مجموع متسلسلة هندسية لانهائية
أدخل الحد الأول والنسبة المشتركة لتحصل على مجموع المتسلسلة الهندسية اللانهائية: حد أول 1 ونسبة 0.5 يعطيان مجموعًا قدره 2. وإذا كانت القيمة المطلقة للنسبة 1 أو أكثر تُرفض بدل أن تعطي ما لا نهاية. مجانية في متصفحك.
- مجاني
- يعمل في متصفحك
- دون تسجيل
- بياناتك لا تغادر جهازك
شغّل الأداة مجانًا
مثال محلول
- A
- 1
- المقاومة (Ω)
- 0.5
- المجموع
- 2
المتسلسلة الهندسية اللانهائية تجمع إلى ما لا نهاية: ابدأ بحد أول a، واضرب في كل خطوة بنسبة مشتركة ثابتة r، وواصل دون حد أخير. عندما تكون القيمة المطلقة لتلك النسبة أقل تمامًا من واحد، تستقر المجاميع الجزئية على عدد منتهٍ واحد تعطيه الصيغة المغلقة S تساوي a مقسومًا على واحد ناقص r. تستقبل هذه الحاسبة a و r، وتتحقق من شرط التقارب، وتعيد المجموع بفاصلة عائمة دقيقة، حتى لا يضطر الطلاب والمعلمون والمهندسون إلى إعادة اشتقاق الصيغة تحت ضغط الامتحان أو في جدول بيانات. تُرفض النسب ذات القيمة المطلقة واحد أو أكبر بخطأ تحقق واضح بدل Infinity أو NaN صامت.
كيف يُعرَّف المجموع الهندسي اللانهائي
في المتسلسلة الهندسية يساوي كل حدّ الحد السابق مضروبًا في نسبة ثابتة r. مكتوبًا، المجموع اللانهائي هو a زائد a في r زائد a في r تربيع زائد a في r تكعيب وهكذا دون حد أخير. عندما تكون القيمة المطلقة لـ r أقل تمامًا من واحد، يتقلص الذيل المتبقي نحو الصفر ويتقارب الإجمالي إلى الصيغة المغلقة S تساوي a على واحد ناقص r.
تلك الهوية هي الحساب الوحيد الذي تؤدي هذه الخدمة بعد التحقق من المدخلات: بلا تراكم تكراري لآلاف الحدود، وبلا انحراف فاصلة عائمة من حلقات طويلة، وبلا جداول تقريب. فحوصات الصف الكلاسيكية تشمل a يساوي واحدًا و r يساوي نصفًا فيجمع إلى اثنين؛ و a يساوي عشرة و r يساوي عُشرًا فيجمع إلى نحو أحد عشر فاصلة واحد واحد واحد؛ و a يساوي ثلاثة مع r يساوي سالب نصف فيتبادل الإشارة ويتقارب مع ذلك إلى اثنين. تغطي الصيغة نفسها كل a منتهٍ ما دام شرط النسبة قائمًا.
إذا كان |r| أكبر من أو يساوي واحدًا، لا تموت الحدود—تتباعد المتسلسلة—ويرفض هذا الطرف الطلب بدل اختراع إجابة منتهية. يتوافق هذا الباب الصارم مع صياغة الكتب للنظرية ويمنع الشيفرة اللاحقة من معاملة Infinity كمجموع عادي.
أين تظهر المجاميع الهندسية اللانهائية في العمل الفعلي
تطلب مقررات الجبر في الثانوية والجامعة باستمرار مجموع متسلسلة هندسية لانهائية عند إعطاء a و r؛ حاسبة موثوقة بفحص تقارب صارم تسرّع تصحيح الواجبات وتزيل أخطاء الجداول حيث يقسم أحدهم على واحد ناقص r حتى عندما تتباعد المتسلسلة. تستخدم مواد تدريس الهندسة والمالية المتسلسلات الهندسية لحدس القيمة الحالية وعوامل الفائدة المتكررة والانحلال الهندسي اللانهائي لحدود الخطأ—ويحافظ وسيط رقمي مشترك على اتساق عروض المحاضرة وشيفرة الطلاب.
