ForHosting KIT · 数学

小行列式計算

行が1, 2, 3、0, 4, 5、1, 0, 6の行列で1行目と1列目を除くと、行が4, 5と0, 6の行列が残り、その行列式24が小行列式です。行と列は1から数えます。ブラウザで無料で使えます。

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行列の小行列式（マイナー）とは、正方行列から1行と1列を除き、残ったブロックの行列式として得られるスカラーです。この1つの数は、余因子展開、随伴行列、クラメルの公式、および小さな行列の逆行列に関する古典的な式の構成要素です。本計算機は有限の実数からなる正方の入れ子配列と1始まりの行・列インデックスを受け取り、その行と列を削除し、関連する線形代数ツールと同じ閉じた公式およびLU経路で残りのブロックの行列式を評価し、整形済みの小行列式に加え、部分行列、元の要素、使用した手法、短い公式文字列を返します。非正方入力、1×1行列、範囲外インデックス、空の格子、NaN、Infinity、過大な配列は明確な検証エラーで拒否されます。

小行列式とは何か、どう計算するか

次数nが少なくとも2の正方行列Aを固定し、1からnまでの整数iとjを選びます。小行列式M_ijは、Aの第i行と第j列を除いて得られる（n−1）×（n−1）行列の行列式として定義されます。この定義は符号を掛けません。

ラプラス展開に現れる符号付き量は余因子C_ijであり、（−1）の(i+j)乗にM_ijを掛けたものです。本機能は符号なしの小行列式そのものを返し、教科書が「M_23を求めよ」や「3×3のすべての小行列式を列挙せよ」と書くときの要求と一致します。

エンジンはまず入力が有限数の真の正方配列でnが2から32であること、次にrowとcolが範囲内の整数であることを検証し、選んだ行と列を飛ばして部分行列を構築し、最後にその行列式を計算します。1×1の残りでは小行列式は生き残った要素そのものです。2×2の残りでは閉じた形 ad−bc を用います。

3×3の残りでは第1行に沿ったラプラス展開を適用します。より大きな残りでは部分ピボット付きLU分解がUの対角と置換符号の積を取ります。古典的な確認例には、行が1 2 3、0 4 5、1 0 6の3×3行列で、行1列1の小行列式が2×2ブロック4 5／0 6から24になるものがあります。

送信する内容と受け取る内容

各行の長さは等しく、その長さは行数と一致し、nは少なくとも2でなければなりません。1×1行列は唯一の行と列を除くと真の小行列式が残らないためです。rowとcolは小行列式を求める要素を示す1始まりの整数であり、同時に削除される行と列でもあります。

課題や素早い健全性確認には無料のブラウザフォームを使い、解答キーや回帰フィクスチャの大量生成が必要なときはスクリプトから同一契約を呼び出してください。検証失敗は前払い残高を消費しません。符号付き余因子、A全体の行列式、随伴、逆行列が後で必要なら、この小行列式計算機ページに詰め込むのではなく、別の検索意図として扱ってください。

実務で小行列式が現れる場面

高校・大学の線形代数では、余因子表、選んだ行に沿った展開、3×3から切り出した2×2小行列式の手計算が常に出題されます。部分行列と小行列式を返す信頼できる単一のオラクルは採点とデモ準備を加速します。

プログラミング競技や面接のウォームアップでは、完全な行列式や逆行列の前に特定の小行列式を尋ねることが多く、エンジニアはオフバイワンの削除による静かな誤積ではなく数値のM_ijを必要とします。小さなブロックに古典的な随伴ベースの逆行列を実装するコンピュータグラフィックスやロボティクスのライブラリは完全な小行列式集合に依存します。

本計算機で1要素を照合すると行・列インデックスの不具合を早期に検出できます。統計や数値線形代数では、対称行列の主小行列式や正定値性の基準を論じるときに小行列式を用います。学生が行列全体のdetを必要とするときは行列式ランディングと、次の一歩が可逆性であるときは階数や逆行列のランディングと組み合わせてください。

活用例

課題用の余因子表

教科書の2×2・3×3・小さなn×nドリル向けにM_ijと削除行の部分行列を生成し、学生が余因子符号を掛ける前に教員と自動採点が同じ正解を共有できるようにします。

ラプラス展開の確認

選んだ行または列に沿ってdet(A)を展開するときに現れる各小行列式を検証し、完全な行列式を組み立てる前にオフバイワンの削除を検出します。

随伴と逆行列の準備

グラフィックス、ロボティクス、数値レシピにおける小さな密ブロックの古典的逆行列のために、随伴行列を組み立てる個々の小行列式を計算します。

よくある質問

小行列式と余因子の違いは何ですか？

小行列式M_ijは第i行と第j列を除いた後の行列の行列式です。余因子はC_ij = (−1)^(i+j) · M_ijです。本ツールは小行列式のみを返します。余因子が必要なら符号はご自身で付けてください。

rowとcolは0始まりですか、1始まりですか？

1始まりで、教科書の記法M_11、M_23などと一致します。n×n行列では両インデックスとも1からnの整数でなければなりません。

なぜ1×1行列は拒否されるのですか？

唯一の行と列を除くと0×0行列が残り、その行列式は（しばしば1とする）慣例であり初学者を混乱させます。すべての小行列式が正の次数の定義された行列式になるようn ≥ 2を要求します。

