Traço de matriz
Obtenha o traço de uma matriz quadrada sem somar à mão: com as linhas 2 1 e 1 3, a diagonal é 2 e 3 e o traço vale 5. Só a diagonal conta. Grátis no seu navegador.
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O traço de uma matriz quadrada é o escalar único obtido ao somar cada entrada situada na diagonal principal, do canto superior esquerdo ao inferior direito. O traço é um invariante fundamental da álgebra linear: é cíclico sob semelhança, coincide com a soma dos autovalores contando multiplicidade e aparece em fórmulas de caracteres, resumos de covariância e produtos internos de Frobenius. Esta calculadora aceita um array aninhado de números reais finitos, verifica que cada linha tenha o mesmo comprimento igual ao número de linhas para que a matriz seja de fato quadrada, e devolve a matriz limpa, a lista diagonal extraída, o traço numérico, seu valor absoluto e uma string de fórmula curta. Entradas não quadradas, matrizes vazias, NaN, Infinity e grades grandes demais são rejeitadas com um erro de validação claro em vez de uma resposta silenciosamente errada.
Como o traço da matriz é calculado
Comece com um array n por n de números reais finitos. A capacidade verifica primeiro se a estrutura é retangular e quadrada: cada linha deve ser um array cujo comprimento seja igual ao número de linhas. As entradas podem chegar como números ou strings numéricas; NaN e Infinity falham na validação.
Verificações clássicas de livro incluem a matriz duas por duas com linhas dois um e um três cujo traço é cinco, a identidade três por três cujo traço vale três, uma matriz nula cujo traço é zero e matrizes com entradas diagonais negativas que reduzem corretamente a soma. Como o algoritmo é um percurso puro O de n após validação O de n ao quadrado, a latência permanece desprezível para todo tamanho aceito.
Onde o traço de matrizes aparece no trabalho real
Cursos de álgebra linear do ensino médio e da faculdade atribuem constantemente exercícios de soma diagonal, checagens de semelhança que preservam o traço e comparações entre traço e soma de autovalores; um único oráculo confiável que devolve tr(A) e a lista diagonal acelera a correção e a montagem de demos.
Problemas de contest de programação e aquecimentos de entrevista costumam pedir a soma das entradas diagonais, o caráter de um elemento de um grupo matricial pequeno ou um invariante rápido antes de trabalho espectral caro, e engenheiros precisam de um traço numérico em vez de um laço escrito à mão que esquece a indexação zero-based. Pipelines de estatística e aprendizado de máquina inspecionam o traço de blocos de covariância, Gram ou Hessiana como resumo escalar da variância total ou da curvatura.
Informação quântica e teoria de representações usam o traço parcial e fórmulas de caracteres construídas sobre o traço matricial ordinário; demos em sala ainda precisam primeiro da soma simples. Computação gráfica e mecânica do contínuo encontram o traço de tensores de deformação e de tensão como medidas volumétricas. Se mais tarde você precisar de determinantes, autovalores, posto, inversa de matriz ou sistemas de equações lineares, trate-os como intenções de busca e páginas de destino separadas em vez de sobrecarregar esta página de calculadora de traço de matriz.
Casos de uso
Gabaritos de tarefa e prova
Gere tr(A), a lista da diagonal principal e rótulos de fórmula para conjuntos didáticos 2×2, 3×3 e n×n pequenos para que professores e autoavaliadores compartilhem uma única verdade de referência.
Invariantes e checagens de semelhança
Verifique se matrizes semelhantes compartilham o mesmo traço, ou se a soma dos autovalores coincide com tr(A), antes de análise espectral mais profunda.
Resumos de covariância e tensores
Calcule o traço de matrizes de covariância, Gram, deformação ou tensão como resumo escalar rápido da variância total ou do efeito volumétrico.
Perguntas frequentes
O que é o traço de uma matriz?
O traço tr(A) é a soma das entradas da diagonal principal a11 + a22 + … + ann de uma matriz quadrada A. Entradas fora da diagonal não entram.
O que acontece se a matriz não for quadrada?
O traço só é definido para matrizes quadradas; linhas irregulares ou contagens desiguais de linhas e colunas são rejeitadas com mensagem que nomeia a linha que falhou.
A ordem das entradas fora da diagonal importa?
Não. Só os valores da diagonal principal entram na soma. Alterar entradas fora da diagonal deixa o traço inalterado, por isso a resposta também devolve o array diagonal para inspeção.
Qual é o tamanho máximo da matriz?
n ≤ 32. Matrizes densas maiores ficam fora do caminho parse gratuito; tamanhos de sala de aula e de contest estão totalmente cobertos.
Quanto custa?
A ferramenta do navegador é gratuita e roda localmente.
Ferramentas relacionadas
Para desenvolvedores — acesso via API
Tudo nesta página está disponível via API. Esta seção é para equipes que querem integrar a ferramenta aos próprios sistemas; quem não precisa disso pode simplesmente usar a ferramenta acima.
Endpoint
Autenticação por token Bearer. Um único POST coloca a tarefa na fila; o resultado chega por webhook ou link assinado.
