Calcolatrice Matrice Aggiunta (Aggiungente) adj(A) Online Gratis
Per la matrice con righe (2, 1) e (1, 3), l'aggiunta ha righe (3, −1) e (−1, 2) e il determinante è 5. Vale per qualsiasi matrice quadrata fino a 32 per 32, comprese quelle singolari. Gratis nel suo browser.
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L'aggiunta di una matrice quadrata, detta anche aggiungente o aggiunta classica, è la trasposta della sua matrice dei cofattori: ogni elemento è un determinante con segno della sottomatrice che resta eliminando una riga e una colonna. A differenza dell'inversa, l'aggiunta esiste per ogni matrice quadrata, incluse quelle singolari, perché l'identità A per adj(A) uguale a det(A) per l'identità vale sempre. Per una matrice due per due la regola è celebre: si scambiano gli elementi della diagonale e si cambia il segno di quelli fuori diagonale. Per ordini superiori questo calcolatore determina ogni minore cofattore con formule chiuse per i blocchi piccoli e fattorizzazione LU con pivoting parziale per gli altri, fino a trentadue per trentadue. Invii un array annidato di numeri reali finiti e ricevi la matrice aggiunta ripulita, il determinante, un flag di singolarità, il metodo usato e una breve stringa di formula. Input non quadrati, vuoti, non numerici o troppo grandi vengono rifiutati con un chiaro errore di validazione invece di una risposta sbagliata silenziosa.
Come viene calcolata la matrice aggiunta
Si parte da un array n per n di numeri reali finiti. La capability valida prima la struttura: ogni riga deve essere un array la cui lunghezza eguaglia il numero di righe, la griglia non deve essere vuota e la dimensione non deve superare trentadue. L'aggiungente viene poi costruita elemento per elemento dai cofattori.
Il cofattore C[i][j] è (−1) elevato a i più j, per il determinante del minore che resta eliminando la riga i e la colonna j, e l'aggiunta è la trasposta di quella matrice dei cofattori, quindi adj(A)[i][j] è uguale a C[j][i]. Per una matrice uno per uno si applica la convenzione adj([a]) uguale a [1], che mantiene vera l'identità A per adj(A) uguale a det(A) per I anche nel caso scalare.
Per ordini superiori ogni determinante minore è valutato con formule chiuse per i blocchi fino a tre per tre e con fattorizzazione LU a pivoting parziale oltre, il che mantiene l'aritmetica deterministica e numericamente stabile senza alcun passo probabilistico. Gli elementi possono arrivare come numeri o stringhe numeriche; NaN e Infinity non superano la validazione.
Dove compare la matrice aggiunta nel lavoro reale
I corsi di algebra lineare assegnano continuamente esercizi su cofattori e aggiungente, perché l'aggiunta è il ponte tra determinanti e inverse: quando det(A) è diverso da zero, l'inversa di A è uguale ad adj(A) divisa per det(A). Un oracolo affidabile che restituisce l'aggiungente completa accelera la correzione, la preparazione di demo e la generazione di chiavi di risposta.
Il lavoro simbolico e di computer algebra usa l'aggiunta per esprimere inverse su anelli di polinomi e per dimostrare identità come la regola di Cramer, dove ogni componente della soluzione è un rapporto di determinanti derivati da adj(A) per b. In geometria e computer grafica l'aggiungente del blocco in alto a sinistra di una trasformazione è legata al trasporto dei vettori normali sotto scalatura non uniforme, e gli ingegneri verificano l'identità A per adj(A) uguale a det(A) per I come sonda di coerenza economica prima di tentare un'inversione più costosa.
Le matrici singolari sono comuni nei preflight di minimi quadrati carenti di rango, e l'aggiunta resta ben definita lì, il che la rende un diagnostico sicuro dove un'inversa fallirebbe semplicemente. Se in seguito servono determinanti, inverse, autovalori o rango, li si tratti come intenti di ricerca e landing separate invece di sovraccaricare questa pagina del calcolatore di aggiunta.
Casi d'uso
Chiavi di risposta per compiti ed esami
Generi adj(A), determinanti e flag di singolarità per insiemi da manuale 2×2, 3×3 e piccoli n×n, così docenti e correttori automatici condividono un'unica verità di riferimento.
Derivazione dell'inversa e regola di Cramer
Ottenga adj(A) come numeratore di A⁻¹ = adj(A)/det(A) e come motore dietro la regola di Cramer negli esercizi simbolici e nei verificatori di dimostrazioni.
Diagnostica di matrici singolari
Calcoli l'aggiungente dove un'inversa non esiste e verifichi l'identità A·adj(A) = det(A)·I come preflight prima di fattorizzazioni più costose.
Domande frequenti
Qual è la differenza tra aggiunta e aggiungente?
In questo contesto sono la stessa cosa: la trasposta della matrice dei cofattori, talvolta chiamata aggiunta classica. Non va confusa con la trasposta coniugata, che è un oggetto diverso sulle matrici complesse.
L'aggiunta esiste se la matrice è singolare?
Sì. L'aggiungente è definita per ogni matrice quadrata perché richiede solo minori e i loro determinanti. L'identità A·adj(A) = det(A)·I continua a valere; per le matrici singolari il membro destro è la matrice nulla.
Cosa succede se la matrice non è quadrata?
