ForHosting KIT · الرياضيات

حاسبة الحذف الغاوسي

حلّوا n معادلة خطية في n مجهولًا بتحويلات الصفوف: يعطي مثال المعادلات الثلاث المجاهيل 2 و3 و−1، مع عرض المحاور وتبديلَي الصفوف الاثنين. مجانًا في متصفحكم.

مجاني
يعمل في متصفحك
دون تسجيل
بياناتك لا تغادر جهازك

شغّل الأداة مجانًا اطّلع على الـAPI

استخدمها من الويبAPIالبريدTelegramالتطبيق قريبًا

الحذف الغاوسي هو الخوارزمية الكلاسيكية لحل نظام خطي مربّع A x يساوي b: تُبنى المصفوفة الموسّعة، وتُصفَّر المدخلات تحت كل محور، ثم يُسترجع كل مجهول بالتعويض العكسي. تعيد التشغيلات الناجحة متجه الحل x، والرتبة n، وقيم المحاور المستخدمة، وعدد مرات تبديل الصفوف، وعلامة unique.

ما يفعله الحذف الغاوسي ومتى يوجد حل فريد

اكتبوا المسألة كحاصل ضرب A في متجه عمود المجاهيل يساوي متجه عمود الثوابت. يجب أن تكون مصفوفة المعاملات A مربّعة من الرتبة n، فيكون لديكم n معادلات خطية مستقلة في n مجاهيل. يشكّل الحذف الغاوسي المصفوفة الموسّعة مع A يسارًا و b يمينًا، ثم يُدخل أصفارًا بشكل منهجي تحت القطر الرئيسي.

في المرحلة k يختار الخوارزمية أكبر قيمة مطلقة في العمود k من الصف k نزولاً (محورية جزئية)، ويبدّل ذلك الصف إلى الموضع k عند الحاجة، ويستخدم مضاعفات الصفوف لتصفير كل مدخل تحت المحور. يتوافق الهندسة والجبر: يوجد حل فريد تمامًا عندما تكون A قابلة للعكس، وهذا يعني في هذا الإجراء أن كل محور يبقى بعيدًا عن الصفر. يطابق ذلك توقعات القاعة والإنتاج: تحصلون على x مستقر أو خطأ تفرد صريح، لا تقديرًا صامتًا لأقل المربعات.

الاستخدام العملي والتسعير والحدود والتسليم

استخدموا أداة المتصفح عندما تريدون حلاً دقيقًا فوريًا أثناء مراجعة واجب، أو إعداد درس عن اختزال الصفوف، أو تصحيح دائرة صغيرة أو ميزان أو نموذج قيود خفيفة دون تثبيت نظام جبر حاسوبي. لا يوجد نموذج لغوي ولا خدمة جبر خطي خارجية ولا عشوائية، لذا من الآمن تثبيت القدرة في فحوصات التكامل المستمر ومواد الدروس القابلة للتكرار. فضّلوا مسار غاوس العام n×n عندما يتجاوز نظامكم معادلتين؛ يبقى مساعد كرامر 2×2 مخصصًا لتعليم محددات سطرين، لكن من يبحث عن الحذف الغاوسي يتوقع الخوارزمية المذكورة في العنوان.

حافظوا على n معتدلًا والمعاملات ضمن مقادير فاصلة عائمة عادية حتى لا يهيمن الإلغاء؛ مع أعداد صحيحة صفية ومقاييس هندسية نموذجية يكون الحاسب دقيقًا ضمن الدقة المزدوجة. تتبع المدخلات والمخرجات قواعد الاحتفاظ نفسها لعناصر parse الأخرى في KIT، ولا تُحاسب مهمة فاشلة بعد التحقق أبدًا.

حالات الاستخدام

التحقق من الواجبات والتدريس

يؤكد الطلاب والمصححون متجه الحل للأنظمة المربّعة، بما في ذلك الحالات المفردة التي تفشل بشكل صحيح، دون تثبيت CAS محلي.

نماذج هندسية ودوائر صغيرة

تستدعي النصوص التي توازن جهود العقد أو تدفقات الكتلة أو قيودًا خطية من معاملين إلى n وسيطًا Ax=b حتميًا بدل شحن حزمة عددية ثقيلة.

