Mineur de matrice

Un mineur de matrice est le scalaire obtenu en barrant une ligne et une colonne d'une matrice carrée et en calculant le déterminant de ce qui reste. Ce nombre unique est le brique de base du développement par cofacteurs, de l'adjointe, de la règle de Cramer et de toute formule classique de l'inverse d'une petite matrice. Cette calculatrice accepte un tableau imbriqué carré de nombres réels finis avec des indices de ligne et de colonne basés sur un, supprime cette ligne et cette colonne, évalue le déterminant du bloc restant avec les mêmes formules fermées et le chemin LU utilisés par les outils frères d'algèbre linéaire, et renvoie le mineur nettoyé avec la sous-matrice, l'entrée d'origine, la méthode utilisée et une courte chaîne de formule. Les entrées non carrées, les matrices un par un, les indices hors plage, les grilles vides, NaN, Infinity et les tableaux trop grands sont rejetés avec une erreur de validation claire.

Ce qu'est un mineur de matrice et comment il se calcule

Fixez une matrice carrée A d'ordre n au moins deux et choisissez des entiers i et j entre un et n inclus. Le mineur M_ij est défini comme le déterminant de la matrice (n moins un) par (n moins un) obtenue en supprimant la ligne i et la colonne j de A. Cette définition ne multiplie pas par un signe : la quantité signée qui apparaît dans le développement de Laplace est le cofacteur C_ij égal à moins un à la puissance i plus j fois M_ij.

Cette capacité renvoie le mineur non signé lui-même, ce que demandent exactement les manuels lorsqu'ils écrivent trouver M_23 ou lister tous les mineurs d'une matrice trois par trois. En interne le moteur valide d'abord que l'entrée est un vrai tableau carré de nombres finis avec n entre deux et trente-deux, puis vérifie que row et col sont des entiers dans l'intervalle, construit la sous-matrice en sautant la ligne et la colonne choisies, et calcule enfin son déterminant. Pour un reste un par un le mineur est simplement l'entrée survivante.

Pour un reste deux par deux on utilise la forme fermée ad moins bc. Pour un reste trois par trois on applique le développement de Laplace le long de la première ligne. Pour des restes plus grands une factorisation LU avec pivot partiel multiplie la diagonale de U par le signe de la permutation.

Les contrôles classiques incluent la matrice trois par trois avec les lignes un deux trois, zéro quatre cinq et un zéro six dont le mineur en ligne un colonne un vaut vingt-quatre à partir du bloc deux par deux quatre cinq sur zéro six.

Où les mineurs de matrice apparaissent dans le travail réel

Les cours d'algèbre linéaire du secondaire et de l'université assignent constamment des tableaux de cofacteurs, un développement le long d'une ligne choisie et le calcul à la main de mineurs deux par deux découpés dans des matrices trois par trois ; un seul oracle de confiance qui renvoie la sous-matrice et le mineur accélère la notation et la préparation des démos.

Les problèmes de concours de programmation et les échauffements d'entretien demandent souvent un mineur précis avant le déterminant complet ou l'inverse, et les ingénieurs ont besoin d'un M_ij numérique plutôt que d'un produit silencieux incorrect dû à une suppression décalée d'un. Les bibliothèques d'infographie et de robotique qui implémentent l'inversion classique par adjointe pour de petits blocs s'appuient sur un ensemble complet de mineurs ; vérifier une entrée contre cette calculatrice détecte tôt les bogues d'indice ligne-colonne.

Les cours de statistique et d'algèbre linéaire numérique utilisent les mineurs lorsqu'ils discutent des mineurs principaux et des critères de définition positive pour les matrices symétriques. Associez-la à la page déterminant de matrice lorsque les étudiants ont besoin du det de la matrice complète, et aux pages rang ou inverse lorsque l'étape suivante est l'inversibilité plutôt qu'un seul déterminant après suppression d'une ligne.