ForHosting KIT · الرياضيات

حلّال نظام معادلات 3×3

ثلاث معادلات وثلاثة مجاهيل وجواب واحد: النظام x + y + z يساوي 6 و2y + 5z يساوي −4 ومعادلة ثالثة يعطي 5 و3 و−2. وتعرض قاعدة كرامر كل محدد، وهو هنا −21. مجانا في متصفحكم.

مجاني
يعمل في متصفحك
دون تسجيل
بياناتك لا تغادر جهازك

شغّل الأداة مجانًا اطّلع على الـAPI

استخدمها من الويبAPIالبريدTelegramالتطبيق قريبًا

تحل هذه الحاسبة نظامًا خطيًا بثلاثة مجاهيل بقاعدة كرامر، وتُرجع الثلاثية الفريدة x وy وz حين تكون مصفوفة المعاملات غير منفردة. تُدخِل مصفوفة A مقاسها 3×3 ومتجه ثوابت b طوله ثلاثة لنظام A · [x, y, z]ᵀ = b؛ يبني المحرك المحدِّدات الأربعة D وDx وDy وDz، ويقسم حين يكون D غير صفري. حين يكون المحدِّد صفرًا، يكون النظام تابعًا أو غير متسق، فترفض الأداة المُدخَل بدلًا من اختلاق وصف بمتغيرات حرة. المسار حسابٌ حتمي خالص: بلا اتصال بالشبكة ولا عيّنات عشوائية ولا اختصارات مرتبطة بالتاريخ.

ما نظام 3×3 الخطي وما الذي يحتويه الرد

نظام خطي مقاسه 3×3 يطلب أعدادًا x وy وz تحقق ثلاث معادلات متزامنة تظهر مجاهيلها فقط بالقوة الأولى. بالصيغة المصفوفية يُكتَب A v = b، حيث A مصفوفة المعاملات 3×3، وv عمود المجاهيل، وb الطرف الأيمن. تجيب قاعدة كرامر عن الحالة غير المنفردة بأربعة محدِّدات: D هو det(A)، وDx يستبدل العمود الأول من A بالمتجه b، وDy يستبدل العمود الثاني، وDz يستبدل الثالث؛ ثم x = Dx/D وy = Dy/D وz = Dz/D.

تُرجع هذه الحاسبة تلك المركّبات الحلّية الثلاث، والمحدِّدات الأربعة، وعلمًا unique، وتسمية الطريقة cramer، والمعاملات والثوابت بعد الصدى، والدقة المستخدمة للتقريب، ونص صيغة موجز حتى توثِّق أوراق العمل واختبارات الوحدات القاعدة دون إعادة اشتقاقها. من حالات الرفض غياب المعاملات أو الثوابت، أو خانات غير رقمية، أو شكل مصفوفة خاطئ، أو مقادير تتجاوز السقف المنشور، أو نتائج وسيطة غير منتهية، ومحدِّد صفري أو صفري عدديًا يجعل النظام تابعًا أو غير متسق.

كيف تُقرأ المعاملات والثوابت وكيف تبقى المحدِّدات منتهية

يجب أن تكون كل خانة عددًا عشريًا منتهيًا؛ يُسمَح بالترميز العلمي، لكن تُرفَض السلاسل الفارغة والكائنات والرموز غير الرقمية برسالة تحدِّد مسار الحقل بوضوح حتى لا تتحول خانة خاطئة إلى جذر خاطئ. تُقرِّب الدقة الاختيارية بين صفر وخمس عشرة خانة عشرية قيم x وy وz المُصدَرة والمحدِّدات الأربعة لعرض ثابت؛ والقيمة الافتراضية عشرة. يعتمد حساب المحدِّد على التوسيع القياسي a11 مضروبًا في قاصر a11 ناقص a12 مضروبًا في قاصره زائد a13 مضروبًا في قاصره، مطبَّقًا أربع مرات لحساب D وDx وDy وDz.

يُعامَل أي محدِّد قيمته المطلقة عند 10⁻¹² أو أقل كصفر ويُرفَض، وهو ما يلتقط كلًّا من المصفوفات المنفردة تمامًا والضجيج العشري شبه المنفرد دون ادعاء حل فريد لا وجود له.