Chame do seu código
curl -X POST https://api.kit.forhosting.com/algebra/matrix-trace \
-H "Authorization: Bearer $KIT_KEY" \
-H "Content-Type: application/json" \
-d '{"matrix":[[2,1],[1,3]]}'const res = await fetch("https://api.kit.forhosting.com/algebra/matrix-trace", {
method: "POST",
headers: {
"Authorization": `Bearer ${process.env.KIT_KEY}`,
"Content-Type": "application/json"
},
body: JSON.stringify({
"matrix": [
[
2,
1
],
[
1,
3
]
]
})
});
const { task_id } = await res.json();import os, requests
res = requests.post(
"https://api.kit.forhosting.com/algebra/matrix-trace",
headers={"Authorization": f"Bearer {os.environ['KIT_KEY']}"},
json={
"matrix": [
[
2,
1
],
[
1,
3
]
]
},
)
task_id = res.json()["task_id"]<?php
$res = file_get_contents("https://api.kit.forhosting.com/algebra/matrix-trace", false, stream_context_create([
"http" => [
"method" => "POST",
"header" => "Authorization: Bearer " . getenv("KIT_KEY") . "\r\nContent-Type: application/json",
"content" => '{"matrix":[[2,1],[1,3]]}',
],
]));
$task = json_decode($res, true);body := bytes.NewBufferString(`{"matrix":[[2,1],[1,3]]}`)
req, _ := http.NewRequest("POST", "https://api.kit.forhosting.com/algebra/matrix-trace", body)
req.Header.Set("Authorization", "Bearer "+os.Getenv("KIT_KEY"))
req.Header.Set("Content-Type", "application/json")
res, _ := http.DefaultClient.Do(req)Exemplo de requisição
{
"matrix": [
[
2,
1
],
[
1,
3
]
]
}Exemplo de resposta
{
"task_id": "tsk_a1b2c3d4e5f6a1b2c3d4e5f6",
"type": "algebra.matrix_trace",
"status": "queued",
"_links": {
"result": "/tasks/tsk_…/result"
}
}A API é assíncrona: cada chamada devolve um task_id na hora. Se preferir polling, consulte o status a até 1 requisição por segundo.
Preço
Preço publicado, sem tokens nem créditos escondidos. Tarefa que falha não é cobrada.
Erros
| HTTP | Código | O que significa |
|---|---|---|
401 | unauthorized | Token ausente ou inválido. Confira o header Authorization. |
402 | insufficient_balance | Saldo insuficiente para esta tarefa. Faça uma recarga e tente de novo. |
404 | unknown_type | Esse tipo de tarefa não existe. Confira o campo type no catálogo. |
429 | rate_limited | Muitas requisições em pouco tempo. Espere um instante e tente de novo. |
Notas técnicas
Em uma matriz um por um o traço é essa única entrada; em duas por duas é a mais d; em três por três é a11 mais a22 mais a33; em geral tr(A) é a soma de a_ii de i igual a um até n.
Como o traço da matriz é calculado
Matrizes vazias e dimensões acima de trinta e dois são rejeitadas porque o caso vazio é uma convenção de borda que confunde iniciantes e caminhadas densas superdimensionadas não pertencem a um caminho parse gratuito do Worker. Aceita a matriz, o motor percorre apenas a diagonal principal: lê a11, a22, até a_nn, armazena esses n valores em um array diagonal e acumula a soma como traço. Entradas fora da diagonal nunca entram na soma, que é exatamente a definição de livro didático tr(A) igual à soma de a_ii. Toda a aritmética é código de ponto flutuante determinístico, sem sementes aleatórias, sem carimbos de relógio de parede, sem chamadas de rede e sem deriva de modelo, de modo que matrizes idênticas sempre produzem o mesmo JSON.
O que você envia e o que recebe de volta
Matrizes retangulares como duas linhas de três colunas falham com mensagem de que a matriz não é quadrada, nomeando a primeira linha cujo comprimento difere de n. Se você precisar do determinante da mesma matriz em vez do traço, use a página separada da calculadora de determinante de matriz, voltada a outra intenção de busca e que devolve det(A) via expansão por cofatores ou LU. Envie um campo obrigatório chamado matrix: um array JSON aninhado de linhas de números finitos, por exemplo dois vírgula um e depois um vírgula três para o caso clássico duas por duas, ou uma string JSON que codifique o mesmo array aninhado. Cada linha deve ter o mesmo comprimento, e esse comprimento deve ser igual ao número de linhas para que a matriz seja quadrada. matrix ausente, formas que não são array, linhas irregulares, células não numéricas, NaN, Infinity, grades vazias e dimensões maiores que trinta e dois por trinta e dois falham com invalid_input e não são cobradas. Em sucesso a resposta ecoa a matriz limpa com arredondamento estável a doze dígitos significativos, a dimensão inteira n, o array diagonal das entradas da diagonal principal, o traço escalar, abs_trace, method diagonal_sum e uma string de fórmula curta que descreve tr(A) igual à soma de a_ii. O preço das chamadas API bem-sucedidas é a base publicada de US$ 0,002 por item; falhas de validação não consomem saldo pré-pago.
Onde o traço de matrizes aparece no trabalho real
Como esta capacidade é um motor parse puro, o preço da API é a base publicada de US$ 0,002 por item bem-sucedido e validação falha não consome saldo.