الأسئلة الشائعة

هل يستخدم الحاسب محورية جزئية؟

نعم. في كل مرحلة يختار أكبر قيمة مطلقة في العمود النشط تحت القطر، ويبدّل الصفوف عند الحاجة، ثم يحذف. ذلك يحسّن الاستقرار العددي مقارنة بالحذف الساذج.

ما الحجم الأقصى للنظام؟

n محدود بـ 32 ليبقى التكلفة ضمن غلاف tier-A التحليلي. الأنظمة الكثيفة الأكبر تحتاج مكتبة عددية مخصصة أو قدرة أخرى.

متى يكون للنظام الخطي حل وحيد؟

عندما تكون مصفوفة المعاملات قابلة للعكس، أي ألا يصبح أي محور صفرًا أثناء الحذف. وتخبركم النتيجة إن كان الحل الذي وجدته وحيدًا.

ماذا تعرض النتيجة إلى جانب الحل؟

تعرض قيم المحاور المستخدمة في كل مرحلة وعدد الصفوف التي جرى تبديلها. في مثال المعادلات الثلاث يكون المحور الأول −3 ويلزم تبديلان للصفوف.

هل يمكن حل نظام فيه معادلات أكثر من المجاهيل؟

لا. يجب أن تكون مصفوفة المعاملات مربعة، أي أن يتساوى عدد المعادلات المستقلة مع عدد المجاهيل.

أدوات ذات صلة

للمطوّرين — الوصول عبر API

كل ما في هذه الصفحة متاح برمجيًا. هذا القسم موجّه للفرق التقنية التي تريد ربط الأداة بأنظمتها الخاصة؛ بقية المستخدمين يمكنهم استخدام الأداة أعلاه مباشرة دون الحاجة لقراءة ما يلي.

الـEndpoint

POSThttps://api.kit.forhosting.com/algebra/gaussian-elimination

صادِق على طلبك بترويسة Bearer، وأرسل طلب POST واحدًا لتدخل مهمتك قائمة التنفيذ فورًا؛ ثم تستلم النتيجة عبر webhook أو رابط موقّع.

استدعِ الخدمة من بيئتك

curl -X POST https://api.kit.forhosting.com/algebra/gaussian-elimination \
  -H "Authorization: Bearer $KIT_KEY" \
  -H "Content-Type: application/json" \
  -d '{"A":[[2,1,-1],[-3,-1,2],[-2,1,2]],"b":[8,-11,-3]}'

const res = await fetch("https://api.kit.forhosting.com/algebra/gaussian-elimination", {
  method: "POST",
  headers: {
    "Authorization": `Bearer ${process.env.KIT_KEY}`,
    "Content-Type": "application/json"
  },
  body: JSON.stringify({
    "A": [
      [
        2,
        1,
        -1
      ],
      [
        -3,
        -1,
        2
      ],
      [
        -2,
        1,
        2
      ]
    ],
    "b": [
      8,
      -11,
      -3
    ]
  })
});
const { task_id } = await res.json();

import os, requests

res = requests.post(
    "https://api.kit.forhosting.com/algebra/gaussian-elimination",
    headers={"Authorization": f"Bearer {os.environ['KIT_KEY']}"},
    json={
    "A": [
        [
            2,
            1,
            -1
        ],
        [
            -3,
            -1,
            2
        ],
        [
            -2,
            1,
            2
        ]
    ],
    "b": [
        8,
        -11,
        -3
    ]
},
)
task_id = res.json()["task_id"]

<?php
$res = file_get_contents("https://api.kit.forhosting.com/algebra/gaussian-elimination", false, stream_context_create([
  "http" => [
    "method"  => "POST",
    "header"  => "Authorization: Bearer " . getenv("KIT_KEY") . "\r\nContent-Type: application/json",
    "content" => '{"A":[[2,1,-1],[-3,-1,2],[-2,1,2]],"b":[8,-11,-3]}',
  ],
]));
$task = json_decode($res, true);

body := bytes.NewBufferString(`{"A":[[2,1,-1],[-3,-1,2],[-2,1,2]],"b":[8,-11,-3]}`)
req, _ := http.NewRequest("POST", "https://api.kit.forhosting.com/algebra/gaussian-elimination", body)
req.Header.Set("Authorization", "Bearer "+os.Getenv("KIT_KEY"))
req.Header.Set("Content-Type", "application/json")
res, _ := http.DefaultClient.Do(req)