أين تُستخدم قاعدة كرامر في الدراسة والبرمجة والتحقق

يلتقي الطلاب بقاعدة كرامر حين تُقدِّم وحدة جبر خطي المحدِّدات قبل الحذف الگاوسي، أو حين يطلب كتاب مدرسي التحقق من ثلاثية فريدة يدويًا، أو حين يحتاجون طريقة ثانية لمراجعة الواجب بعد اختزال الصفوف. يستطيع المعلمون توليد مفاتيح إجابات مسبقًا لأنظمة صحيحة معتدلة دون الاعتماد على تطبيقات حاسبة مبهمة تُخفي المحدِّدات الوسيطة أو تُقرِّب بصمت بعيدًا عن كسور الكتاب المدرسي التي تبسَّط إلى أعداد صحيحة صغيرة.

يستدعي المطورون العقد نفسه من نصوصهم البرمجية لتوليد متجهات اختبار حتمية لتحويلات الرسوميات، أو كتل قيود بثلاثة مجاهيل، أو منصات تدريس يجب أن تُظهر D وDx وDy وDz بجانب الحل. غالبًا ما يحتاج التدريب على المسابقات حلّال 3×3 سريعًا وغير متصل حتى يمكن التحقق من الحلول دون كتابة مكتبة مصفوفات كاملة تحت ضغط الوقت. يستخدم المحلِّلون والمهندسون الثلاثية الفريدة حين ينهار نموذج فيزيائي صغير إلى ثلاثة توازنات خطية ويريدون مسار كرامر الصريح بدلًا من استدعاء LAPACK مغلق لنظام بهذا الصغر.

اجمع بينها وبين حلّالات تقاطع خطوط أو نظرية الأعداد حين تبني مختبرًا صغيرًا من أدوات جبرية مجانية وحتمية، ومع نقاط نهاية رياضية أخرى حين تحتاج صيغًا مغلقة ذات صلة بدلًا من طرق عددية تكرارية.

حالات الاستخدام

مفاتيح إجابات الواجب المدرسي والامتحانات

حل أنظمة 3×3 مدرسية بقاعدة كرامر، وتحقق من الثلاثية الفريدة x وy وz مقابل محدِّدات محسوبة يدويًا.

بيانات CI حتمية

ولّد حقول x وy وz والمحدِّدات قابلة لإعادة الإنتاج لاختبارات الوحدات دون صيانة توسيعات أربعة محدِّدات يدويًا.

توازنات هندسية صغيرة

حلّ ثلاثة مجاهيل خطية من مصفوفة معاملات 3×3 حين يكفي حل كرامر فريد.

الأسئلة الشائعة

كيف يُعرَّف الحل؟

بقاعدة كرامر: D = det(A)، وDx وDy وDz تستبدل كل عمود من A بالمتجه b، ثم x = Dx/D وy = Dy/D وz = Dz/D حين D ≠ 0.

ماذا يحدث إن كان المحدِّد صفرًا؟

محدِّد صفري يعني أن النظام منفرد — تابع أو غير متسق — فلا يوجد حل فريد.

هل يمكنني إرسال مصفوفة أكبر من 3×3؟

لا. تقبل هذه الأداة بالضبط مصفوفة معاملات 3×3 ومتجه ثوابت طوله 3.

هل النتائج كسور دقيقة؟

لا. يعتمد المحرك على حساب عشري ويُرجع أعدادًا مُقرَّبة إلى الدقة المطلوبة (الافتراضي عشر خانات عشرية).

هل يمكن اختيار عدد المنازل العشرية؟

نعم، يمكنكم تحديد من 0 إلى 15 منزلة عشرية لقيم x وy وz والمحددات الأربعة، وإذا لم تختاروا شيئا تُقرَّب النتائج إلى 10 منازل عشرية.

أدوات ذات صلة

للمطوّرين — الوصول عبر API

كل ما في هذه الصفحة متاح برمجيًا. هذا القسم موجّه للفرق التقنية التي تريد ربط الأداة بأنظمتها الخاصة؛ بقية المستخدمين يمكنهم استخدام الأداة أعلاه مباشرة دون الحاجة لقراءة ما يلي.

