Calculadora da regra de Cramer
Se tanto 2x + y quanto x + 3y valem 5, a solução é (2, 1), com determinantes 5, 10 e 5: informe os coeficientes e os termos independentes e veja cada incógnita como razão de dois determinantes. Grátis no seu navegador.
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A regra de Cramer é o método clássico por determinantes para resolver um sistema linear quadrado da forma A vezes x igual a b quando a matriz de coeficientes A é invertível. Para uma matriz n por n você calcula o determinante principal D igual a det de A; em seguida, para cada índice de coluna i, substitui essa coluna de A pelo vetor de constantes b para formar A sub i e define a incógnita x sub i como det de A sub i dividido por D. A construção é exata em aritmética exata, totalmente transparente para conferir lições de casa e continua útil como oráculo didático ao lado da eliminação de Gauss. Esta calculadora aceita uma matriz de coeficientes aninhada e um vetor de constantes de comprimento correspondente, devolve cada variável com seu determinante de substituição e rejeita um determinante de coeficientes nulo com um erro de validação claro, de modo que sistemas singulares ou dependentes nunca são apresentados como solução única.
Como a regra de Cramer resolve Ax igual a b
Parta de um sistema real quadrado escrito como A vezes x igual a b, em que A é uma matriz de coeficientes n por n, x é o vetor coluna de incógnitas de comprimento n e b é o lado direito de comprimento n. A regra de Cramer exige primeiro que D, o determinante de A, seja diferente de zero; caso contrário a matriz é singular e ou não há solução ou há infinitas, e a fórmula clássica fica indefinida. Quando D é não nulo existe exatamente uma solução.
Para cada índice i de zero até n menos um, forme a matriz A sub i copiando A e substituindo a coluna i pelo vetor b inteiro, sem alterar as demais colunas. Calcule D sub i igual a det de A sub i com o mesmo algoritmo de determinante usado para D. Então o valor único da i-ésima incógnita é x sub i igual a D sub i dividido por D.
Em sistemas dois por dois os determinantes se reduzem aos produtos ad menos bc que os alunos memorizam; em três por três é padrão uma expansão de Laplace pela primeira linha; para n maior, uma fatoração LU com pivoteamento avalia cada determinante em tempo cúbico. Depois que todos os n quocientes são conhecidos, você tem o vetor solução completo e pode substituir de volta em cada equação para verificar resíduos próximos de zero. As entradas devem ser finitas; NaN e Infinity são rejeitados.
Incompatibilidades de dimensão entre a matriz e o vetor de constantes falham cedo com entrada inválida. Um determinante de coeficientes numericamente indistinguível de zero falha com a mensagem de que a regra de Cramer exige uma matriz não singular, para que o cliente possa mudar para análise de posto ou mínimos quadrados em vez de chutar.
Onde calculadoras da regra de Cramer aparecem no trabalho real
Cursos de álgebra linear do ensino médio e da faculdade atribuem o tempo todo exercícios da regra de Cramer, sistemas dois por dois e três por três com soluções inteiras, e comparações com a eliminação; um único oráculo confiável que devolve cada variável ao lado do seu determinante de substituição agiliza a correção e a montagem de demos.
Problemas de maratona de programação e aquecimentos de entrevista frequentemente escondem sistemas densos pequenos sob restrições geométricas, leis de circuitos ou equações de mistura, e engenheiros precisam de soluções únicas exatas com determinantes intermediários transparentes em vez de um solver caixa-preta que só imprime o vetor.
Laboratórios de controle e a análise introdutória de circuitos ainda guiam os alunos pela regra de Cramer antes de apresentar fatorações matriciais, de modo que casar det de A e det de A sub i com o trabalho à mão importa mais do que o custo assintótico. Cursos de métodos numéricos usam a regra de Cramer como caso de contraste frente à eliminação de Gauss e métodos iterativos, e precisam de rejeição correta de singularidade quando o determinante de coeficientes some.
