Soma de série geométrica infinita
Digite o primeiro termo e a razão comum e receba o total da série geométrica infinita: com primeiro termo 1 e razão 0,5, a soma é 2. Se a razão tiver valor absoluto 1 ou maior, ela é recusada em vez de virar infinito. Grátis no seu navegador.
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Exemplo resolvido
- A
- 1
- Resistência (Ω)
- 0,5
- Soma
- 2
Uma série geométrica infinita soma para sempre: comece com um primeiro termo a, multiplique por uma razão comum fixa r a cada passo e continue sem fim. Quando o valor absoluto dessa razão é estritamente menor que um, as somas parciais se estabilizam em um único número finito dado pela forma fechada S igual a a dividido por um menos r. Esta calculadora recebe a e r, verifica a condição de convergência e devolve a soma em ponto flutuante exata, para que estudantes, professores e engenheiros não precisem rederivar a fórmula sob pressão de prova ou em uma planilha. Razões com valor absoluto um ou maior são rejeitadas com um erro de validação claro em vez de um Infinity ou NaN silencioso.
Como a soma geométrica infinita é definida
Uma série geométrica tem cada termo igual ao termo anterior vezes uma razão constante r. Escrita por extenso, a soma infinita é a mais a vezes r mais a vezes r ao quadrado mais a vezes r ao cubo e assim por diante sem um último termo. Quando o valor absoluto de r é estritamente menor que um, a cauda restante encolhe em direção a zero e o total converge para a forma fechada S igual a a sobre um menos r.
Essa identidade é a única aritmética que este serviço realiza após validar as entradas: sem acumulação iterativa de milhares de termos, sem deriva de ponto flutuante de laços longos e sem tabelas de aproximação. Verificações clássicas de sala incluem a igual a um e r igual a um meio, que soma dois; a igual a dez e r igual a um décimo, que soma cerca de onze ponto um um um; e a igual a três com r igual a menos um meio, que alterna e ainda converge para dois.
A mesma fórmula cobre todo a finito enquanto a condição da razão valer. Esse portão rígido coincide com a forma como os livros enunciam o teorema e impede que o código a jusante trate Infinity como uma soma normal.
Onde somas geométricas infinitas aparecem no trabalho real
Cursos de álgebra do ensino médio e da faculdade pedem constantemente a soma de uma série geométrica infinita dados a e r; uma calculadora confiável com checagem estrita de convergência agiliza a correção de tarefas e remove erros de planilha em que alguém divide por um menos r mesmo quando a série diverge.
Materiais de ensino de engenharia e finanças usam séries geométricas para intuição de valor presente, fatores de juros repetidos e decaimento geométrico infinito de termos de erro—ter um oráculo numérico compartilhado mantém demos de aula e código de alunos alinhados. Tutoriais de jogos e animação costumam modelar quiques que encolhem ou fatores de fade como sequências geométricas; a soma infinita responde quanto deslocamento ou intensidade total resta se o padrão continuar para sempre.
Se mais tarde você precisar da soma parcial dos n primeiros termos, expansão termo a termo ou razões complexas, trate-os como intenções de busca separadas em vez de sobrecarregar esta página de soma infinita.
Casos de uso
Checagens de tarefas e provas
Verifique S = a/(1−r) em problemas de sala e rejeite casos divergentes |r| ≥ 1 com erro claro em vez de Infinity.
Ensinar convergência com números ao vivo
Mostre aos alunos como razões que se dividem pela metade convergem enquanto |r| ≥ 1 falha, usando a mesma função em demos do navegador e scripts de correção.
Demos didáticos de engenharia e finanças
Calcule totais geométricos infinitos para decaimento, intuição de valor presente e benchmarks de séries sem rederivar a forma fechada cada vez.
Perguntas frequentes
Qual fórmula esta calculadora usa?
S = a / (1 − r) para uma série geométrica infinita que começa em a e multiplica por r a cada passo, desde que |r| < 1.
O que acontece se |r| for 1 ou maior?
A série infinita não converge para uma soma finita quando a razão absoluta é pelo menos um.
a ou r podem ser negativos?
Sim. Primeiros termos e razões negativos são permitidos desde que |r| seja estritamente menor que 1 (por exemplo r = −0.5 converge).
Isso devolve a soma apenas dos n primeiros termos?
Somas parciais finitas de n termos são outra intenção e outra fórmula.
Quanto custa?
A ferramenta do navegador é grátis e roda localmente.
Ferramentas relacionadas
Para desenvolvedores — acesso via API
Tudo nesta página está disponível via API. Esta seção é para equipes que querem integrar a ferramenta aos próprios sistemas; quem não precisa disso pode simplesmente usar a ferramenta acima.
