Gauß-Jordan-Elimination: Lineare Gleichungssysteme online lösen (RREF)

Was die Gauß-Jordan-Elimination leistet und was die Antwort enthält

Die Antwort liefert die RREF der gesamten erweiterten Matrix, gerundet auf die gewünschte Genauigkeit, ein Echo der ursprünglichen Matrix, ein Statusfeld mit den Werten unique, infinite oder inconsistent, den Lösungsvektor, wenn der Status unique ist, die Liste der Indizes freier Variablen, wenn der Status infinite ist, nullbasierte Pivotpaare sowie strukturierte pivot_positions, den Rang des Koeffizientenblocks, die Anzahl der Gleichungen und Unbekannten, das Methoden-Tag gauss_jordan_elimination, die verwendete Genauigkeit, eine kurze Formelerinnerung und die maximal unterstützten Dimensionen. Zurückgewiesene Eingaben umfassen eine fehlende Matrix, Zeilen, die keine Arrays sind, eine Zeile, deren Länge von der ersten Zeile abweicht, nicht endliche Einträge und Beträge oberhalb der dokumentierten Obergrenze – alles wird unentgeltlich als invalid_input gemeldet.

Wie Sie die erweiterte Matrix schreiben und warum das Ergebnis reproduzierbar bleibt

Das Eingabefeld ist matrix, ein verschachteltes Array aus Zeilen endlicher Zahlen. Jede Zeile beschreibt eine Gleichung: die Koeffizienten der Unbekannten in der richtigen Reihenfolge, gefolgt von der rechten Seite als letztem Eintrag; ein System aus m Gleichungen mit n Unbekannten ist also ein m-mal-(n+1)-Array. Die Aliase a, A, mat und augmented werden akzeptiert, damit Tabellenkalkulationen, Abfragezeichenfolgen und Formulare denselben Vertrag wiederverwenden können. Eingabestrings mit optionalen führenden Pluszeichen und wissenschaftlicher Notation werden akzeptiert, sofern sie als endliche Dezimalzahlen geparst werden; eingebettete Leerzeichen, Hexadezimalpräfixe und nicht numerische Token werden mit einer klaren Meldung zurückgewiesen. Jede Zeile muss dieselbe Länge und mindestens zwei Spalten haben; ist eine Zeile kürzer oder länger als die erste, schlägt die Anfrage sofort mit invalid_input fehl, wobei die Zeile sowie die erwartete und die tatsächliche Anzahl der Einträge genannt werden, denn ein unregelmäßiges Array definiert kein lineares System. Das System muss nicht quadratisch sein: Überbestimmte Systeme mit mehr Gleichungen als Unbekannten und unterbestimmte Systeme mit weniger Gleichungen sind beide gültige Eingaben, und das Statusfeld verrät Ihnen, wie die Lösungsmenge ausgefallen ist. Ein optionales Feld precision, mit den Aliasen decimals und dp, bestimmt, wie viele Dezimalstellen in jedem RREF-Eintrag und im Lösungsvektor erscheinen; der Standardwert ist zehn, die Obergrenze fünfzehn, damit Goldstandard-Ausgaben maschinenübergreifend stabil bleiben. Die Berechnung ist reine Gleitkommaarithmetik doppelter Genauigkeit mit partieller Pivotisierung, und Einträge, deren Betrag unter das Pivot-Epsilon fällt, werden auf exakt null gesetzt, ebenso wie negative null, sodass das empfangene JSON sauber und bytestabil ist.

Die drei Ergebnisfälle lesen und das Werkzeug richtig einordnen

Wenn das System konsistent ist, aber eine Spalte nie ein Pivot erhält, lautet der Status infinite, und das Array free_variables listet die nullbasierten Indizes der Unbekannten auf, die Sie frei wählen dürfen – so kann ein Tutor oder eine Oberfläche erklären, dass die Lösungsmenge eine Gerade, eine Ebene oder ein höherdimensionaler affiner Raum ist und kein Punkt. Auf dieser Seite läuft die Berechnung vollständig und kostenlos in Ihrem Browser; über die API kostet jede erfolgreiche Anfrage $0.002, fehlgeschlagene Validierung wird nie berechnet, und nach der Antwort wird nichts gespeichert. Diese Aufteilung entspricht dem übrigen KIT-Tier-A-Katalog, sodass Sie von einer interaktiven Unterrichtsdemo zu einer automatisierten Bewertungs- oder Verifikationspipeline wechseln können, ohne das mathematische Ergebnis zu ändern – und Sie können dieses Werkzeug mit den Rechnern für Matrixinverse, Determinante oder Rang kombinieren, wenn ein Arbeitsablauf verwandte Schritte der linearen Algebra benötigt.