حاسبة تحويل غاوس-جوردان
النظام الكلاسيكي الذي يبدأ بالمعادلة 2x + y − z تساوي 8 حله (x, y, z) = (2, 3, −1). أدخل كل معادلة صفًّا من الأعداد واعرف هل للنظام حل وحيد أم حلول لا نهائية أم لا حل له. مجاني في متصفحك.
- مجاني
- يعمل في متصفحك
- دون تسجيل
- بياناتك لا تغادر جهازك
شغّل الأداة مجانًا
تعمل هذه الأداة داخل متصفحك — مجانًا، ولا تُرسل بياناتك إلى أي خادم
تحلّ هذه الحاسبة لتحويل غاوس-جوردان نظامًا من المعادلات الخطية مباشرةً من مصفوفة المعاملات الموسعة: تُدخل صفًّا واحدًا لكل معادلة مع وضع الطرف الأيمن في الموضع الأخير، ويقوم المحرك باختزال المصفوفة إلى الصيغة السلمية المختزلة RREF باستخدام المحاورة الجزئية، ثم يقرأ الإجابة من العمود الأخير. تتضمن الاستجابة الصيغة RREF الكاملة، وحقل status يوضح ما إذا كان للنظام حل وحيد أو عدد لا نهائي من الحلول أو لا حل على الإطلاق، ومتجه الحل نفسه عندما يكون وحيدًا. تُرفض الصفوف غير المتساوية الأطوال فورًا، لأن المصفوفة المشرشرة لا تعرّف نظامًا صحيحًا. كل شيء يعتمد على حساب الفاصلة العائمة الحتمي: لا اتصالات بالشبكة، ولا عشوائية، ولا سلوك مرتبط بالتاريخ، لذا ينتج الإدخال نفسه دائمًا المخرجات نفسها.
ماذا يفعل تحويل غاوس-جوردان وماذا تحتوي الاستجابة
تحويل غاوس-جوردان هو الصيغة الكاملة للاختزال الصفّي: انطلاقًا من المصفوفة الموسعة [A|b] لنظام خطي، تُطبَّق العمليات الصفّية الأولية حتى يصبح كتلة المعاملات في الصيغة السلمية المختزلة، أي أن كل عنصر قائد يساوي واحدًا، وكل محور هو العنصر غير الصفري الوحيد في عموده، ويقع كل محور على يمين المحور في الصف الذي فوقه مباشرة. عند هذه النقطة يحل النظام نفسه بنفسه، لأن كل صف محوري يصرّح ببساطة عن قيمة مجهول واحد ويحمل العمود الأخير الثوابت.
تنفّذ هذه الحاسبة تلك العملية بالضبط مع المحاورة الجزئية لضمان الاستقرار العددي: لكل عمود من أعمدة المعاملات تختار العنصر الأكبر قيمةً مطلقةً تحت الصف الحالي، وتبدّله إلى موضعه، وتقسّم الصف ليصبح المحور واحدًا، ثم تحذف ذلك العمود من كل صف آخر، فوقه وتحته. لا يخترع المحرك إجابة لا يستطيع تبريرها أبدًا: تُبلَّغ الأنظمة المتناقضة وناقصة التحديد بأمانة عبر حقل status بدلًا من إجبارها على متجه زائف.
كيف تكتب المصفوفة الموسعة وكيف تبقى الإجابة قابلة للتكرار
حقل الإدخال هو matrix، وهو مصفوفة متداخلة من صفوف الأعداد المنتهية. يصف كل صف معادلة واحدة: معاملات المجهولات بالترتيب، ثم الطرف الأيمن في الموضع الأخير، وبالتالي يكون نظام m معادلة في n مجهولًا مصفوفةً من الحجم m في n+1. ليس من الضروري أن يكون النظام مربعًا: الأنظمة المفرطة التحديد التي فيها معادلات أكثر من المجهولات وناقصة التحديد التي فيها معادلات أقل كلاهما مدخلات صالحة، ويخبرك حقل status بكيفية ظهور مجموعة الحلول.