残りの行列式はどの方法で計算しますか？

閉じた1×1・2×2公式、3×3残りのラプラス余因子展開、より大きなブロックの部分ピボット付きLUです。

料金はいくらですか？

ブラウザツールは無料でローカル実行です。無効入力は課金されません。

開発者向け — APIアクセス

このページの機能はすべてAPIからも利用できます。自社システムに組み込みたいチーム向けのセクションです。それ以外の方は上のツールをそのままお使いください。

エンドポイント

POSThttps://api.kit.forhosting.com/algebra/matrix-minor

Bearerトークンで認証し、POST1回でタスクをキューに登録します。結果はWebhookまたは署名付きリンクで受け取れます。

お使いのスタックから呼び出す

curl -X POST https://api.kit.forhosting.com/algebra/matrix-minor \
  -H "Authorization: Bearer $KIT_KEY" \
  -H "Content-Type: application/json" \
  -d '{"matrix":[[1,2,3],[0,4,5],[1,0,6]],"row":1,"col":1}'

const res = await fetch("https://api.kit.forhosting.com/algebra/matrix-minor", {
  method: "POST",
  headers: {
    "Authorization": `Bearer ${process.env.KIT_KEY}`,
    "Content-Type": "application/json"
  },
  body: JSON.stringify({
    "matrix": [
      [
        1,
        2,
        3
      ],
      [
        0,
        4,
        5
      ],
      [
        1,
        0,
        6
      ]
    ],
    "row": 1,
    "col": 1
  })
});
const { task_id } = await res.json();

import os, requests

res = requests.post(
    "https://api.kit.forhosting.com/algebra/matrix-minor",
    headers={"Authorization": f"Bearer {os.environ['KIT_KEY']}"},
    json={
    "matrix": [
        [
            1,
            2,
            3
        ],
        [
            0,
            4,
            5
        ],
        [
            1,
            0,
            6
        ]
    ],
    "row": 1,
    "col": 1
},
)
task_id = res.json()["task_id"]

<?php
$res = file_get_contents("https://api.kit.forhosting.com/algebra/matrix-minor", false, stream_context_create([
  "http" => [
    "method"  => "POST",
    "header"  => "Authorization: Bearer " . getenv("KIT_KEY") . "\r\nContent-Type: application/json",
    "content" => '{"matrix":[[1,2,3],[0,4,5],[1,0,6]],"row":1,"col":1}',
  ],
]));
$task = json_decode($res, true);

body := bytes.NewBufferString(`{"matrix":[[1,2,3],[0,4,5],[1,0,6]],"row":1,"col":1}`)
req, _ := http.NewRequest("POST", "https://api.kit.forhosting.com/algebra/matrix-minor", body)
req.Header.Set("Authorization", "Bearer "+os.Getenv("KIT_KEY"))
req.Header.Set("Content-Type", "application/json")
res, _ := http.DefaultClient.Do(req)

リクエスト例

{
  "matrix": [
    [
      1,
      2,
      3
    ],
    [
      0,
      4,
      5
    ],
    [
      1,
      0,
      6
    ]
  ],
  "row": 1,
  "col": 1
}

レスポンス例

{
  "task_id": "tsk_a1b2c3d4e5f6a1b2c3d4e5f6",
  "type": "algebra.matrix_minor",
  "status": "queued",
  "_links": {
    "result": "/tasks/tsk_…/result"
  }
}

非同期APIです。task_idは即時に返ります。ポーリングは1秒あたり1リクエストまでです。

料金

1リクエストあたり$0.002

単価はすべて公開しています。トークン換算や独自クレジットはありません。失敗したタスクは課金されません。

エラー

HTTP	コード	意味
`401`	`unauthorized`	APIキーが無効か、指定されていません。Authorizationヘッダーを確認してください。
`402`	`insufficient_balance`	残高が不足しています。チャージ後に再度お試しください。
`404`	`unknown_type`	指定されたタスクタイプは存在しません。タイプ名を確認してください。
`429`	`rate_limited`	リクエストが多すぎます。しばらく待ってから再度お試しください。

技術的な注記

無料のブラウザツールと有料APIは1つの純粋な同型関数を共有するため、課題デモと自動パイプラインが同じ行列・同じインデックスで食い違うことはありません。

小行列式とは何か、どう計算するか

算術はすべて決定的な浮動小数点コードで、12桁有効数字への安定した整形、乱数シードなし、壁時計の時刻なし、ネットワーク呼び出しなしのため、同一入力は常に同一のJSONを生みます。

送信する内容と受け取る内容

必須フィールドを3つ送ってください。matrixは有限数の行からなる入れ子JSON配列、例えば1,2,3次いで0,4,5次いで1,0,6、または同じ入れ子配列を符号化したJSON文字列です。matrix欠落、配列でない形、ギザギザの行、非数値セル、NaN、Infinity、空の格子、32を超える次元、1からnの外のインデックスはinvalid_inputで失敗し課金されません。成功時の応答は次元n、エコーされたrowとcol、その位置の元の要素a_ij、整形済み部分行列、スカラーの小行列式、部分行列に用いた行列式手法、および「その行と列を除いたAのdetがM_ij」という短い公式文字列を報告します。成功したAPI呼び出しの料金は公開された基準額$0.002／件です。

実務で小行列式が現れる場面

本機能は純粋なparseエンジンのため、API料金は成功1件あたり公開基準の$0.002であり、検証失敗は残高を消費しません。

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小行列式計算

無料で実行

小行列式とは何か、どう計算するか

送信する内容と受け取る内容

実務で小行列式が現れる場面

活用例

課題用の余因子表

ラプラス展開の確認

随伴と逆行列の準備

よくある質問

関連ツール

開発者向け — APIアクセス

エンドポイント

お使いのスタックから呼び出す

リクエスト例

レスポンス例

料金

エラー

技術的な注記

小行列式とは何か、どう計算するか

送信する内容と受け取る内容

実務で小行列式が現れる場面

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