Minore di matrice

Un minore di matrice è lo scalare che si ottiene eliminando una riga e una colonna di una matrice quadrata e calcolando il determinante di ciò che resta. Quel singolo numero è il mattone dell'espansione per cofattori, dell'aggiunta, della regola di Cramer e di ogni formula classica dell'inversa di una matrice piccola. Questa calcolatrice accetta un array annidato quadrato di numeri reali finiti insieme a indici di riga e colonna basati su uno, elimina quella riga e colonna, valuta il determinante del blocco restante con le stesse formule chiuse e il percorso LU usati dagli strumenti fratelli di algebra lineare, e restituisce il minore ripulito insieme alla sottomatrice, all'entry originale, al metodo usato e a una breve stringa di formula. Input non quadrati, matrici uno per uno, indici fuori intervallo, griglie vuote, NaN, Infinity e array troppo grandi vengono rifiutati con un chiaro errore di validazione.

Che cos'è un minore di matrice e come si calcola

Fissi una matrice quadrata A di ordine n almeno due e scelga interi i e j tra uno e n inclusi. Il minore M_ij è definito come il determinante della matrice (n meno uno) per (n meno uno) ottenuta eliminando la riga i e la colonna j di A. Quella definizione non moltiplica per un segno: la quantità con segno che compare nell'espansione di Laplace è il cofattore C_ij uguale a meno uno elevato a i più j per M_ij.

Questa capacità restituisce il minore non firmato, che è esattamente ciò che chiedono i libri quando scrivono trovare M_23 o elencare tutti i minori di una matrice tre per tre. Internamente il motore valida prima che l'input sia un vero array quadrato di numeri finiti con n tra due e trentadue, poi controlla che row e col siano interi nell'intervallo, costruisce la sottomatrice saltando la riga e la colonna scelte e infine ne calcola il determinante. Per un resto uno per uno il minore è semplicemente l'entry sopravvissuta.

Per un resto due per due si usa la forma chiusa ad meno bc. Per un resto tre per tre si applica l'espansione di Laplace lungo la prima riga. Per resti più grandi una fattorizzazione LU con pivot parziale moltiplica la diagonale di U per il segno della permutazione.

Controlli classici includono la matrice tre per tre con righe uno due tre, zero quattro cinque e uno zero sei il cui minore in riga uno colonna uno è ventiquattro dal blocco due per due quattro cinque su zero sei.

Dove i minori di matrice compaiono nel lavoro reale

I corsi di algebra lineare della scuola superiore e dell'università assegnano costantemente tabelle di cofattori, espansione lungo una riga scelta e calcolo a mano di minori due per due ritagliati da matrici tre per tre; un unico oracolo affidabile che restituisce la sottomatrice e il minore accelera la correzione e la preparazione delle demo.

I problemi di gare di programmazione e i riscaldamenti da colloquio spesso chiedono un minore specifico prima del determinante completo o dell'inversa, e gli ingegneri hanno bisogno di un M_ij numerico anziché di un prodotto silenzioso sbagliato da un'eliminazione sfalsata di uno. Le librerie di computer grafica e robotica che implementano l'inversione classica per aggiunta su blocchi piccoli si basano su un insieme completo di minori; verificare una entry contro questa calcolatrice intercetta presto bug di indice riga-colonna.

I corsi di statistica e algebra lineare numerica usano i minori discutendo minori principali e criteri di definizione positiva per matrici simmetriche. La abbini al landing del determinante di matrice quando gli studenti servono det della matrice intera, e ai landing di rango o inversa quando il passo successivo è l'invertibilità anziché un singolo determinante con riga eliminata.