تُقبل الأسماء المستعارة a وA وmat وaugmented حتى تتمكن جداول البيانات وسلاسل الاستعلام والنماذج المكتوبة من إعادة استخدام العقد نفسه. تُقبل السلاسل النصية للعناصر ذات علامات الزائد الاختيارية في البداية والترميز العلمي عندما تُحلَّل كأعداد عشرية منتهية؛ أما المسافات المضمّنة وبادئات الأرقام الست عشرية والرموز غير العددية فتُرفض برسالة واضحة.
قراءة النتائج الثلاث وأين يقع موضع هذه الأداة
حقل status هو قلب الاستجابة ويعكس الحالات الكلاسيكية الثلاث لنظام خطي. عندما تساوي رتبة كتلة المعاملات عدد المجهولات ولا يوجد صف متناقض، تكون الحالة unique ويعطي متجه solution قيمة كل مجهول بالترتيب، مقروءةً مباشرة من العمود الأخير في RREF؛ وهذه هي الحالة النموذجية لمعادلات الدوائر الكهربائية ومسائل الاستيفاء والنماذج التوازنية الصغيرة. وعندما ينتج الاختزال صفًّا من معاملات صفرية مع ثابت غير صفري، تكون الحالة inconsistent ولا يُعاد أي حل، وهذه بالضبط الإشارة التي تريدها عند التحقق مما إذا كانت البيانات المقاسة تستطيع تحقيق نموذج دقيق.
يستخدم الطلاب الحالات الثلاث كلها للتحقق من أعمالهم اليدوية قبل الامتحانات؛ ويولّد المعلمون مفاتيح الإجابات مسبقًا دون الوثوق بتطبيقات حاسبة معتمة؛ ويزرع المطورون متجهات اختبار حتمية لحلّالاتهم الخاصة؛ ويفحص المحللون الأنظمة الصغيرة الكثيفة دون اتصال بالإنترنت، دون نظام جبر حاسوبي، وتحت ضغط الوقت.
يتوافق هذا التقسيم مع بقية فهرس KIT من الفئة A، بحيث يمكنك الانتقال من عرض تفاعلي في قاعة الدرس إلى خط أنابيب آلي للتصحيح أو التحقق دون تغيير النتيجة الرياضية، وإقران هذه الأداة مع حاسبات معكوس المصفوفة أو المحدد أو الرتبة عندما يحتاج سير العمل إلى خطوات جبر خطي مرتبطة.
حالات الاستخدام
التحقق من الواجبات والامتحانات
حلّ أنظمة الكتب المدرسية من مصفوفاتها الموسعة، وقارن RREF مع اختزالك الصفّي اليدوي، وأكّد حالة unique أو infinite أو inconsistent قبل الامتحان.
تجهيزات اختبار حتمية للحلّالات
ولّد مصفوفات RREF ومتجهات حل ووسوم status قابلة للتكرار لاختبارات الوحدة وتأكيدات CI على شيفرتك العددية الخاصة.
واجهات التدريس والتعليم
طبّع الأنظمة المُدخلة من المستخدم إلى صيغة RREF بحيث تكون المتغيرات المقيدة مقابل الحرة والصفوف المتناقضة واضحة للمتعلم.
الأسئلة الشائعة
كيف أُنسّق مصفوفة الإدخال؟
صف واحد لكل معادلة: معاملات المجهولات بالترتيب، ثم الطرف الأيمن في الموضع الأخير. نظام m معادلة في n مجهولًا هو مصفوفة m×(n+1)، ويجب أن يكون لكل صف الطول نفسه.
ماذا يحدث إذا احتوى صف على عدد خاطئ من العناصر؟
لا تُحل الصفوف المشرشرة أبدًا، لأنها لا تعرّف نظامًا صحيحًا.
ماذا تعني قيم status: unique وinfinite وinconsistent؟
تعني unique وجود حل واحد بالضبط ويُعاد في solution. وتعني inconsistent وجود صف متناقض (معاملات صفرية وثابت غير صفري) ولا يوجد حل.
هل يجب أن يكون النظام مربعًا؟
لا. تُقبل الأنظمة المفرطة التحديد وناقصة التحديد؛ ويُبلّغ حقل status عن كيفية ظهور مجموعة الحلول. تُفرض فقط اتساق أطوال الصفوف وحدود الحجم الموثقة.