الـEndpoint

POSThttps://api.kit.forhosting.com/algebra/system-3x3

صادِق على طلبك بترويسة Bearer، وأرسل طلب POST واحدًا لتدخل مهمتك قائمة التنفيذ فورًا؛ ثم تستلم النتيجة عبر webhook أو رابط موقّع.

استدعِ الخدمة من بيئتك

curl -X POST https://api.kit.forhosting.com/algebra/system-3x3 \
  -H "Authorization: Bearer $KIT_KEY" \
  -H "Content-Type: application/json" \
  -d '{"coefficients":[[1,1,1],[0,2,5],[2,5,-1]],"constants":[6,-4,27]}'

const res = await fetch("https://api.kit.forhosting.com/algebra/system-3x3", {
  method: "POST",
  headers: {
    "Authorization": `Bearer ${process.env.KIT_KEY}`,
    "Content-Type": "application/json"
  },
  body: JSON.stringify({
    "coefficients": [
      [
        1,
        1,
        1
      ],
      [
        0,
        2,
        5
      ],
      [
        2,
        5,
        -1
      ]
    ],
    "constants": [
      6,
      -4,
      27
    ]
  })
});
const { task_id } = await res.json();

import os, requests

res = requests.post(
    "https://api.kit.forhosting.com/algebra/system-3x3",
    headers={"Authorization": f"Bearer {os.environ['KIT_KEY']}"},
    json={
    "coefficients": [
        [
            1,
            1,
            1
        ],
        [
            0,
            2,
            5
        ],
        [
            2,
            5,
            -1
        ]
    ],
    "constants": [
        6,
        -4,
        27
    ]
},
)
task_id = res.json()["task_id"]

<?php
$res = file_get_contents("https://api.kit.forhosting.com/algebra/system-3x3", false, stream_context_create([
  "http" => [
    "method"  => "POST",
    "header"  => "Authorization: Bearer " . getenv("KIT_KEY") . "\r\nContent-Type: application/json",
    "content" => '{"coefficients":[[1,1,1],[0,2,5],[2,5,-1]],"constants":[6,-4,27]}',
  ],
]));
$task = json_decode($res, true);

body := bytes.NewBufferString(`{"coefficients":[[1,1,1],[0,2,5],[2,5,-1]],"constants":[6,-4,27]}`)
req, _ := http.NewRequest("POST", "https://api.kit.forhosting.com/algebra/system-3x3", body)
req.Header.Set("Authorization", "Bearer "+os.Getenv("KIT_KEY"))
req.Header.Set("Content-Type", "application/json")
res, _ := http.DefaultClient.Do(req)

مثال على الطلب

{
  "coefficients": [
    [
      1,
      1,
      1
    ],
    [
      0,
      2,
      5
    ],
    [
      2,
      5,
      -1
    ]
  ],
  "constants": [
    6,
    -4,
    27
  ]
}

مثال على الاستجابة

{
  "task_id": "tsk_a1b2c3d4e5f6a1b2c3d4e5f6",
  "type": "algebra.system_3x3",
  "status": "queued",
  "_links": {
    "result": "/tasks/tsk_…/result"
  }
}

الواجهة غير متزامنة: تستلم task_id فور الإرسال، ويمكنك الاستعلام عن الحالة بمعدل طلب واحد في الثانية.

الأسعار

لكل طلب$0.002

السعر معلن كما تراه: لا tokens ولا نظام نقاط؛ وإن فشلت المهمة فلن تُحاسَب عليها.

الحدود

max_abs_coeff 1000000000000000

الأخطاء

HTTP	الرمز	المعنى
`401`	`unauthorized`	مفتاح الوصول مفقود أو غير صالح؛ تحقق من ترويسة Bearer في طلبك.
`402`	`insufficient_balance`	رصيدك لا يكفي لتنفيذ هذه المهمة؛ أعد شحن الرصيد ثم أعد المحاولة.
`404`	`unknown_type`	نوع المهمة المطلوب غير موجود في الكتالوج — راجع الاسم المرسل في الطلب.
`429`	`rate_limited`	تجاوزت الحد المسموح من الطلبات؛ انتظر قليلًا ثم أعد المحاولة.

