Menor de matriz

Um menor de matriz é o escalar obtido ao riscar uma linha e uma coluna de uma matriz quadrada e calcular o determinante do que resta. Esse único número é o bloco fundamental da expansão por cofatores, da adjunta, da regra de Cramer e de toda fórmula clássica da inversa de uma matriz pequena. Esta calculadora aceita um array aninhado quadrado de números reais finitos junto com índices de linha e coluna baseados em um, apaga essa linha e coluna, avalia o determinante do bloco restante com as mesmas fórmulas fechadas e o caminho LU usados pelas ferramentas irmãs de álgebra linear, e devolve o menor limpo junto com a submatriz, a entrada original, o método usado e uma string de fórmula curta. Entradas não quadradas, matrizes um por um, índices fora do intervalo, grades vazias, NaN, Infinity e arrays grandes demais são rejeitados com um erro de validação claro.

O que é um menor de matriz e como é calculado

Fixe uma matriz quadrada A de ordem n pelo menos dois e escolha inteiros i e j entre um e n inclusive. O menor M_ij é definido como o determinante da matriz (n menos um) por (n menos um) obtida ao apagar a linha i e a coluna j de A. Essa definição não multiplica por um sinal: a quantidade com sinal que aparece na expansão de Laplace é o cofator C_ij igual a menos um elevado a i mais j vezes M_ij.

Esta capacidade devolve o menor sem sinal, que é exatamente o que os livros pedem quando escrevem encontre M_23 ou liste todos os menores de uma matriz três por três. Internamente o motor primeiro valida que a entrada é um array quadrado verdadeiro de números finitos com n entre dois e trinta e dois, depois verifica que row e col são inteiros no intervalo, constrói a submatriz pulando a linha e a coluna escolhidas e por fim calcula o seu determinante.

Para um resto um por um o menor é simplesmente a entrada sobrevivente. Para um resto dois por dois usa-se a forma fechada ad menos bc. Para um resto três por três aplica-se a expansão de Laplace ao longo da primeira linha.

Para restos maiores uma fatoração LU com pivô parcial multiplica a diagonal de U pelo sinal da permutação. Verificações clássicas incluem a matriz três por três com linhas um dois três, zero quatro cinco e um zero seis cujo menor na linha um coluna um é vinte e quatro a partir do bloco dois por dois quatro cinco sobre zero seis.

Onde os menores de matriz aparecem no trabalho real

Cursos de álgebra linear do ensino médio e da faculdade atribuem constantemente tabelas de cofatores, expansão ao longo de uma linha escolhida e cálculo manual de menores dois por dois recortados de matrizes três por três; um único oráculo confiável que devolve a submatriz e o menor acelera a correção e a montagem de demos.

Problemas de competições de programação e aquecimentos de entrevista muitas vezes pedem um menor específico antes de pedir o determinante completo ou a inversa, e engenheiros precisam de um M_ij numérico em vez de um produto silencioso errado por um apagamento com deslocamento de um. Bibliotecas de computação gráfica e robótica que implementam inversão clássica por adjunta para blocos pequenos dependem de um conjunto completo de menores; verificar uma entrada contra esta calculadora captura cedo bugs de índice linha-coluna.

Cursos de estatística e álgebra linear numérica usam menores ao discutir menores principais e critérios de definição positiva para matrizes simétricas. Combine-a com o landing de determinante de matriz quando os alunos precisarem de det da matriz completa, e com landings de posto ou inversa quando o próximo passo for invertibilidade em vez de um único determinante com linha apagada.