لماذا تبدّل الحاسبة ترتيب الصفوف أثناء الحل؟
من أجل الثبات العددي: في كل عمود تختار أكبر قيمة مطلقة تحت الصف الحالي وتنقلها إلى موضعها، ثم تقسم الصف لتصبح قيمة المحور واحدًا، وتحذف ذلك العمود من كل الصفوف الأخرى فوقه وتحته.
أدوات ذات صلة
للمطوّرين — الوصول عبر API
كل ما في هذه الصفحة متاح برمجيًا. هذا القسم موجّه للفرق التقنية التي تريد ربط الأداة بأنظمتها الخاصة؛ بقية المستخدمين يمكنهم استخدام الأداة أعلاه مباشرة دون الحاجة لقراءة ما يلي.
الـEndpoint
صادِق على طلبك بترويسة Bearer، وأرسل طلب POST واحدًا لتدخل مهمتك قائمة التنفيذ فورًا؛ ثم تستلم النتيجة عبر webhook أو رابط موقّع.
استدعِ الخدمة من بيئتك
curl -X POST https://api.kit.forhosting.com/math/gauss-jordan-elimination \
-H "Authorization: Bearer $KIT_KEY" \
-H "Content-Type: application/json" \
-d '{"matrix":[[2,1,-1,8],[-3,-1,2,-11],[-2,1,2,-3]]}'const res = await fetch("https://api.kit.forhosting.com/math/gauss-jordan-elimination", {
method: "POST",
headers: {
"Authorization": `Bearer ${process.env.KIT_KEY}`,
"Content-Type": "application/json"
},
body: JSON.stringify({
"matrix": [
[
2,
1,
-1,
8
],
[
-3,
-1,
2,
-11
],
[
-2,
1,
2,
-3
]
]
})
});
const { task_id } = await res.json();import os, requests
res = requests.post(
"https://api.kit.forhosting.com/math/gauss-jordan-elimination",
headers={"Authorization": f"Bearer {os.environ['KIT_KEY']}"},
json={
"matrix": [
[
2,
1,
-1,
8
],
[
-3,
-1,
2,
-11
],
[
-2,
1,
2,
-3
]
]
},
)
task_id = res.json()["task_id"]<?php
$res = file_get_contents("https://api.kit.forhosting.com/math/gauss-jordan-elimination", false, stream_context_create([
"http" => [
"method" => "POST",
"header" => "Authorization: Bearer " . getenv("KIT_KEY") . "\r\nContent-Type: application/json",
"content" => '{"matrix":[[2,1,-1,8],[-3,-1,2,-11],[-2,1,2,-3]]}',
],
]));
$task = json_decode($res, true);body := bytes.NewBufferString(`{"matrix":[[2,1,-1,8],[-3,-1,2,-11],[-2,1,2,-3]]}`)
req, _ := http.NewRequest("POST", "https://api.kit.forhosting.com/math/gauss-jordan-elimination", body)
req.Header.Set("Authorization", "Bearer "+os.Getenv("KIT_KEY"))
req.Header.Set("Content-Type", "application/json")
res, _ := http.DefaultClient.Do(req)مثال على الطلب
{
"matrix": [
[
2,
1,
-1,
8
],
[
-3,
-1,
2,
-11
],
[
-2,
1,
2,
-3
]
]
}مثال على الاستجابة
{
"task_id": "tsk_a1b2c3d4e5f6a1b2c3d4e5f6",
"type": "math.gauss_jordan_elimination",
"status": "queued",
"_links": {
"result": "/tasks/tsk_…/result"
}
}الواجهة غير متزامنة: تستلم task_id فور الإرسال، ويمكنك الاستعلام عن الحالة بمعدل طلب واحد في الثانية.
الأسعار
السعر معلن كما تراه: لا tokens ولا نظام نقاط؛ وإن فشلت المهمة فلن تُحاسَب عليها.