ملاحظات تقنية

من الفحوص الكلاسيكية النظام المدرسي بصفوف [1,1,1] و[0,2,5] و[2,5,−1] وطرف أيمن [6,−4,27]، الذي يعطي x = 5 وy = 3 وz = −2. استخدمها مجانًا في المتصفح للواجب المدرسي والتحضير للامتحانات وتمارين البرمجة، أو استدعِ واجهة API بسعر $0.002 لكل طلب ناجح حين تحتاج بيانات كرامر ثابتة وقابلة لإعادة الإنتاج في اختبارات CI أو عروض تعليمية.

ما نظام 3×3 الخطي وما الذي يحتويه الرد

لا يوجد حلّال تكراري تقريبي يُعرَض كحقيقة دقيقة ولا تخمين ابتدائي عشوائي: فإما يبني المحرك حواصل قسمة كرامر المغلقة ضمن النطاق العددي المدعوم، أو يرفض الطلب برسالة invalid_input. إن احتجت إلى حذف گاوسي بمتغيرات حرة، أو ملاءمة مربعات صغرى لبيانات زائدة التحديد، أو حلّال غير خطي، استخدم الأدوات المخصصة لذلك؛ هذه الصفحة تجيب فقط عن حل كرامر الفريد لنظام 3×3 بمخرجات عشرية مُقرَّبة تناسب مفاتيح إجابات الواجب واختبارات مرجعية ومستهلكي API الذين يحتاجون ثلاثية ثابتة.

كيف تُقرأ المعاملات والثوابت وكيف تبقى المحدِّدات منتهية

الحقلان المفضَّلان هما coefficients لمصفوفة A مقاسها 3×3، وconstants لمتجه b طوله ثلاثة، لكن يُقبَل أيضًا a وmatrix وA بديلًا عن المصفوفة، وb وrhs وright_hand_side بديلًا عن المتجه، حتى تُعيد جداول البيانات وسلاسل الاستعلام والنماذج المكتوبة استخدام العقد نفسه. يفرض المحرك سقف مقدار صارمًا على كل معامل وثابت حتى تبقى تشغيلات Worker والمتصفح المجاني ضمن ميزانية عددية يمكن التنبؤ بها. اجمع بين التشغيل المجاني في المتصفح على هذه الصفحة وواجهة API المدفوعة حين تحتاج نتيجة كرامر ذاتها داخل خط أنابيب آلي دون إعادة تنفيذ المحدِّدات الأربعة بنفسك.

أين تُستخدم قاعدة كرامر في الدراسة والبرمجة والتحقق

يعمل هذا كله داخل متصفحك مجانًا على هذه الصفحة؛ ومن خلال API يكلف كل حل ناجح $0.002، ولا يُحتسَب التحقق الفاشل، ولا يُحفَظ شيء بعد إرجاع الرد. هذا الفصل بين الاستكشاف التفاعلي المجاني وواجهة API المدفوعة المطابقة له يوافق بقية كتالوج KIT من الفئة A، ويتيح لك الانتقال من عرض توضيحي في الصف إلى خط أنابيب آلي دون تغيير النتيجة الرياضية.

أسئلة تقنية

كم تكلفة حلّال نظام معادلات 3×3؟

هو مجاني في متصفحك على هذه الصفحة. أما عبر API فيكلف كل طلب ناجح $0.002؛ ولا تُحتسَب المدخلات غير الصالحة.

اطّلع على توثيق KIT الكامل ←

شغّل الأداة مجانًا

ما نظام 3×3 الخطي وما الذي يحتويه الرد

كيف تُقرأ المعاملات والثوابت وكيف تبقى المحدِّدات منتهية

أين تُستخدم قاعدة كرامر في الدراسة والبرمجة والتحقق

حالات الاستخدام

مفاتيح إجابات الواجب المدرسي والامتحانات

بيانات CI حتمية

توازنات هندسية صغيرة

الأسئلة الشائعة

أدوات ذات صلة

للمطوّرين — الوصول عبر API

الـEndpoint

استدعِ الخدمة من بيئتك

مثال على الطلب

مثال على الاستجابة

الأسعار

الحدود

الأخطاء

ملاحظات تقنية

ما نظام 3×3 الخطي وما الذي يحتويه الرد

كيف تُقرأ المعاملات والثوابت وكيف تبقى المحدِّدات منتهية

أين تُستخدم قاعدة كرامر في الدراسة والبرمجة والتحقق

أسئلة تقنية

شكرًا