ForHosting KIT · الرياضيات

حاسبة قاعدة كرامر

إذا كان كل من 2x + y وx + 3y يساوي 5 فالحل هو (2, 1)، والمحددات 5 و10 و5: أدخل المعاملات والثوابت لترى كل مجهول كنسبة بين محددين. مجانًا في متصفحك.

مجاني
يعمل في متصفحك
دون تسجيل
بياناتك لا تغادر جهازك

شغّل الأداة مجانًا اطّلع على الـAPI

استخدمها من الويبAPIالبريدTelegramالتطبيق قريبًا

قاعدة كرامر هي الطريقة الكلاسيكية بالمحددات لحل نظام خطي مربع من الشكل A في x يساوي b عندما تكون مصفوفة المعاملات A قابلة للعكس. لمصفوفة n في n تحسبون المحدد الرئيسي D مساويًا لـ det لـ A، ثم لكل فهرس عمود i تستبدلون ذلك العمود من A بمتجه الثوابت b لتكوين A sub i وتضعون المجهول x sub i مساويًا لـ det لـ A sub i مقسومًا على D. البناء دقيق في الحساب الدقيق، وشفاف تمامًا للتحقق من الواجبات، ولا يزال مفيدًا كمرجع تعليمي إلى جانب الحذف الغاوسي. تقبل هذه الحاسبة مصفوفة معاملات متداخلة ومتجه ثوابت مطابق الطول، وتعيد كل متغير مع محدد الاستبدال الخاص به، وترفض محدد معاملات صفريًا بخطأ تحقق واضح حتى لا تُعرض الأنظمة الشاذة أو التابعة كحل وحيد.

كيف تحل قاعدة كرامر Ax يساوي b

ابدأوا من نظام حقيقي مربع مكتوب كـ A في x يساوي b، حيث A مصفوفة معاملات n في n، وx متجه العمود للمجهولات بطول n، وb الطرف الأيمن بطول n. تطالب قاعدة كرامر أولًا بأن يكون D، محدد A، غير صفري؛ وإلا فالمصفوفة شاذة ولا يوجد حل أو يوجد ما لا نهاية من الحلول، وتصبح الصيغة الكلاسيكية غير معرّفة. عندما يكون D غير صفري يوجد حل واحد بالضبط.

لكل فهرس i من صفر حتى n ناقص واحد، شكّلوا المصفوفة A sub i بنسخ A واستبدال العمود i بمتجه b بالكامل دون المساس ببقية الأعمدة. احسبوا D sub i مساويًا لـ det لـ A sub i بنفس خوارزمية المحدد المستخدمة لـ D. إذن القيمة الوحيدة للمجهول i-th هي x sub i مساوية لـ D sub i مقسومًا على D.

لأنظمة اثنين في اثنين تؤول المحددات إلى حاصلات ad ناقص bc التي يحفظها الطلاب؛ ولثلاثة في ثلاثة يُعدّ توسيع لابلاس للصف الأول معيارًا؛ ولـ n أكبر تقيّم تفكيكات LU مع التمحور كل محدد في زمن تكعيبي. بعد معرفة كل n من النواتج تملكون متجه الحل الكامل ويمكنكم التعويض في كل معادلة للتحقق من بواقي قريبة من الصفر. يجب أن تكون المدخلات منتهية؛ تُرفض NaN وInfinity.

فشل عدم تطابق الأبعاد بين المصفوفة ومتجه الثوابت مبكرًا كإدخال غير صالح. محدد معاملات لا يمكن تمييزه عدديًا عن الصفر يفشل برسالة أن قاعدة كرامر تتطلب مصفوفة غير شاذة، ليتمكن العميل من التحويل إلى تحليل الرتبة أو المربعات الصغرى بدل التخمين.

