Calcolatore regola di Cramer

La regola di Cramer è il metodo classico per determinanti per risolvere un sistema lineare quadrato della forma A per x uguale a b quando la matrice dei coefficienti A è invertibile. Per una matrice n per n si calcola il determinante principale D uguale a det di A; poi, per ogni indice di colonna i, si sostituisce quella colonna di A con il vettore dei termini noti b per formare A sub i e si pone l'incognita x sub i uguale a det di A sub i diviso per D. La costruzione è esatta in aritmetica esatta, del tutto trasparente per i controlli dei compiti, e resta utile come oracolo didattico accanto all'eliminazione di Gauss. Questo calcolatore accetta una matrice dei coefficienti annidata e un vettore di costanti di lunghezza corrispondente, restituisce ogni variabile con il suo determinante di sostituzione e rifiuta un determinante dei coefficienti nullo con un chiaro errore di validazione, così i sistemi singolari o dipendenti non vengono mai presentati come soluzione unica.

Come la regola di Cramer risolve Ax uguale a b

Parta da un sistema reale quadrato scritto come A per x uguale a b, dove A è una matrice dei coefficienti n per n, x è il vettore colonna delle incognite di lunghezza n e b è il secondo membro di lunghezza n. La regola di Cramer richiede innanzitutto che D, il determinante di A, sia diverso da zero; altrimenti la matrice è singolare e o non c'è soluzione o ce ne sono infinite, e la formula classica è indefinita. Quando D è non nullo esiste esattamente una soluzione.

Per ogni indice i da zero a n meno uno, formi la matrice A sub i copiando A e sostituendo la colonna i con l'intero vettore b, lasciando intatte le altre colonne. Calcoli D sub i uguale a det di A sub i con lo stesso algoritmo di determinante usato per D. Allora il valore unico della i-esima incognita è x sub i uguale a D sub i diviso per D.

Per i sistemi due per due i determinanti si riducono ai prodotti ad meno bc che gli studenti memorizzano; per tre per tre è standard uno sviluppo di Laplace sulla prima riga; per n maggiore, una fattorizzazione LU con pivot valuta ogni determinante in tempo cubico. Dopo aver ottenuto tutti gli n quozienti si ha il vettore soluzione completo e si può sostituire in ogni equazione per verificare residui prossimi a zero. Le voci devono essere finite; NaN e Infinity vengono rifiutati.

I disallineamenti di dimensione tra matrice e vettore delle costanti falliscono subito con input non valido. Un determinante dei coefficienti numericamente indistinguibile da zero fallisce con un messaggio che la regola di Cramer richiede una matrice non singolare, così il client può passare a un'analisi di rango o ai minimi quadrati invece di indovinare.

Dove i calcolatori della regola di Cramer compaiono nel lavoro reale

I corsi di algebra lineare delle superiori e dell'università assegnano continuamente esercizi sulla regola di Cramer, sistemi due per due e tre per tre con soluzioni intere, e confronti con l'eliminazione; un unico oracolo affidabile che restituisce ogni variabile accanto al suo determinante di sostituzione accelera la correzione e l'allestimento delle demo.

I problemi di gare di programmazione e i riscaldamenti da colloquio spesso nascondono piccoli sistemi densi sotto vincoli geometrici, leggi di circuito o equazioni di miscela, e gli ingegneri hanno bisogno di soluzioni uniche esatte con determinanti intermedi trasparenti invece di un risolutore black-box che stampa solo il vettore.

I laboratori di controllo e l'analisi introduttiva dei circuiti guidano ancora gli studenti attraverso la regola di Cramer prima di introdurre le fattorizzazioni matriciali, così far combaciare det di A e det di A sub i con il lavoro a mano conta più del costo asintotico. I corsi di metodi numerici usano la regola di Cramer come caso di contrasto rispetto all'eliminazione di Gauss e ai metodi iterativi, e necessitano di un corretto rifiuto di singolarità quando il determinante dei coefficienti si annulla.

Se in seguito le serve solo il determinante di una matrice, una forma a scala ridotta, i minimi quadrati per sistemi non quadrati o risolutori di autovalori, li tratti come intenti di ricerca e landing page separati invece di sovraccaricare questa pagina del calcolatore della regola di Cramer.