Solucionador de sistemas de ecuaciones 3×3
Tres ecuaciones, tres incógnitas, una respuesta: el sistema x + y + z igual a 6, 2y + 5z igual a −4 y una tercera ecuación da 5, 3 y −2. La regla de Cramer le muestra cada determinante, aquí −21. Gratis en su navegador.
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Esta calculadora de sistemas de ecuaciones 3×3 resuelve un sistema lineal con tres incógnitas mediante la regla de Cramer y devuelve la terna única x, y, z cuando la matriz de coeficientes no es singular. Usted proporciona una matriz A de tres por tres y un vector de constantes b de longitud tres para A · [x, y, z]ᵀ = b; el motor construye los cuatro determinantes D, Dx, Dy y Dz, y divide cuando D es distinto de cero. Cuando el determinante es cero, el sistema es dependiente o incompatible, de modo que la herramienta rechaza la entrada en lugar de inventar una descripción con variables libres. El proceso es aritmética puramente determinista: sin llamadas de red, sin muestreo y sin atajos que dependan de la fecha.
Cómo se leen los coeficientes y las constantes y cómo los determinantes se mantienen finitos
Cada celda debe ser un número decimal finito; se admite notación científica, pero las cadenas vacías, los objetos y los tokens no numéricos se rechazan con una ruta de campo clara, para que una celda incorrecta no se convierta en una raíz equivocada. La precisión opcional, entre cero y quince decimales, redondea los valores publicados de x, y, z y los cuatro determinantes para una presentación estable; el valor por defecto es diez.
El cálculo del determinante usa la expansión estándar a11 por el cofactor de a11, menos a12 por su cofactor, más a13 por su cofactor, aplicada cuatro veces para D, Dx, Dy y Dz. Un determinante cuyo valor absoluto sea como máximo uno por diez elevado a menos doce se trata como cero y se rechaza, lo que detecta tanto matrices exactamente singulares como ruido de punto flotante casi singular, sin afirmar una solución única que no existe.
Dónde encaja la regla de Cramer en el estudio, el código y la verificación
Los estudiantes se encuentran con la regla de Cramer cuando una unidad de álgebra lineal introduce los determinantes antes que la eliminación gaussiana, cuando un libro de texto les pide verificar a mano una terna única, o cuando necesitan un segundo método para comprobar una tarea después de la reducción por filas.
Los profesores pueden generar de antemano claves de respuesta para sistemas enteros modestos sin confiar en aplicaciones de calculadora opacas que ocultan los determinantes intermedios o redondean en silencio alejándose de las fracciones de libro de texto que se simplifican a enteros pequeños. Los desarrolladores llaman al mismo contrato desde scripts para sembrar vectores de prueba deterministas para transformaciones gráficas, bloques de restricciones con tres incógnitas, o plataformas didácticas que deben mostrar D, Dx, Dy y Dz junto con la solución.
La práctica de competencias suele necesitar un solucionador 3×3 rápido y sin conexión, para que las soluciones puedan comprobarse sin escribir una biblioteca completa de matrices bajo presión de tiempo. Analistas e ingenieros usan la terna única cuando un modelo físico pequeño se reduce a tres balances lineales y prefieren un camino explícito de Cramer en lugar de una llamada opaca a LAPACK para un sistema tan pequeño.
Qué puede hacer con ella
Tareas y claves de respuesta de exámenes
Resuelva sistemas 3×3 de libro de texto con la regla de Cramer y compruebe la terna única x, y, z contra determinantes calculados a mano.
Pequeños balances de ingeniería
Resuelva tres incógnitas lineales a partir de una matriz de coeficientes 3×3 cuando basta con una solución única de Cramer.
Preguntas frecuentes
¿Cuánto cuesta el solucionador de sistemas de ecuaciones 3×3?
Es gratis en su navegador en esta página.
¿Cómo se define la solución?
Mediante la regla de Cramer: D = det(A), Dx/Dy/Dz sustituyen cada columna de A por b, y luego x = Dx/D, y = Dy/D, z = Dz/D cuando D ≠ 0.
¿Qué ocurre si el determinante es cero?
Un determinante cero significa que el sistema es singular —dependiente o incompatible—, de modo que no existe una solución única.
¿Puedo enviar una matriz mayor que 3×3?
No. Esta herramienta acepta exactamente una matriz de coeficientes 3×3 y un vector de constantes de longitud 3.
¿Son los resultados fracciones exactas?
No. El motor usa aritmética en punto flotante y devuelve números redondeados a la precisión solicitada (por defecto, diez decimales).
Herramientas relacionadas
Para desarrolladores — acceso por API
Todo lo de esta página está disponible por programación. Esta sección es para equipos que quieren integrarlo en sus sistemas; el resto puede usar la herramienta de arriba sin más.
Endpoint de API
¿Prefiere automatizarlo? Un POST autenticado crea la tarea; el resultado llega por webhook o enlace firmado. La misma capacidad también se ejecuta aquí en la web, por email y desde Telegram — y pronto también desde nuestra app.