La costruzione dei cofattori richiede una riga e una colonna per ogni elemento, quindi righe irregolari o conteggi diversi tra righe e colonne vengono rifiutati con un messaggio che indica la riga problematica.
Qual è la dimensione massima della matrice?
n ≤ 32. Ogni minore cofattore è valutato con formule chiuse o fattorizzazione LU; le dimensioni tipiche di aule e competizioni sono pienamente coperte dal percorso di analisi gratuito.
Quanto costa?
Lo strumento nel browser è gratuito e gira in locale.
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Per sviluppatori — accesso via API
Tutto quello che vedi in questa pagina è disponibile anche via API. Questa sezione è per i team che vogliono integrarlo nei propri sistemi; chi non ne ha bisogno può semplicemente usare lo strumento qui sopra.
Endpoint
Autenticazione con Bearer token: un POST mette in coda l'attività e il risultato arriva via webhook o link firmato.
Chiamala dal tuo stack
curl -X POST https://api.kit.forhosting.com/math/adjoint-matrix \
-H "Authorization: Bearer $KIT_KEY" \
-H "Content-Type: application/json" \
-d '{"matrix":[[2,1],[1,3]]}'const res = await fetch("https://api.kit.forhosting.com/math/adjoint-matrix", {
method: "POST",
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"Authorization": `Bearer ${process.env.KIT_KEY}`,
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[
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3
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const { task_id } = await res.json();import os, requests
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[
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3
]
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$task = json_decode($res, true);body := bytes.NewBufferString(`{"matrix":[[2,1],[1,3]]}`)
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req.Header.Set("Authorization", "Bearer "+os.Getenv("KIT_KEY"))
req.Header.Set("Content-Type", "application/json")
res, _ := http.DefaultClient.Do(req)Esempio di richiesta
{
"matrix": [
[
2,
1
],
[
1,
3
]
]
}Esempio di risposta
{
"task_id": "tsk_a1b2c3d4e5f6a1b2c3d4e5f6",
"type": "math.adjoint_matrix",
"status": "queued",
"_links": {
"result": "/tasks/tsk_…/result"
}
}L'API è asincrona: ricevi subito un task_id e puoi fare polling fino a 1 richiesta al secondo.
Prezzi
Prezzo pubblicato, senza token né crediti. Se l'attività fallisce, non paghi.
Errori
| HTTP | Codice | Significato |
|---|---|---|
401 | unauthorized | Chiave API mancante o non valida: controlla l'header Authorization. |
402 | insufficient_balance | Credito esaurito: ricarica per continuare a eseguire attività. |
404 | unknown_type | Tipo di attività sconosciuto: controlla il campo type della richiesta. |
429 | rate_limited | Troppe richieste in poco tempo: rallenta e riprova tra qualche secondo. |
Note tecniche
Come viene calcolata la matrice aggiunta
Per gli input due per due la costruzione dei cofattori si riduce al noto schema di scambio e negazione: l'aggiunta di [[a,b],[c,d]] è [[d,−b],[−c,a]], quindi la risposta è esatta. Tutta l'aritmetica è puro codice in virgola mobile senza semi casuali, timestamp di orologio, chiamate di rete o derive di modello, quindi matrici identiche producono sempre JSON identici byte per byte. La risposta riporta l'aggiunta ripulita con arrotondamento stabile a dodici cifre significative, la dimensione n, il determinante calcolato una volta come contesto, un flag booleano is_singular, l'etichetta del metodo e una stringa di formula leggibile che dichiara l'identità dei cofattori usata.
Cosa si invia e cosa si riceve
Ogni riga deve avere la stessa lunghezza, e tale lunghezza deve eguagliare il numero di righe affinché la matrice sia quadrata. Le verifiche classiche dei manuali includono la matrice due per due con righe due uno e uno tre la cui aggiunta è [[3,−1],[−1,2]], l'esempio tre per tre [[1,2,3],[0,1,4],[5,6,0]] la cui aggiunta è [[−24,18,5],[20,−15,−4],[−5,4,1]], e una matrice singolare la cui aggiunta esiste comunque e soddisfa A per adj(A) uguale alla matrice nulla. Si invia un campo obbligatorio chiamato matrix: un array JSON annidato di righe di numeri finiti, ad esempio due virgola uno poi uno virgola tre per il classico caso due per due, oppure una stringa JSON che codifica lo stesso array annidato. Matrix mancante, forme non array, righe irregolari, celle non numeriche, NaN, Infinity, griglie vuote e dimensioni superiori a trentadue per trentadue falliscono con invalid_input e non vengono addebitate. In caso di successo la risposta riporta la matrice di input ripulita, la dimensione intera n, la matrice aggiunta come array annidato della stessa forma, il determinante, un flag is_singular, method come uno tra trivial_1x1, cofactor_closed_2x2 o cofactor_minors_lu, e una breve stringa di formula che ricorda che adj(A) è la trasposta della matrice dei cofattori e che A per adj(A) è uguale a det(A) per l'identità. Il prezzo per le chiamate API riuscite è la base pubblicata di $0.002 per elemento; i fallimenti di validazione non consumano saldo prepagato.
Dove compare la matrice aggiunta nel lavoro reale
Poiché questa capability è un motore di analisi puro, il prezzo API è la base pubblicata di $0.002 per elemento riuscito e la validazione fallita non consuma saldo.