Endpoint
Autenticação por token Bearer. Um único POST coloca a tarefa na fila; o resultado chega por webhook ou link assinado.
Chame do seu código
curl -X POST https://api.kit.forhosting.com/math/geometric-series-sum \
-H "Authorization: Bearer $KIT_KEY" \
-H "Content-Type: application/json" \
-d '{"a":1,"r":0.5}'const res = await fetch("https://api.kit.forhosting.com/math/geometric-series-sum", {
method: "POST",
headers: {
"Authorization": `Bearer ${process.env.KIT_KEY}`,
"Content-Type": "application/json"
},
body: JSON.stringify({
"a": 1,
"r": 0.5
})
});
const { task_id } = await res.json();import os, requests
res = requests.post(
"https://api.kit.forhosting.com/math/geometric-series-sum",
headers={"Authorization": f"Bearer {os.environ['KIT_KEY']}"},
json={
"a": 1,
"r": 0.5
},
)
task_id = res.json()["task_id"]<?php
$res = file_get_contents("https://api.kit.forhosting.com/math/geometric-series-sum", false, stream_context_create([
"http" => [
"method" => "POST",
"header" => "Authorization: Bearer " . getenv("KIT_KEY") . "\r\nContent-Type: application/json",
"content" => '{"a":1,"r":0.5}',
],
]));
$task = json_decode($res, true);body := bytes.NewBufferString(`{"a":1,"r":0.5}`)
req, _ := http.NewRequest("POST", "https://api.kit.forhosting.com/math/geometric-series-sum", body)
req.Header.Set("Authorization", "Bearer "+os.Getenv("KIT_KEY"))
req.Header.Set("Content-Type", "application/json")
res, _ := http.DefaultClient.Do(req)Exemplo de requisição
{
"a": 1,
"r": 0.5
}Exemplo de resposta
{
"task_id": "tsk_a1b2c3d4e5f6a1b2c3d4e5f6",
"type": "math.geometric_series_sum",
"status": "queued",
"_links": {
"result": "/tasks/tsk_…/result"
}
}A API é assíncrona: cada chamada devolve um task_id na hora. Se preferir polling, consulte o status a até 1 requisição por segundo.
Preço
Preço publicado, sem tokens nem créditos escondidos. Tarefa que falha não é cobrada.
Erros
| HTTP | Código | O que significa |
|---|---|---|
401 | unauthorized | Token ausente ou inválido. Confira o header Authorization. |
402 | insufficient_balance | Saldo insuficiente para esta tarefa. Faça uma recarga e tente de novo. |
404 | unknown_type | Esse tipo de tarefa não existe. Confira o campo type no catálogo. |
429 | rate_limited | Muitas requisições em pouco tempo. Espere um instante e tente de novo. |
Notas técnicas
A ferramenta gratuita do navegador e a API paga compartilham uma única função pura, de modo que demos de sala e pipelines automatizados nunca divergem em silêncio nas mesmas entradas.
Como a soma geométrica infinita é definida
Se |r| for maior ou igual a um, os termos não se apagam—a série diverge—e este endpoint recusa a requisição em vez de inventar uma resposta finita.
O que você envia e o que recebe de volta
Após o parse, o serviço verifica que o valor absoluto de r é estritamente menor que um; se |r| for pelo menos um, a mensagem de erro afirma que a razão absoluta deve ser estritamente menor que um para que clientes de formulário e scripts corrijam a entrada sem adivinhar. Conecte a ferramenta gratuita do navegador para checagens rápidas e depois chame o contrato idêntico a partir de scripts quando precisar de avaliação em massa de totais geométricos sem reimplementar o portão em cada linguagem. Forneça dois números finitos obrigatórios: a (aliases first, a1, first_term) para o primeiro termo, e r (aliases ratio, common_ratio) para a razão comum. Campos ausentes, strings não numéricas, NaN e Infinity são rejeitados com invalid_input e não são cobrados. Em sucesso a resposta JSON ecoa a e r normalizados, devolve sum como a sobre um menos r, define converges como true e inclui formula como a string a/(1-r) para documentação em logs e interfaces de ensino. Verificações de exemplo: a igual a um e r igual a 0.5 produz soma dois; a igual a oito e r igual a 0.25 produz soma cerca de dez ponto seis seis sete; r igual a um ou r igual a menos um ou r igual a dois falham com invalid_input. O contrato é JSON estável adequado a testes unitários, corretores de tarefa e pipelines em lote.
Onde somas geométricas infinitas aparecem no trabalho real
Como esta capacidade é um motor de parse puro, o preço da API é a base publicada de US$ 0,002 por item bem-sucedido e a validação falha não consome saldo.