أين تظهر حاسبات قاعدة كرامر في العمل الحقيقي

تفرض مقررات الجبر الخطي في الثانوية والجامعة باستمرار تمارين قاعدة كرامر وأنظمة اثنين في اثنين وثلاثة في ثلاثة بحلول صحيحة ومقارنات مع الحذف؛ ويسرّع مرجع موثوق واحد يعيد كل متغير إلى جانب محدد استبداله التصحيح وإعداد العروض. غالبًا ما تخفي مسائل مسابقات البرمجة وإحماء المقابلات أنظمة كثيفة صغيرة تحت قيود هندسية أو قوانين دوائر أو معادلات خلط، ويحتاج المهندسون حلولًا وحيدة دقيقة بمحددات وسيطة شفافة بدل حلال صندوق أسود يطبع المتجه فقط.

ما زالت مختبرات التحكم وتحليل الدوائر التمهيدي يمرّران الطلاب عبر قاعدة كرامر قبل إدخال تفكيكات المصفوفات، لذا فإن مطابقة det لـ A وdet لـ A sub i للعمل اليدوي أهم من التكلفة التقاربية. تستخدم مقررات الطرق العددية قاعدة كرامر كحالة تباين أمام الحذف الغاوسي والطرق التكرارية، وتحتاج رفضًا صحيحًا للشذوذ عندما يختفي محدد المعاملات. إن احتجتم لاحقًا فقط إلى محدد مصفوفة أو شكل صف مختزل أو مربعات صغرى لأنظمة غير مربعة أو حلالات قيم ذاتية، فاعاملوها كنوايا بحث وصفحات هبوط منفصلة بدل إثقال صفحة حاسبة قاعدة كرامر هذه.

حالات الاستخدام

مفاتيح إجابات الواجبات والامتحانات

ولّدوا كل متغير وdet(A) وdet(A_i) للاستبدال لمجموعات Ax=b من الكتب حتى يشارك المعلمون والمصححات الآلية حقيقة واحدة لقاعدة كرامر.

أنظمة دوائر وخلط صغيرة

احلوا مسائل كيرشوف أو الخلط بمعادلتين وثلاث بمعادلات بمحددات شفافة بدل حلالات خطية غير شفافة بصندوق أسود.

الأسئلة الشائعة

ماذا يحدث إذا كان محدد المعاملات صفرًا؟

تتطلب قاعدة كرامر det(A) ≠ 0 لحل وحيد؛ تُرفض الأنظمة الشاذة أو التابعة بدل اختراع قيم.

ما أحجام المصفوفات المدعومة؟

أنظمة مربعة من 1×1 حتى 8×8. تستخدم المحددات صيغًا مغلقة لـ 1×1 و2×2، وتوسيع بالمرافقات لـ 3×3، وLU مع تمحور جزئي لـ n أكبر.

كيف تعمل قاعدة كرامر؟

احسب محدد المعاملات D، ثم استبدل كل عمود بدوره بعمود الثوابت واقسم كل محدد جديد على D. وإذا كان كل من 2x + y وx + 3y يساوي 5، كان D يساوي 5، فتكون x هي 10 ÷ 5 = 2 وy هي 5 ÷ 5 = 1.

كيف أتحقق من الحل؟

عوّض القيم في كل معادلة أصلية وتأكد من تحققها. ومع x تساوي 2 وy تساوي 1 يعطي 2 · 2 + 1 العدد 5، ويعطي 2 + 3 · 1 العدد 5 أيضًا، فالحل صحيح.

متى أستخدم قاعدة كرامر بدل الحذف؟

تناسب الأنظمة المربعة الصغيرة حين تريد أن ترى من أي محدد يأتي كل مجهول، كما في الواجبات والدروس، حيث تُقارن نتائجها بنتائج حذف غاوس للتحقق.

أدوات ذات صلة

للمطوّرين — الوصول عبر API

كل ما في هذه الصفحة متاح برمجيًا. هذا القسم موجّه للفرق التقنية التي تريد ربط الأداة بأنظمتها الخاصة؛ بقية المستخدمين يمكنهم استخدام الأداة أعلاه مباشرة دون الحاجة لقراءة ما يلي.

الـEndpoint

POSThttps://api.kit.forhosting.com/algebra/cramers-rule

صادِق على طلبك بترويسة Bearer، وأرسل طلب POST واحدًا لتدخل مهمتك قائمة التنفيذ فورًا؛ ثم تستلم النتيجة عبر webhook أو رابط موقّع.