مثال على الطلب

{
  "A": [
    [
      2,
      1,
      -1
    ],
    [
      -3,
      -1,
      2
    ],
    [
      -2,
      1,
      2
    ]
  ],
  "b": [
    8,
    -11,
    -3
  ]
}

مثال على الاستجابة

{
  "task_id": "tsk_a1b2c3d4e5f6a1b2c3d4e5f6",
  "type": "algebra.gaussian_elimination",
  "status": "queued",
  "_links": {
    "result": "/tasks/tsk_…/result"
  }
}

الواجهة غير متزامنة: تستلم task_id فور الإرسال، ويمكنك الاستعلام عن الحالة بمعدل طلب واحد في الثانية.

الأسعار

لكل طلب$0.002

السعر معلن كما تراه: لا tokens ولا نظام نقاط؛ وإن فشلت المهمة فلن تُحاسَب عليها.

الأخطاء

HTTP	الرمز	المعنى
`401`	`unauthorized`	مفتاح الوصول مفقود أو غير صالح؛ تحقق من ترويسة Bearer في طلبك.
`402`	`insufficient_balance`	رصيدك لا يكفي لتنفيذ هذه المهمة؛ أعد شحن الرصيد ثم أعد المحاولة.
`404`	`unknown_type`	نوع المهمة المطلوب غير موجود في الكتالوج — راجع الاسم المرسل في الطلب.
`429`	`rate_limited`	تجاوزت الحد المسموح من الطلبات؛ انتظر قليلًا ثم أعد المحاولة.

ملاحظات تقنية

تنفّذ هذه القدرة ذلك الإجراء بمحورية جزئية على مصفوفة معاملات تقدّمونها كمصفوفة JSON من الصفوف ومتجه طرف أيمن بطول مطابق. عندما يكون المحور صفرًا أو قريبًا من الصفر ضمن تسامح ضيق، تُعامل مصفوفة المعاملات كمفردة وتفشل الطلبية بـ invalid_input بدل اختراع حل فريد زائف. الحساب حتمي بالكامل، مجاني في عنصر المتصفح، ومتاح كعناصر API مدفوعة مسبقًا لمدقّقي الواجبات وأدوات التدريس وحلول الدوائر ومساعدات الجبر الخطي الخفيفة التي تحتاج عقدًا مستقرًا دون تثبيت نظام جبر حاسوبي.

ما يفعله الحذف الغاوسي ومتى يوجد حل فريد

بعد المرور الأمامي يصبح النظام مثلثيًا علويًا: كل مدخل قطري محور، والمعادلة الأخيرة تتضمن x_n فقط. ثم يحلّ التعويض العكسي x_n، ويعوّضه في الصف السابق لـ x_{n-1}، ويواصل حتى x_1. إن لم يقدّم عمود محورًا صالحًا، فإن صفوف A مترابطة خطيًا — قيود متوازية، أو نظام فرعي ناقص التحديد، أو قيد زائد غير متسق — وترفض هذه API اختراع متجه فريد.