الحدود
max_rows | 50 |
max_cols | 51 |
max_abs_entry | 1000000000000000 |
الأخطاء
| HTTP | الرمز | المعنى |
|---|---|---|
401 | unauthorized | مفتاح الوصول مفقود أو غير صالح؛ تحقق من ترويسة Bearer في طلبك. |
402 | insufficient_balance | رصيدك لا يكفي لتنفيذ هذه المهمة؛ أعد شحن الرصيد ثم أعد المحاولة. |
404 | unknown_type | نوع المهمة المطلوب غير موجود في الكتالوج — راجع الاسم المرسل في الطلب. |
429 | rate_limited | تجاوزت الحد المسموح من الطلبات؛ انتظر قليلًا ثم أعد المحاولة. |
ملاحظات تقنية
استخدمها مجانًا في المتصفح للواجبات المنزلية والتدريس، أو استدعِ واجهة API بتكلفة $0.002 لكل طلب ناجح للحصول على نتائج قابلة للتكرار لأنظمة المعادلات الخطية داخل النصوص البرمجية وبرامج التدريس وتجهيزات اختبارات CI.
ماذا يفعل تحويل غاوس-جوردان وماذا تحتوي الاستجابة
تُعيد الاستجابة الصيغة RREF للمصفوفة الموسعة الكاملة مقرَّبةً إلى الدقة المطلوبة، ونسخة مطابقة للمصفوفة الأصلية، وحقل status الذي يكون unique أو infinite أو inconsistent، ومتجه solution عندما تكون الحالة unique، وقائمة مؤشرات المتغيرات الحرة free_variables عندما تكون infinite، وأزواج pivots المرقّمة من الصفر وبنية pivot_positions المنظمة، ورتبة rank لكتلة المعاملات، وأعداد المعادلات والمجهولات، ووسم الطريقة gauss_jordan_elimination، وقيمة precision المستخدمة، وتذكيرًا موجزًا بالصيغة، والأبعاد القصوى المدعومة. تشمل المدخلات المرفوضة مصفوفة مفقودة، وصفوفًا ليست مصفوفات، وصفًّا يختلف طوله عن الصف الأول، وعناصر غير منتهية، وقيمًا تتجاوز السقف الموثق، وكلها تُبلَّغ بوصفها invalid_input دون أي رسوم.
كيف تكتب المصفوفة الموسعة وكيف تبقى الإجابة قابلة للتكرار
يجب أن يكون لكل صف الطول نفسه وأن يحتوي على عمودين على الأقل؛ وإذا كان أي صف أقصر أو أطول من الأول، يفشل الطلب فورًا برسالة invalid_input تحدد الصف والعدد المتوقع مقابل العدد الفعلي للعناصر، لأن المصفوفة المشرشرة لا تعرّف نظامًا خطيًا. ويختار حقل precision الاختياري، بأسمائه المستعارة decimals وdp، عدد المنازل العشرية التي تظهر في كل عنصر من عناصر RREF وفي متجه الحل، بقيمة افتراضية تساوي عشرة وسقف يبلغ خمسة عشر حتى تبقى المخرجات المرجعية مستقرة عبر الأجهزة. الحساب هو حساب نقي بدقة مزدوجة مع المحاورة الجزئية، وتُصفَّر تمامًا العناصر التي تنخفض قيمتها المطلقة دون عتبة المحور، وكذلك الصفر السالب، فيكون JSON الذي تستلمه نظيفًا ومستقرًا بايتًا ببايت.
قراءة النتائج الثلاث وأين يقع موضع هذه الأداة
وعندما يكون النظام متسقًا لكن بعض الأعمدة لا يكسب محورًا أبدًا، تكون الحالة infinite وتسرد مصفوفة free_variables المؤشرات المرقّمة من الصفر للمجهولات التي يمكنك اختيارها بحرية، فيستطيع المعلم أو الواجهة أن يشرح أن مجموعة الحلول خط مستقيم أو مستوٍ أو فضاء جزئي أعلى بُعدًا بدلًا من نقطة واحدة. في هذه الصفحة يجري الحساب بالكامل في متصفحك مجانًا؛ وعبر واجهة API تبلغ تكلفة كل طلب ناجح $0.002، ولا تُحتسب رسوم على فشل التحقق من الصحة أبدًا، ولا يُخزَّن شيء بعد عودة الاستجابة.
أسئلة تقنية
كم تبلغ تكلفة حاسبة تحويل غاوس-جوردان؟
إنها مجانية في متصفحك على هذه الصفحة. وعبر واجهة API تبلغ تكلفة الطلب الناجح $0.002؛ أما المدخلات غير الصالحة فلا تُحتسب عليها رسوم.