Llámela desde su stack
curl -X POST https://api.kit.forhosting.com/algebra/system-3x3 \
-H "Authorization: Bearer $KIT_KEY" \
-H "Content-Type: application/json" \
-d '{"coefficients":[[1,1,1],[0,2,5],[2,5,-1]],"constants":[6,-4,27]}'const res = await fetch("https://api.kit.forhosting.com/algebra/system-3x3", {
method: "POST",
headers: {
"Authorization": `Bearer ${process.env.KIT_KEY}`,
"Content-Type": "application/json"
},
body: JSON.stringify({
"coefficients": [
[
1,
1,
1
],
[
0,
2,
5
],
[
2,
5,
-1
]
],
"constants": [
6,
-4,
27
]
})
});
const { task_id } = await res.json();import os, requests
res = requests.post(
"https://api.kit.forhosting.com/algebra/system-3x3",
headers={"Authorization": f"Bearer {os.environ['KIT_KEY']}"},
json={
"coefficients": [
[
1,
1,
1
],
[
0,
2,
5
],
[
2,
5,
-1
]
],
"constants": [
6,
-4,
27
]
},
)
task_id = res.json()["task_id"]<?php
$res = file_get_contents("https://api.kit.forhosting.com/algebra/system-3x3", false, stream_context_create([
"http" => [
"method" => "POST",
"header" => "Authorization: Bearer " . getenv("KIT_KEY") . "\r\nContent-Type: application/json",
"content" => '{"coefficients":[[1,1,1],[0,2,5],[2,5,-1]],"constants":[6,-4,27]}',
],
]));
$task = json_decode($res, true);body := bytes.NewBufferString(`{"coefficients":[[1,1,1],[0,2,5],[2,5,-1]],"constants":[6,-4,27]}`)
req, _ := http.NewRequest("POST", "https://api.kit.forhosting.com/algebra/system-3x3", body)
req.Header.Set("Authorization", "Bearer "+os.Getenv("KIT_KEY"))
req.Header.Set("Content-Type", "application/json")
res, _ := http.DefaultClient.Do(req)Ejemplo de solicitud
{
"coefficients": [
[
1,
1,
1
],
[
0,
2,
5
],
[
2,
5,
-1
]
],
"constants": [
6,
-4,
27
]
}Ejemplo de respuesta
{
"task_id": "tsk_a1b2c3d4e5f6a1b2c3d4e5f6",
"type": "algebra.system_3x3",
"status": "queued",
"_links": {
"result": "/tasks/tsk_…/result"
}
}La API es asíncrona: la llamada devuelve un task_id al instante y el resultado llega por webhook. El polling está limitado a 1 req/s por tarea.
Precio
Precio publicado — sin tokens ni créditos inventados. Una tarea fallida no se cobra.
Límites
max_abs_coeff | 1000000000000000 |
Errores
| HTTP | Código | Significado |
|---|---|---|
401 | unauthorized | API key ausente o inválida. |
402 | insufficient_balance | El saldo no cubre el precio de la tarea. |
404 | unknown_type | El tipo de tarea no existe. |
429 | rate_limited | Demasiadas peticiones. Use el webhook en vez de sondear. |
Notas técnicas
Las comprobaciones clásicas incluyen el sistema de libro de texto con filas [1,1,1], [0,2,5], [2,5,−1] y lado derecho [6,−4,27], que da x = 5, y = 3, z = −2.
Qué es un sistema lineal 3×3 y qué contiene la respuesta
Un sistema lineal de tres por tres busca los números x, y, z que satisfacen tres ecuaciones simultáneas cuyas incógnitas aparecen solo a la primera potencia. En forma matricial eso es A v = b, donde A es la matriz de coeficientes de tres por tres, v es la columna de incógnitas, y b es el lado derecho. La regla de Cramer resuelve el caso no singular con cuatro determinantes: D es det(A), Dx sustituye la primera columna de A por b, Dy sustituye la segunda columna, y Dz sustituye la tercera; luego x es igual a Dx sobre D, y es igual a Dy sobre D, y z es igual a Dz sobre D. No hay ningún solucionador iterativo aproximado presentado como verdad exacta ni ninguna estimación inicial aleatoria: el motor construye los cocientes de Cramer en forma cerrada dentro del rango numérico admitido, o bien rechaza la entrada con invalid_input. Los casos rechazados incluyen coeficientes o constantes ausentes, celdas no numéricas, forma de matriz incorrecta, magnitudes que superan el techo publicado, resultados intermedios no finitos, y un determinante cero o numéricamente cero que hace que el sistema sea dependiente o incompatible.
Cómo se leen los coeficientes y las constantes y cómo los determinantes se mantienen finitos
Los campos preferidos son coefficients para la matriz A de tres por tres y constants para el vector b de longitud tres, pero se aceptan los alias a, matrix y A para la matriz, y b, rhs y right_hand_side para el vector, de modo que hojas de cálculo, cadenas de consulta y formularios tipados puedan reutilizar el mismo contrato. El motor impone un techo estricto de magnitud en cada coeficiente y constante, para que las ejecuciones en el Worker de borde y en el navegador gratuito se mantengan dentro de un presupuesto numérico previsible. Combine la ejecución gratuita en el navegador de esta página con la API de pago cuando necesite el mismo resultado de Cramer dentro de una canalización automatizada, sin tener que reimplementar usted mismo los cuatro determinantes.
Dónde encaja la regla de Cramer en el estudio, el código y la verificación
En esta página el trabajo se ejecuta enteramente en su navegador; a través de la API, cada resolución exitosa cuesta $0.002, la validación fallida no se cobra, y no se almacena nada después de devolver la respuesta. Esa división —exploración interactiva gratuita y una API idéntica de pago— coincide con el resto del catálogo de nivel A del KIT y le permite pasar de una demostración de aula a una canalización automatizada sin cambiar el resultado matemático. Combínela con solucionadores de intersección de dos rectas o de teoría de números cuando esté construyendo un pequeño laboratorio de ayudantes de álgebra deterministas y gratuitos, y con otros endpoints matemáticos cuando necesite formas cerradas relacionadas en lugar de métodos numéricos iterativos.
Casos de integración
Fixtures deterministas para integración continua
Genere campos reproducibles de x, y, z y de los determinantes para pruebas unitarias, sin mantener a mano las cuatro expansiones de determinante.