كثيرًا ما تنمذج دروس الألعاب والرسوم المتحركة القفزات المتقلصة أو عوامل التلاشي كمتتاليات هندسية؛ يجيب المجموع اللانهائي عن مقدار الإزاحة أو الشدة الكلية المتبقية إذا استمر النمط إلى الأبد. تحتاج فرق البيانات والتحليل أحيانًا صيغًا مغلقة حتمية لمعايير اصطناعية أو أمثلة توثيق؛ وإرجاع a و r وسلسلة الصيغة يجعل تلك التجهيزات ذاتية الوصف. إن احتجت لاحقًا المجموع الجزئي لأول n حدًا أو التوسيع حدًا بحد أو نسبًا مركّبة، فاعاملها كنوايا بحث منفصلة بدل إثقال صفحة المجموع اللانهائي هذه.
حالات الاستخدام
فحوصات الواجبات والامتحانات
تحقق من S = a/(1−r) لمسائل الصف وارفض حالات |r| ≥ 1 المتباعدة بخطأ واضح بدل Infinity.
تعليم التقارب بأرقام حية
أظهر للطلاب كيف تتقارب النسب التي تنصف بينما يفشل |r| ≥ 1، باستخدام الدالة نفسها في عروض المتصفح وسكربتات التصحيح.
عروض تدريس الهندسة والمالية
احسب مجاميع هندسية لانهائية للانحلال وحدس القيمة الحالية ومعايير المتسلسلات دون إعادة اشتقاق الصيغة المغلقة في كل مرة.
الأسئلة الشائعة
ما الصيغة التي تستخدمها هذه الحاسبة؟
S = a / (1 − r) لمتسلسلة هندسية لانهائية تبدأ عند a وتُضرب في r كل خطوة، بشرط |r| < 1.
ماذا يحدث إذا كان |r| يساوي 1 أو أكبر؟
لا تتقارب المتسلسلة اللانهائية إلى مجموع منتهٍ عندما تكون النسبة المطلقة واحدًا على الأقل.
هل يجوز أن يكون a أو r سالبًا؟
نعم. تُقبل الحدود الأولى والنسب السالبة ما دام |r| أقل تمامًا من 1 (مثلًا r = −0.5 يتقارب).
هل يعيد هذا مجموع أول n حد فقط؟
لا. هذا الطرف هو المجموع اللانهائي فقط. المجاميع الجزئية المنتهية لـ n حد نية وصيغة مختلفتان.
متى أحتاج إلى مجموع متسلسلة هندسية لانهائية؟
في دروس الجبر للتحقق من التمارين، وفي تعليم المالية لفهم القيمة الحالية وعوامل الفائدة المتكررة، وفي الألعاب والرسوم المتحركة لمعرفة المسافة الكلية لارتدادات تصغر بلا نهاية.
أدوات ذات صلة
للمطوّرين — الوصول عبر API
كل ما في هذه الصفحة متاح برمجيًا. هذا القسم موجّه للفرق التقنية التي تريد ربط الأداة بأنظمتها الخاصة؛ بقية المستخدمين يمكنهم استخدام الأداة أعلاه مباشرة دون الحاجة لقراءة ما يلي.
الـEndpoint
صادِق على طلبك بترويسة Bearer، وأرسل طلب POST واحدًا لتدخل مهمتك قائمة التنفيذ فورًا؛ ثم تستلم النتيجة عبر webhook أو رابط موقّع.
استدعِ الخدمة من بيئتك
curl -X POST https://api.kit.forhosting.com/math/geometric-series-sum \
-H "Authorization: Bearer $KIT_KEY" \
-H "Content-Type: application/json" \
-d '{"a":1,"r":0.5}'const res = await fetch("https://api.kit.forhosting.com/math/geometric-series-sum", {
method: "POST",
headers: {
"Authorization": `Bearer ${process.env.KIT_KEY}`,
"Content-Type": "application/json"
},
body: JSON.stringify({
"a": 1,
"r": 0.5
})
});
const { task_id } = await res.json();import os, requests
res = requests.post(
"https://api.kit.forhosting.com/math/geometric-series-sum",
headers={"Authorization": f"Bearer {os.environ['KIT_KEY']}"},
json={
"a": 1,
"r": 0.5
},
)
task_id = res.json()["task_id"]<?php
$res = file_get_contents("https://api.kit.forhosting.com/math/geometric-series-sum", false, stream_context_create([
"http" => [
"method" => "POST",
"header" => "Authorization: Bearer " . getenv("KIT_KEY") . "\r\nContent-Type: application/json",
"content" => '{"a":1,"r":0.5}',
],
]));
$task = json_decode($res, true);body := bytes.NewBufferString(`{"a":1,"r":0.5}`)
req, _ := http.NewRequest("POST", "https://api.kit.forhosting.com/math/geometric-series-sum", body)
req.Header.Set("Authorization", "Bearer "+os.Getenv("KIT_KEY"))
req.Header.Set("Content-Type", "application/json")
res, _ := http.DefaultClient.Do(req)مثال على الطلب
{
"a": 1,
"r": 0.5
}مثال على الاستجابة
{
"task_id": "tsk_a1b2c3d4e5f6a1b2c3d4e5f6",
"type": "math.geometric_series_sum",
"status": "queued",
"_links": {
"result": "/tasks/tsk_…/result"
}
}الواجهة غير متزامنة: تستلم task_id فور الإرسال، ويمكنك الاستعلام عن الحالة بمعدل طلب واحد في الثانية.
