links": {
"result": "/tasks/tsk_…/result"
}
}الواجهة غير متزامنة: تستلم task_id فور الإرسال، ويمكنك الاستعلام عن الحالة بمعدل طلب واحد في الثانية.
الأسعار
السعر معلن كما تراه: لا tokens ولا نظام نقاط؛ وإن فشلت المهمة فلن تُحاسَب عليها.
الأخطاء
| HTTP | الرمز | المعنى |
|---|---|---|
401 | unauthorized | مفتاح الوصول مفقود أو غير صالح؛ تحقق من ترويسة Bearer في طلبك. |
402 | insufficient_balance | رصيدك لا يكفي لتنفيذ هذه المهمة؛ أعد شحن الرصيد ثم أعد المحاولة. |
404 | unknown_type | نوع المهمة المطلوب غير موجود في الكتالوج — راجع الاسم المرسل في الطلب. |
429 | rate_limited | تجاوزت الحد المسموح من الطلبات؛ انتظر قليلًا ثم أعد المحاولة. |
ملاحظات تقنية
الأداة المجانية في المتصفح وواجهة API المدفوعة تتشاركان دالة نقية واحدة، فلا تختلف عروض الفصول الدراسية وخطوط المعالجة الآلية على المصفوفة نفسها أبداً.
كيفية حساب المصفوفة الملحقة
كل العمليات شيفرة نقية بفاصلة عائمة بلا بذور عشوائية ولا طوابع زمنية ولا اتصالات شبكية، فتُنتج المصفوفات المتطابقة مخرجات JSON متطابقة بايتاً ببايت. يُظهر الرد الملحقة المنقّحة بتقريب ثابت إلى اثني عشر رقماً معنوياً، والبعد n، والمحدد المحسوب مرة واحدة للسياق، وعلامة منطقية is_singular، واسم الطريقة، ونص صيغة مقروء يذكر المتطابقة المرافقة المستخدمة.
ما الذي ترسله وما الذي تستلمه
يجب أن تتساوى أطوال الصفوف جميعاً وأن يساوي هذا الطول عدد الصفوف حتى تكون المصفوفة مربعة. ومن اختبارات الكتب المدرسية الشهيرة المصفوفة 2×2 ذات الصفين 2,1 و1,3 التي ملحقتها [[3,−1],[−1,2]]، والمثال 3×3 [[1,2,3],[0,1,4],[5,6,0]] الذي ملحقته [[−24,18,5],[20,−15,−4],[−5,4,1]]، ومصفوفة شاذة تبقى ملحقتها موجودة وتحقق أن A·adj(A) يساوي المصفوفة الصفرية. استخدم النموذج المجاني في المتصفح للواجبات والفحوص السريعة، ثم استدعِ العقد نفسه من السكربتات عندما تحتاج مفاتيح إجابات بكميات كبيرة أو عينات اختبار انحدار. أرسل حقلاً واحداً إلزامياً باسم matrix: إما مصفوفة JSON متداخلة من صفوف أعداد منتهية، مثل الصفين 2,1 ثم 1,3 للحالة الكلاسيكية 2×2، أو سلسلة JSON ترمّز المصفوفة المتداخلة نفسها. غياب الحقل matrix، أو الأشكال غير المصفوفية، أو الصفوف غير المنتظمة، أو الخلايا غير الرقمية، أو NaN، أو Infinity، أو الشبكات الفارغة، أو الأبعاد الأكبر من 32×32 تفشل جميعها بخطأ invalid_input ولا تُحتسب رسوماً. وعند النجاح يعيد الرد المصفوفة المدخلة المنقّحة، والبعد الصحيح n، والمصفوفة الملحقة كمصفوفة متداخلة بالشكل نفسه، والمحدد، وعلامة is_singular، والطريقة method بإحدى القيم trivial_1x1 أو cofactor_closed_2x2 أو cofactor_minors_lu، ونص صيغة مختصر يذكّر بأن adj(A) هو منقول مصفوفة العوامل المرافقة وبأن A·adj(A) = det(A)·I. سعر طلبات API الناجحة هو السعر الأساسي المعلن $0.002 لكل عنصر؛ أما إخفاقات التحقق فلا تستهلك الرصيد المدفوع مسبقاً.
أين تظهر المصفوفة الملحقة في العمل الفعلي
ويريد مؤلفو المناهج الذين يبنون دروساً تفاعلية شكل JSON نفسه في أداة المتصفح وفي API كي تبقى أوراق العمل دون اتصال والمصححات الآلية متوافقة. ولأن هذه الأداة محرك تحليل نقي، فإن سعر API هو السعر الأساسي المعلن $0.002 لكل عنصر ناجح، والتحقق الفاشل لا يستهلك الرصيد.
أسئلة تقنية
كم التكلفة؟
أداة المتصفح مجانية وتعمل محلياً. أما طلبات API فتستخدم رصيد KIT المدفوع مسبقاً بواقع $0.002 لكل عنصر ناجح؛ والمدخلات غير الصالحة لا تُحتسب.