Löser für 3×3-Gleichungssysteme
Drei Gleichungen, drei Unbekannte, eine Antwort: Das System x + y + z gleich 6, 2y + 5z gleich −4 und eine dritte Gleichung ergibt 5, 3 und −2. Die Cramersche Regel zeigt jede Determinante, hier −21. Kostenlos in Ihrem Browser.
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Dieser Löser für 3×3-Gleichungssysteme löst ein lineares System mit drei Unbekannten nach der Cramerschen Regel und liefert das eindeutige Tripel x, y und z, wenn die Koeffizientenmatrix nicht singulär ist. Sie geben eine Drei-mal-drei-Matrix A und einen Konstantenvektor b der Länge drei für A · [x, y, z]ᵀ = b an; die Engine bildet die vier Determinanten D, Dx, Dy und Dz und dividiert, wenn D ungleich null ist. Ist die Determinante null, ist das System abhängig oder widersprüchlich, sodass das Werkzeug die Eingabe ablehnt, statt eine Beschreibung mit freien Variablen zu erfinden. Der Ablauf ist rein deterministische Arithmetik: keine Netzwerkaufrufe, keine Zufallsstichproben und keine datumsabhängigen Abkürzungen.
Was ein 3×3-lineares System ist und was die Antwort enthält
Ein Drei-mal-drei-lineares System fragt nach Zahlen x, y und z, die drei simultane Gleichungen erfüllen, deren Unbekannte nur in erster Potenz vorkommen. In Matrixform ist das A v = b, wobei A die Drei-mal-drei-Koeffizientenmatrix, v die Spalte der Unbekannten und b die rechte Seite ist.
Die Cramersche Regel beantwortet den nicht-singulären Fall mit vier Determinanten: D ist det(A), Dx ersetzt die erste Spalte von A durch b, Dy ersetzt die zweite Spalte, und Dz die dritte; dann ist x gleich Dx durch D, y gleich Dy durch D und z gleich Dz durch D. Dieser Rechner liefert diese drei Lösungskomponenten, die vier Determinanten, eine unique-Markierung, das Methodenkennzeichen cramer, die eingegebenen Koeffizienten und Konstanten, die für die Rundung verwendete Genauigkeit und eine kurze Formel-Zeichenkette, damit Arbeitsblätter und Unit-Tests die Regel dokumentieren können, ohne sie neu herzuleiten.
Wie Koeffizienten und Konstanten gelesen werden und wie Determinanten endlich bleiben
Jede Zelle muss eine endliche Dezimalzahl sein; wissenschaftliche Notation ist erlaubt, aber leere Zeichenketten, Objekte und nicht-numerische Zeichen werden mit einem klaren Feldpfad abgelehnt, damit eine fehlerhafte Zelle nicht zu einer falschen Nullstelle wird. Eine optionale precision zwischen null und fünfzehn Dezimalstellen rundet die veröffentlichten x, y, z und die vier Determinanten für eine stabile Anzeige; der Standardwert ist zehn. Die Engine erzwingt eine harte Betragsobergrenze für jeden Koeffizienten und jede Konstante, damit Edge-Worker- und kostenlose Browserläufe innerhalb eines vorhersehbaren numerischen Budgets bleiben.
Die Determinantenberechnung nutzt die Standardentwicklung a11 mal den Kofaktor von a11 minus a12 mal seinem Kofaktor plus a13 mal seinem Kofaktor, angewendet viermal für D, Dx, Dy und Dz. Eine Determinante, deren Betrag höchstens eins mal zehn hoch minus zwölf ist, wird als null behandelt und abgelehnt, was sowohl exakt singuläre Matrizen als auch fast-singuläres Gleitkommarauschen abfängt, ohne eine eindeutige Lösung vorzutäuschen, die nicht existiert.
Wo die Cramersche Regel in Lernen, Code und Verifikation vorkommt
Studierende begegnen der Cramerschen Regel, wenn eine Einheit zur linearen Algebra Determinanten vor der Gauß-Elimination einführt, wenn ein Lehrbuch sie bittet, ein eindeutiges Tripel von Hand zu prüfen, oder wenn sie eine zweite Methode brauchen, um Hausaufgaben nach der Zeilenreduktion zu prüfen. Lehrkräfte können Lösungsschlüssel für moderate ganzzahlige Systeme vorab erzeugen, ohne undurchsichtigen Taschenrechner-Apps zu vertrauen, die Zwischendeterminanten verbergen oder stillschweigend von Lehrbuchbrüchen wegrunden, die sich zu kleinen Ganzzahlen kürzen.