Se mais tarde você precisar apenas do determinante de uma matriz, de uma forma escalonada reduzida, de mínimos quadrados para sistemas não quadrados ou de solucionadores de autovalores, trate-os como intenções de busca e landing pages separadas em vez de sobrecarregar esta página da calculadora da regra de Cramer.
Casos de uso
Gabaritos de lição de casa e provas
Gere cada variável, det(A) e det(A_i) de substituição para conjuntos Ax=b de livro-texto para que professores e autoavaliadores compartilhem uma única verdade da regra de Cramer.
Sistemas pequenos de circuitos e misturas
Resolva problemas de Kirchhoff ou de misturas com duas e três equações com determinantes transparentes em vez de solucionadores lineares opacos de caixa-preta.
Perguntas frequentes
O que acontece se o determinante de coeficientes for zero?
A regra de Cramer exige det(A) ≠ 0 para uma solução única; sistemas singulares ou dependentes são rejeitados em vez de inventar valores.
Quais tamanhos de matriz são suportados?
Sistemas quadrados de 1×1 até 8×8. Determinantes usam formas fechadas para 1×1 e 2×2, expansão por cofatores para 3×3 e LU com pivoteamento parcial para n maior.
Quanto custa?
A ferramenta do navegador é gratuita e roda localmente.
Como funciona a regra de Cramer?
Calcule o determinante D dos coeficientes; depois troque uma coluna por vez pelos termos independentes e divida cada novo determinante por D. Se tanto 2x + y quanto x + 3y valem 5, D é 5, então x vale 10 ÷ 5 = 2 e y vale 5 ÷ 5 = 1.
Como confiro a solução?
Substitua os valores em cada equação original e veja se elas se cumprem. Com x igual a 2 e y igual a 1, 2 · 2 + 1 dá 5 e 2 + 3 · 1 também dá 5, então a solução está certa.
Ferramentas relacionadas
Para desenvolvedores — acesso via API
Tudo nesta página está disponível via API. Esta seção é para equipes que querem integrar a ferramenta aos próprios sistemas; quem não precisa disso pode simplesmente usar a ferramenta acima.
Endpoint
Autenticação por token Bearer. Um único POST coloca a tarefa na fila; o resultado chega por webhook ou link assinado.
Chame do seu código
curl -X POST https://api.kit.forhosting.com/algebra/cramers-rule \
-H "Authorization: Bearer $KIT_KEY" \
-H "Content-Type: application/json" \
-d '{"matrix":[[2,1],[1,3]],"constants":[5,5]}'const res = await fetch("https://api.kit.forhosting.com/algebra/cramers-rule", {
method: "POST",
headers: {
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"Content-Type": "application/json"
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1
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[
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3
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const { task_id } = await res.json();import os, requests
res = requests.post(
"https://api.kit.forhosting.com/algebra/cramers-rule",
headers={"Authorization": f"Bearer {os.environ['KIT_KEY']}"},
json={
"matrix": [
[
2,
1
],
[
1,
3
]
],
"constants": [
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5
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task_id = res.json()["task_id"]<?php
$res = file_get_contents("https://api.kit.forhosting.com/algebra/cramers-rule", false, stream_context_create([
"http" => [
"method" => "POST",
"header" => "Authorization: Bearer " . getenv("KIT_KEY") . "\r\nContent-Type: application/json",
"content" => '{"matrix":[[2,1],[1,3]],"constants":[5,5]}',
],
]));
$task = json_decode($res, true);body := bytes.NewBufferString(`{"matrix":[[2,1],[1,3]],"constants":[5,5]}`)
req, _ := http.NewRequest("POST", "https://api.kit.forhosting.com/algebra/cramers-rule", body)
req.Header.Set("Authorization", "Bearer "+os.Getenv("KIT_KEY"))
req.Header.Set("Content-Type", "application/json")
res, _ := http.DefaultClient.Do(req)Exemplo de requisição
{
"matrix": [
[
2,
1
],
[
1,
3
]
],
"constants": [
5,
5
]
}Exemplo de resposta
{
"task_id": "tsk_a1b2c3d4e5f6a1b2c3d4e5f6",
"type": "algebra.cramers_rule",
"status": "queued",
"_links": {
"result": "/tasks/tsk_…/result"
}
}A API é assíncrona: cada chamada devolve um task_id na hora. Se preferir polling, consulte o status a até 1 requisição por segundo.