استدعِ الخدمة من بيئتك

curl -X POST https://api.kit.forhosting.com/algebra/cramers-rule \
  -H "Authorization: Bearer $KIT_KEY" \
  -H "Content-Type: application/json" \
  -d '{"matrix":[[2,1],[1,3]],"constants":[5,5]}'

const res = await fetch("https://api.kit.forhosting.com/algebra/cramers-rule", {
  method: "POST",
  headers: {
    "Authorization": `Bearer ${process.env.KIT_KEY}`,
    "Content-Type": "application/json"
  },
  body: JSON.stringify({
    "matrix": [
      [
        2,
        1
      ],
      [
        1,
        3
      ]
    ],
    "constants": [
      5,
      5
    ]
  })
});
const { task_id } = await res.json();

import os, requests

res = requests.post(
    "https://api.kit.forhosting.com/algebra/cramers-rule",
    headers={"Authorization": f"Bearer {os.environ['KIT_KEY']}"},
    json={
    "matrix": [
        [
            2,
            1
        ],
        [
            1,
            3
        ]
    ],
    "constants": [
        5,
        5
    ]
},
)
task_id = res.json()["task_id"]

<?php
$res = file_get_contents("https://api.kit.forhosting.com/algebra/cramers-rule", false, stream_context_create([
  "http" => [
    "method"  => "POST",
    "header"  => "Authorization: Bearer " . getenv("KIT_KEY") . "\r\nContent-Type: application/json",
    "content" => '{"matrix":[[2,1],[1,3]],"constants":[5,5]}',
  ],
]));
$task = json_decode($res, true);

body := bytes.NewBufferString(`{"matrix":[[2,1],[1,3]],"constants":[5,5]}`)
req, _ := http.NewRequest("POST", "https://api.kit.forhosting.com/algebra/cramers-rule", body)
req.Header.Set("Authorization", "Bearer "+os.Getenv("KIT_KEY"))
req.Header.Set("Content-Type", "application/json")
res, _ := http.DefaultClient.Do(req)

مثال على الطلب

{
  "matrix": [
    [
      2,
      1
    ],
    [
      1,
      3
    ]
  ],
  "constants": [
    5,
    5
  ]
}

مثال على الاستجابة

{
  "task_id": "tsk_a1b2c3d4e5f6a1b2c3d4e5f6",
  "type": "algebra.cramers_rule",
  "status": "queued",
  "_links": {
    "result": "/tasks/tsk_…/result"
  }
}

الواجهة غير متزامنة: تستلم task_id فور الإرسال، ويمكنك الاستعلام عن الحالة بمعدل طلب واحد في الثانية.

الأسعار

لكل طلب$0.002

السعر معلن كما تراه: لا tokens ولا نظام نقاط؛ وإن فشلت المهمة فلن تُحاسَب عليها.

الأخطاء

HTTP	الرمز	المعنى
`401`	`unauthorized`	مفتاح الوصول مفقود أو غير صالح؛ تحقق من ترويسة Bearer في طلبك.
`402`	`insufficient_balance`	رصيدك لا يكفي لتنفيذ هذه المهمة؛ أعد شحن الرصيد ثم أعد المحاولة.
`404`	`unknown_type`	نوع المهمة المطلوب غير موجود في الكتالوج — راجع الاسم المرسل في الطلب.
`429`	`rate_limited`	تجاوزت الحد المسموح من الطلبات؛ انتظر قليلًا ثم أعد المحاولة.

ملاحظات تقنية

كيف تحل قاعدة كرامر Ax يساوي b

المسار بأكمله حساب عائم حتمي: بلا بذور عشوائية، وبلا طوابع ساعة حائطية، وبلا استدعاءات شبكة، وبلا انجراف نموذج، فالمصفوفة والثوابت المتطابقتان تنتجان دائمًا JSON متطابقًا.