كيفية استدعاء الحاسب وقراءة الاستجابة

أثناء الحذف، إذا انخفض أفضل محور مطلق في عمود تحت إبسيلون ضيق قرب 1e-12، تفشل الطلبية برسالة أن مصفوفة المعاملات مفردة ولا يوجد حل فريد. يُنظَّف الغبار العددي قرب الصفر لتبقى goldens والعروض المقروءة مستقرة، بينما تحتفظ الأعداد الحقيقية غير الصحيحة العادية بالدقة المزدوجة الكاملة. تحسّن المحورية الجزئية الموثوقية العددية مقارنة بالحذف الساذج من اليسار إلى اليمين بلا تبديل صفوف؛ لا تغيّر الحل الرياضي عندما تكون A جيدة الشرط، لكنها تقلّل الإلغاء الكارثي عندما يصبح مدخل قيادي صغير محورًا. أرسلوا جسم JSON بالحقل الإلزامي A، وهو مصفوفة غير فارغة من n صفوف طول كل منها n من أعداد منتهية، والحقل الإلزامي b، وهو مصفوفة من n أعداد منتهية. تُقبل الأسماء البديلة matrix و a و coeff لـ A؛ و rhs و right_hand_side و constants لـ b. يجب أن تكون الرتبة n بين 1 و 32 شمولًا حتى تبقى عوازل Worker ضمن غلاف تكلفة تحليلي محافظ. يتحقق المحرك من الشكل المستطيل والأطوال المتطابقة والخلايا العددية المنتهية؛ الحقول الناقصة والصفوف غير المنتظمة والسلاسل غير العددية و NaN و Infinity تفشل فورًا بـ invalid_input ولا تُحاسب. عند النجاح تتضمن الاستجابة دائمًا x (متجه الحل بطول n) و n و method مضبوطًا على gaussian_elimination و pivots (المحاور القطرية بعد الاختيار وتبديلات الصفوف الاختيارية) و row_swaps (كم مرة جرى تبادل صفين) و unique مضبوطًا على true. اربطوا نقطة النهاية بنصوص تتحدث JSON أصلًا وتحتاج عقدًا مستقرًا بدل إعادة تنفيذ منطق المحاور في كل لغة.

الاستخدام العملي والتسعير والحدود والتسليم

استخدموا API عندما تحتاج منصة تدريس أو بيئة مقابلات برمجة أو دفتر مختبر فيزياء أو خط أنابيب جداول بيانات إلى JSON مستقر لمجموعات معاملات كثيرة تحت عقد واحد. كل طلبية ناجحة عنصر قابل للفوترة بسعر $0.002؛ الإخفاقات في التحقق والمصفوفات المفردة لا تستهلك الرصيد. النتائج حتمية بالكامل: نفس A و b يعطيان دائمًا نفس x و pivots و row_swaps في بيئة فاصلة عائمة معطاة.

حالات التكامل

تعليم اختزال الصفوف والمحورية

تعرض صفحات الدرس pivots و row_swaps ليربط المتعلمون المحورية الجزئية والتعويض العكسي بنفس متجه الحل الفريد.

أسئلة تقنية

كيف أحل Ax يساوي b بالحذف الغاوسي باستخدام هذه API؟

أرسلوا JSON بمصفوفة مربّعة A (مصفوفة من n صفوف بطول n) ومتجه b بطول n. تعيد الاستجابة x و n و pivots و row_swaps و unique عند وجود حل فريد.

ماذا يحدث إذا كانت مصفوفة المعاملات مفردة؟

عندما يظهر محور صفري أو شبه صفري أثناء الحذف (ضمن إبسيلون ضيق)، تفشل الطلبية بـ invalid_input ولا تُحاسب — لا يوجد حل فريد.

هل حاسبة الحذف الغاوسي مجانية؟

تعمل أداة المتصفح مجانًا على جهازكم. تستخدم استدعاءات API رصيد KIT المدفوع مسبقًا بسعر $0.002 لكل عنصر ناجح؛ إخفاقات التحقق والأنظمة المفردة لا تُحاسب.

اطّلع على توثيق KIT الكامل ←

شغّل الأداة مجانًا

ما يفعله الحذف الغاوسي ومتى يوجد حل فريد

الاستخدام العملي والتسعير والحدود والتسليم

حالات الاستخدام

التحقق من الواجبات والتدريس

نماذج هندسية ودوائر صغيرة

الأسئلة الشائعة

أدوات ذات صلة

للمطوّرين — الوصول عبر API

الـEndpoint

استدعِ الخدمة من بيئتك

مثال على الطلب

مثال على الاستجابة

الأسعار

الأخطاء

ملاحظات تقنية

ما يفعله الحذف الغاوسي ومتى يوجد حل فريد

كيفية استدعاء الحاسب وقراءة الاستجابة

الاستخدام العملي والتسعير والحدود والتسليم

حالات التكامل

تعليم اختزال الصفوف والمحورية

أسئلة تقنية

شكرًا