Traccia di matrice

La traccia di una matrice quadrata è lo scalare unico ottenuto sommando ogni elemento che si trova sulla diagonale principale, dall'angolo in alto a sinistra a quello in basso a destra. La traccia è un invariante fondamentale dell'algebra lineare: è ciclica sotto similitudine, coincide con la somma degli autovalori contando la molteplicità e compare nelle formule dei caratteri, nei riassunti di covarianza e nei prodotti interni di Frobenius. Questa calcolatrice accetta un array annidato di numeri reali finiti, verifica che ogni riga abbia la stessa lunghezza pari al numero di righe così che la matrice sia davvero quadrata, e restituisce la matrice ripulita, l'elenco diagonale estratto, la traccia numerica, il suo valore assoluto e una breve stringa di formula. Gli input non quadrati, le matrici vuote, NaN, Infinity e le griglie troppo grandi vengono rifiutati con un errore di validazione chiaro invece di una risposta silenziosamente errata.

Come si calcola la traccia di una matrice

Si parta da un array n per n di numeri reali finiti. La capacità controlla prima che la struttura sia rettangolare e quadrata: ogni riga deve essere un array la cui lunghezza è uguale al numero di righe. Gli elementi possono arrivare come numeri o stringhe numeriche; NaN e Infinity falliscono la validazione.

Controlli classici da manuale includono la matrice due per due con righe due uno e uno tre la cui traccia è cinque, l'identità tre per tre la cui traccia vale tre, una matrice nulla la cui traccia è zero e matrici con elementi diagonali negativi che riducono correttamente la somma. Poiché l'algoritmo è una passeggiata pura O di n dopo una validazione O di n al quadrato, la latenza resta trascurabile per ogni dimensione accettata.

Dove le tracce di matrici compaiono nel lavoro reale

I corsi di algebra lineare delle scuole superiori e dell'università assegnano costantemente esercizi di somma diagonale, controlli di similitudine che preservano la traccia e confronti tra traccia e somma di autovalori; un unico oracolo affidabile che restituisce tr(A) e l'elenco diagonale accelera la correzione e l'allestimento delle dimostrazioni.

I problemi di contest di programmazione e i riscaldamenti da colloquio chiedono spesso la somma degli elementi diagonali, il carattere di un elemento di un piccolo gruppo matriciale o un invariante rapido prima di un lavoro spettrale costoso, e gli ingegneri hanno bisogno di una traccia numerica piuttosto che di un ciclo scritto a mano che dimentica l'indicizzazione a zero. Le pipeline di statistica e di apprendimento automatico ispezionano la traccia di blocchi di covarianza, Gram o Hessiana come riassunto scalare della varianza totale o della curvatura.

L'informazione quantistica e la teoria delle rappresentazioni usano la traccia parziale e le formule dei caratteri costruite sulla traccia matriciale ordinaria; le dimostrazioni in aula hanno ancora bisogno prima della somma semplice. La computer grafica e la meccanica del continuo incontrano la traccia di tensori di deformazione e di tensione come misure volumetriche.

Se in seguito servono determinanti, autovalori, rango, inversa di matrice o sistemi di equazioni lineari, li si tratti come intenzioni di ricerca e pagine di atterraggio separate piuttosto che sovraccaricare questa pagina della calcolatrice di traccia di matrice.