ما الذي ترسلونه وما الذي تستلمونه

أرسلوا حقلين. الحقلان مطلوبان. عندما يكون det لـ A صفرًا أو قريبًا جدًا من الصفر تفشل الطلب برسالة أن محدد المعاملات صفر وأن قاعدة كرامر لا تستطيع إنتاج حل وحيد. تشمل فحوصات الكتب الكلاسيكية نظام اثنين في اثنين اثنان x زائد y يساوي خمسة وx زائد ثلاثة y يساوي خمسة بحل x يساوي اثنين وy يساوي واحدًا، وأي مثال صف ثلاثي قابل للعكس بإجابات صحيحة. الحقل matrix مصفوفة متداخلة مربعة من أعداد منتهية، أو سلسلة JSON بهذا الشكل، بحد أقصى ثمانية صفوف وثمانية أعمدة. الحقل constants مصفوفة طولها n من أعداد منتهية، أو سلسلة JSON لتلك المصفوفة، تطابق بُعد المصفوفة تمامًا. الحقول الناقصة والسلاسل غير العددية وNaN وInfinity والمصفوفات غير المربعة والفارغة والأبعاد المفرطة وconstants ذات الطول الخاطئ تفشل بـ invalid_input ولا تُحاسب. عند النجاح تعيد الاستجابة matrix وconstants منظّفين، وسلسلة نظام متعدد المعادلات قابلة للطباعة، والمحدد الرئيسي، والمصفوفة det_columns لمحددات الاستبدال n، ومصفوفة solution من n أعداد، ومصفوفة variables من كائنات لكل منها اسم مقروء مثل x أو y أو z أو x1 حتى xn والقيمة العددية وdet_Ai المقابل. توثّق الأعلام unique true وmethod cramers_rule وdet_method closed أو cofactor أو LU كيفية تقييم المحددات. تسعير استدعاءات API الناجحة هو الأساس المنشور $0.002 لكل عنصر؛ لا تستهلك إخفاقات التحقق الرصيد المدفوع مسبقًا.

أين تظهر حاسبات قاعدة كرامر في العمل الحقيقي

ولأن هذه القدرة محرك parse خالص، فإن تسعير API هو الأساس المنشور $0.002 لكل عنصر ناجح ولا يستهلك فشل التحقق الرصيد.

حالات التكامل

Fixtures للمسابقات والمقابلات

أنتجوا بالجملة حلولًا وحيدة لأنظمة كثيفة n≤8 والتقطوا مصفوفات معاملات شاذة بـ invalid_input صارم بدل NaN صامتة.

أسئلة تقنية

ما قاعدة كرامر؟

لنظام مربع قابل للعكس Ax=b، كل مجهول هو x_i = det(A_i)/det(A)، حيث A_i هي A بعد استبدال العمود i بمتجه الثوابت b.

كيف أُنسّق الإدخال؟

أرسلوا matrix كمصفوفة متداخلة من الصفوف (مثل [[2,1],[1,3]]) وconstants كمصفوفة طول n مطابقة (مثل [5,5]). تُقبل أيضًا سلاسل JSON بنفس الأشكال.

كم التكلفة؟

أداة المتصفح مجانية وتعمل محليًا. تستخدم طلبات API رصيد KIT مدفوعًا مسبقًا بسعر $0.002 لكل عنصر ناجح؛ لا يُحاسب الإدخال غير الصالح.

اطّلع على توثيق KIT الكامل ←

شغّل الأداة مجانًا

كيف تحل قاعدة كرامر Ax يساوي b

أين تظهر حاسبات قاعدة كرامر في العمل الحقيقي

حالات الاستخدام

مفاتيح إجابات الواجبات والامتحانات

أنظمة دوائر وخلط صغيرة

الأسئلة الشائعة

أدوات ذات صلة

للمطوّرين — الوصول عبر API

الـEndpoint

استدعِ الخدمة من بيئتك

مثال على الطلب

مثال على الاستجابة

الأسعار

الأخطاء

ملاحظات تقنية

كيف تحل قاعدة كرامر Ax يساوي b

ما الذي ترسلونه وما الذي تستلمونه

أين تظهر حاسبات قاعدة كرامر في العمل الحقيقي

حالات التكامل

Fixtures للمسابقات والمقابلات

أسئلة تقنية

شكرًا