Preço
Preço publicado, sem tokens nem créditos escondidos. Tarefa que falha não é cobrada.
Erros
| HTTP | Código | O que significa |
|---|---|---|
401 | unauthorized | Token ausente ou inválido. Confira o header Authorization. |
402 | insufficient_balance | Saldo insuficiente para esta tarefa. Faça uma recarga e tente de novo. |
404 | unknown_type | Esse tipo de tarefa não existe. Confira o campo type no catálogo. |
429 | rate_limited | Muitas requisições em pouco tempo. Espere um instante e tente de novo. |
Notas técnicas
Como a regra de Cramer resolve Ax igual a b
Todo o pipeline é aritmética de ponto flutuante determinística: sem sementes aleatórias, sem carimbos de relógio, sem chamadas de rede e sem deriva de modelo, de modo que a mesma matriz e as mesmas constantes sempre produzem o mesmo JSON.
O que você envia e o que recebe de volta
Envie dois campos. Ambos os campos são obrigatórios. Quando det de A é zero ou está extremamente próximo de zero, a requisição falha com a mensagem de que o determinante de coeficientes é zero e a regra de Cramer não pode produzir uma solução única. Checagens clássicas de livro incluem o sistema dois por dois dois x mais y igual a cinco e x mais três y igual a cinco com solução x igual a dois e y igual a um, e qualquer exemplo de sala de aula três por três invertível com respostas inteiras. O campo matrix é um array aninhado quadrado de números finitos, ou uma string JSON dessa forma, com no máximo oito linhas e oito colunas. O campo constants é um array de comprimento n de números finitos, ou uma string JSON desse array, que corresponde exatamente à dimensão da matriz. Campos ausentes, strings não numéricas, NaN, Infinity, matrizes não quadradas, matrizes vazias, dimensões excessivas e constants de comprimento errado falham com invalid_input e não são cobrados. Em caso de sucesso a resposta devolve a matrix e constants limpos, uma string imprimível do sistema multi-equação, o determinante principal, o array det_columns dos n determinantes de substituição, o array solution de n números e um array variables de objetos, cada um com um nome legível como x, y, z ou x1 até xn, o valor numérico e o det_Ai correspondente. Os indicadores unique true, method cramers_rule e det_method closed ou cofactor ou LU documentam como os determinantes foram avaliados. O preço de chamadas API bem-sucedidas é a base publicada de US$ 0,002 por item; falhas de validação não consomem saldo pré-pago.
Onde calculadoras da regra de Cramer aparecem no trabalho real
Como esta capacidade é um motor de parse puro, o preço da API é a base publicada de US$ 0,002 por item bem-sucedido e a validação falha não consome saldo.
Casos de integração
Fixtures de competições e entrevistas
Produza em massa soluções únicas para sistemas densos n≤8 e capture matrizes de coeficientes singulares com invalid_input rígido em vez de NaNs silenciosos.
Perguntas técnicas
O que é a regra de Cramer?
Para um sistema quadrado invertível Ax=b, cada incógnita é x_i = det(A_i)/det(A), em que A_i é A com a coluna i substituída pelo vetor de constantes b.
Como formatar a entrada?
Envie matrix como um array aninhado de linhas (p. ex. [[2,1],[1,3]]) e constants como um array de comprimento n correspondente (p. ex. [5,5]). Strings JSON das mesmas formas também são aceitas.