Entwickler rufen denselben Vertrag aus Skripten auf, um deterministische Testvektoren für Grafiktransformationen, Constraint-Blöcke mit drei Unbekannten oder Lehrplattformen zu erzeugen, die D, Dx, Dy und Dz neben der Lösung zeigen müssen. Wettbewerbstraining braucht oft einen schnellen, offline verfügbaren 3×3-Löser, damit Lösungen unter Zeitdruck geprüft werden können, ohne eine vollständige Matrixbibliothek zu schreiben. Analysten und Ingenieure nutzen das eindeutige Tripel, wenn ein kleines physikalisches Modell auf drei lineare Bilanzen hinausläuft und sie einen expliziten Cramer-Pfad statt eines Blackbox-LAPACK-Aufrufs für ein so kleines System wollen.
Kombinieren Sie es mit Werkzeugen zur Schnittpunktberechnung zweier Geraden oder zahlentheoretischen Lösern, wenn Sie ein kleines Labor kostenloser, deterministischer Algebra-Helfer aufbauen, sowie mit anderen Mathe-Endpunkten, wenn Sie verwandte geschlossene Formen statt iterativer numerischer Methoden benötigen.
Anwendungsfälle
Hausaufgaben und Prüfungslösungen
Lösen Sie Lehrbuch-3×3-Systeme mit der Cramerschen Regel und prüfen Sie das eindeutige Tripel x, y, z gegen handgerechnete Determinanten.
Kleine technische Bilanzen
Lösen Sie drei lineare Unbekannte aus einer 3×3-Koeffizientenmatrix, wenn eine eindeutige Cramer-Lösung ausreicht.
Häufige Fragen
Was kostet der Löser für 3×3-Gleichungssysteme?
Auf dieser Seite ist er kostenlos im Browser.
Wie ist die Lösung definiert?
Nach der Cramerschen Regel: D = det(A), Dx/Dy/Dz ersetzen jeweils eine Spalte von A durch b, dann x = Dx/D, y = Dy/D, z = Dz/D, wenn D ≠ 0.
Was passiert, wenn die Determinante null ist?
Eine Determinante von null bedeutet, dass das System singulär ist — abhängig oder widersprüchlich —, sodass es keine eindeutige Lösung gibt.
Kann ich eine größere Matrix als 3×3 senden?
Nein. Dieses Werkzeug akzeptiert ausschließlich eine 3×3-Koeffizientenmatrix und einen Konstantenvektor der Länge 3.
Sind die Ergebnisse exakte Brüche?
Nein. Die Engine verwendet Gleitkommaarithmetik und liefert Zahlen, die auf die gewünschte Genauigkeit gerundet sind (Standard zehn Dezimalstellen).
Verwandte Tools
Für Entwickler — API-Zugang
Alles auf dieser Seite ist auch per API verfügbar. Dieser Abschnitt richtet sich an Teams, die es in ihre eigenen Systeme einbinden möchten; alle anderen nutzen einfach das Tool oben.
Endpunkt
Authentifizierung per Bearer-Token. Ein einziger POST stellt die Aufgabe in die Warteschlange; das Ergebnis erhalten Sie per Webhook oder über einen signierten Link.
Aufruf aus Ihrem Stack
curl -X POST https://api.kit.forhosting.com/algebra/system-3x3 \
-H "Authorization: Bearer $KIT_KEY" \
-H "Content-Type: application/json" \
-d '{"coefficients":[[1,1,1],[0,2,5],[2,5,-1]],"constants":[6,-4,27]}'const res = await fetch("https://api.kit.forhosting.com/algebra/system-3x3", {
method: "POST",
headers: {
"Authorization": `Bearer ${process.env.KIT_KEY}`,
"Content-Type": "application/json"
},
body: JSON.stringify({
"coefficients": [
[
1,
1,
1
],
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],
[
2,
5,
-1
]
],
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-4,
27
]
})
});
const { task_id } = await res.json();import os, requests
res = requests.post(
"https://api.kit.forhosting.com/algebra/system-3x3",
headers={"Authorization": f"Bearer {os.environ['KIT_KEY']}"},
json={
"coefficients": [
[
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1,
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6,
-4,
27
]
},
)
task_id = res.json()["task_id"]<?php
$res = file_get_contents("https://api.kit.forhosting.com/algebra/system-3x3", false, stream_context_create([
"http" => [
"method" => "POST",
"header" => "Authorization: Bearer " . getenv("KIT_KEY") . "\r\nContent-Type: application/json",
"content" => '{"coefficients":[[1,1,1],[0,2,5],[2,5,-1]],"constants":[6,-4,27]}',
],
]));
$task = json_decode($res, true);body := bytes.NewBufferString(`{"coefficients":[[1,1,1],[0,2,5],[2,5,-1]],"constants":[6,-4,27]}`)
req, _ := http.NewRequest("POST", "https://api.kit.forhosting.com/algebra/system-3x3", body)
req.Header.Set("Authorization", "Bearer "+os.Getenv("KIT_KEY"))
req.Header.Set("Content-Type", "application/json")
res, _ := http.DefaultClient.Do(req)Beispiel-Anfrage
{
"coefficients": [
[
1,
1,
1
],
[
0,
2,
5
],
[
2,
5,
-1
]
],
"constants": [
6,
-4,
27
]
}Beispiel-Antwort
{
"task_id": "tsk_a1b2c3d4e5f6a1b2c3d4e5f6",
"type": "algebra.system_3x3",
"status": "queued",
"_links": {
"result": "/tasks/tsk_…/result"
}
}Die API arbeitet asynchron: Sie erhalten sofort eine task_id. Polling ist mit 1 Anfrage pro Sekunde erlaubt.