الأسعار
السعر معلن كما تراه: لا tokens ولا نظام نقاط؛ وإن فشلت المهمة فلن تُحاسَب عليها.
الأخطاء
| HTTP | الرمز | المعنى |
|---|---|---|
401 | unauthorized | مفتاح الوصول مفقود أو غير صالح؛ تحقق من ترويسة Bearer في طلبك. |
402 | insufficient_balance | رصيدك لا يكفي لتنفيذ هذه المهمة؛ أعد شحن الرصيد ثم أعد المحاولة. |
404 | unknown_type | نوع المهمة المطلوب غير موجود في الكتالوج — راجع الاسم المرسل في الطلب. |
429 | rate_limited | تجاوزت الحد المسموح من الطلبات؛ انتظر قليلًا ثم أعد المحاولة. |
ملاحظات تقنية
تشترك الأداة المجانية في المتصفح وواجهة API المدفوعة في دالة نقية واحدة، فلا تتباعد عروض الصف والأنابيب الآلية بصمت على نفس المدخلات.
ما ترسله وما تسترجعه
بعد التحليل تتحقق الخدمة من أن القيمة المطلقة لـ r أقل تمامًا من واحد؛ وإذا كان |r| واحدًا على الأقل، تفيد رسالة الخطأ بأن النسبة المطلقة يجب أن تكون أقل تمامًا من واحد حتى يصحح عملاء النماذج والسكربتات الإدخال دون تخمين. اربط الأداة المجانية في المتصفح لفحوصات سريعة، ثم استدعِ العقد ذاته من السكربتات عند الحاجة لتقييم جماعي للمجاميع الهندسية دون إعادة تنفيذ الباب في كل لغة. قدّم عددين منتهيين مطلوبين: a (أسماء بديلة first, a1, first_term) للحد الأول، و r (أسماء بديلة ratio, common_ratio) للنسبة المشتركة. تُرفض الحقول الناقصة والسلاسل غير الرقمية و NaN و Infinity بـ invalid_input ولا تُحتسب. عند النجاح تعكس استجابة JSON قيمتي a و r المطبّعتين، وتعيد sum كـ a على واحد ناقص r، وتضبط converges إلى true، وتتضمن formula كسلسلة a/(1-r) للتوثيق في السجلات وواجهات التدريس. أمثلة: a يساوي واحدًا و r يساوي 0.5 يعطي المجموع اثنين؛ a يساوي ثمانية و r يساوي 0.25 يعطي نحو عشرة فاصلة ستة ستة سبعة؛ r يساوي واحدًا أو سالب واحد أو اثنين يفشل بـ invalid_input. العقد JSON مستقر يناسب اختبارات الوحدة ومصححي الواجبات وأنابيب الدفعات.
أين تظهر المجاميع الهندسية اللانهائية في العمل الفعلي
لأن هذه القدرة محرك parse نقي، تسعير API هو الأساس المنشور $0.002 لكل عنصر ناجح، والتحقق الفاشل لا يستهلك الرصيد.
أسئلة تقنية
كم التكلفة؟
أداة المتصفح مجانية وتعمل محليًا. طلبات API تستخدم رصيد KIT المدفوع مسبقًا بـ $0.002 لكل عنصر ناجح؛ الإدخال غير الصالح لا يُحتسب.