Preis
Der Preis steht auf der Seite – keine Tokens, keine Credits. Fehlgeschlagene Aufgaben werden nicht berechnet.
Limits
max_abs_coeff | 1000000000000000 |
Fehler
| HTTP | Code | Bedeutung |
|---|---|---|
401 | unauthorized | Der API-Schlüssel fehlt oder ist ungültig – prüfen Sie den Authorization-Header (Bearer). |
402 | insufficient_balance | Ihr Guthaben reicht für diese Aufgabe nicht aus – Aufladungen verfallen nicht. |
404 | unknown_type | Unbekannter Aufgabentyp – prüfen Sie das Feld „type“ gegen den Katalog. |
429 | rate_limited | Zu viele Anfragen – warten Sie kurz; Polling ist mit 1 Anfrage pro Sekunde erlaubt. |
Technische Hinweise
Eine klassische Kontrollrechnung ist das Lehrbuchsystem mit den Zeilen [1,1,1], [0,2,5], [2,5,−1] und rechter Seite [6,−4,27], das x = 5, y = 3, z = −2 ergibt.
Was ein 3×3-lineares System ist und was die Antwort enthält
Es gibt keinen angenäherten iterativen Löser, der als exakte Wahrheit ausgegeben wird, und keinen zufälligen Startwert: Die Engine baut entweder die geschlossenen Cramer-Quotienten innerhalb des unterstützten Zahlenbereichs, oder sie lehnt die Eingabe mit invalid_input ab. Abgelehnte Fälle umfassen fehlende Koeffizienten oder Konstanten, nicht-numerische Zellen, falsche Matrixform, Beträge über der veröffentlichten Obergrenze, nicht endliche Zwischenwerte und eine Determinante von null oder numerisch null, die das System abhängig oder widersprüchlich macht.
Wie Koeffizienten und Konstanten gelesen werden und wie Determinanten endlich bleiben
Die bevorzugten Felder sind coefficients für die Drei-mal-drei-Matrix A und constants für den Vektor b der Länge drei, aber auch die Aliase a, matrix und A für die Matrix sowie b, rhs und right_hand_side für den Vektor werden akzeptiert, damit Tabellenkalkulationen, Query-Strings und typisierte Formulare denselben Vertrag wiederverwenden können. Kombinieren Sie den kostenlosen Browserlauf dieser Seite mit der kostenpflichtigen API, wenn Sie das identische Cramer-Ergebnis innerhalb einer automatisierten Pipeline benötigen, ohne vier Determinanten selbst neu zu implementieren.
Wo die Cramersche Regel in Lernen, Code und Verifikation vorkommt
Auf dieser Seite läuft die Berechnung vollständig in Ihrem Browser; über die API kostet jede erfolgreiche Lösung $0.002 aus Ihrem im Voraus bezahlten KIT-Guthaben, fehlgeschlagene Validierung wird nicht berechnet, und nach der Antwort wird nichts gespeichert. Diese Aufteilung — freie interaktive Erkundung und eine kostenpflichtige, identische API — entspricht dem Rest des KIT-Tier-A-Katalogs und erlaubt es Ihnen, von einer Unterrichtsdemo zu einer automatisierten Pipeline zu wechseln, ohne das mathematische Ergebnis zu verändern.
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