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3×3連立方程式ソルバー

Q: 3×3より大きい行列を送信できますか?

いいえ。 このツールが受け付けるのはちょうど3×3の係数行列と長さ3の定数ベクトルのみです。

Q: 結果は厳密な分数ですか?

いいえ。 このエンジンは浮動小数点演算を使用し、指定した精度(既定は小数点以下10桁)に丸めた数値を返します。

3つの式、3つの未知数、答えは1つです。x + y + zが6、2y + 5zが−4ともう1つの式からなる連立方程式の解は5、3、−2です。クラメルの公式で使う行列式（ここでは−21）もすべて示します。ブラウザで無料で使えます。

無料
ブラウザで動作
登録不要
データは端末の外に出ません

無料で実行 API仕様を見る

ご利用方法ウェブAPIメールTelegramアプリ近日

この3×3連立方程式計算機は、クラメルの公式によって3つの未知数を持つ線形系を解き、係数行列が非特異であれば一意な組 x、y、z を返します。3行3列の行列 A と長さ3の定数ベクトル b を A・[x,y,z]ᵀ = b の形で入力すると、このエンジンは4つの行列式 D、Dx、Dy、Dz を作り、Dがゼロでないときに割り算します。行列式がゼロの場合、その系は従属または矛盾しているため、このツールは自由変数による記述をでっち上げるのではなく入力を拒否します。この経路は純粋な決定的算術演算であり、ネットワーク通信もサンプリングも日付に依存する近道もありません。宿題や試験対策、コーディングの練習には、ブラウザ上で無料でご利用いただけます。

3元連立方程式とは何か、結果で分かること

3行3列の線形系とは、未知数が1次でしか現れない3つの連立方程式を同時に満たす数 x、y、z を求めるものです。行列の形では A v = b となり、A は3行3列の係数行列、v は未知数の列、b は右辺です。クラメルの公式は非特異な場合に4つの行列式で答えます。

D は det(A)、Dx は A の1列目を b で置き換えたもの、Dy は2列目を置き換えたもの、Dz は3列目を置き換えたものです。そして x = Dx/D、y = Dy/D、z = Dz/D となります。

この計算機は、これら3つの解の成分、4つの行列式、unique フラグ、手法ラベル cramer、エコーされた係数と定数、丸めに使用した精度、ワークシートや単体テストがこの規則を再導出せずに文書化できる簡潔な公式の文字列を返します。近似的な反復ソルバーを厳密な真実として提示することも、ランダムな初期推測もありません。

拒否されるケースには、係数または定数が欠けている場合、数値でないセル、誤った行列の形、公開された上限を超える大きさの値、有限でない途中の値、そして系を従属または矛盾させるゼロまたは数値的にゼロの行列式が含まれます。自由変数を伴うガウス消去法、過剰決定データに対する最小二乗フィット、非線形ソルバーが必要な場合は、それぞれの専用ツールをご利用ください。

係数と定数の読み取り方と、行列式が有限であり続ける仕組み

各セルは有限の10進数でなければなりません。0から15桁の任意の precision は、公開される x、y、z と4つの行列式を安定した表示のために丸めます。既定値は10です。このエンジンは、エッジのWorkerや無料のブラウザ実行が予測可能な数値予算の範囲内に収まるように、すべての係数と定数について厳格な大きさの上限を強制します。

行列式の評価には標準的な展開を使用します。a11×(a11の余因子) − a12×(a12の余因子) + a13×(a13の余因子) を、D、Dx、Dy、Dzのそれぞれについて4回適用します。絶対値が1×10⁻¹²以下の行列式はゼロとみなされ拒否されます。

これは、厳密な特異行列とほぼ特異な浮動小数点のノイズの両方を捉え、存在しない一意な解を主張することを防ぎます。

クラメルの公式が学習・コード・検証で果たす役割

生徒がクラメルの公式に出会うのは、線形代数の単元がガウス消去法の前に行列式を導入するとき、教科書が一意な組を手作業で検証するよう求めるとき、あるいは行簡約の後に宿題を確認する第2の方法が必要なときです。

教師は、途中の行列式を隠したり、小さな整数にきれいにまとまる教科書的な分数から勝手に丸めてしまったりする不透明な電卓アプリを信用せずに、控えめな整数の系についての解答例を事前に生成できます。

開発者は同じ契約をスクリプトから呼び出し、グラフィックス変換、3つの未知数を持つ制約ブロック、解とともにD、Dx、Dy、Dzを示さなければならない教育プラットフォーム向けの決定的なテストベクターを準備します。コンテスト対策では、時間制限の中でフルの行列ライブラリを書かずに解答を検証できる、高速なオフラインの3×3ソルバーがしばしば必要になります。

アナリストやエンジニアは、小さな物理モデルが3つの線形なつり合いに帰着する場合、そのくらい小さな系に対してブラックボックスのLAPACK呼び出しではなく、明示的なクラメルの経路を求めて一意な組を使用します。

活用例

宿題と試験の解答キー

教科書の3×3連立方程式をクラメルの公式で解き、一意な組 x、y、z を手作業の行列式と照合します。

小規模な工学的なつり合い

一意なクラメルの解で十分な場合、3×3の係数行列から3つの1次未知数を求めます。

よくある質問

3×3連立方程式ソルバーの利用料金はいくらですか?

このページ上でブラウザからご利用いただく場合は無料です。無効な入力には課金されません。

解はどのように定義されますか?

クラメルの公式によります: D = det(A)、Dx/Dy/Dzは A の各列を b で置き換えたもので、D ≠ 0 のとき x = Dx/D、y = Dy/D、z = Dz/D となります。

行列式がゼロの場合はどうなりますか?

行列式がゼロであることは系が特異(従属または矛盾)であることを意味し、一意な解は存在しません。

3×3より大きい行列を送信できますか?

いいえ。このツールが受け付けるのはちょうど3×3の係数行列と長さ3の定数ベクトルのみです。

結果は厳密な分数ですか?

いいえ。このエンジンは浮動小数点演算を使用し、指定した精度(既定は小数点以下10桁)に丸めた数値を返します。

開発者向け — APIアクセス

このページの機能はすべてAPIからも利用できます。自社システムに組み込みたいチーム向けのセクションです。それ以外の方は上のツールをそのままお使いください。

エンドポイント

POSThttps://api.kit.forhosting.com/algebra/system-3x3

Bearerトークンで認証し、POST1回でタスクをキューに登録します。結果はWebhookまたは署名付きリンクで受け取れます。

お使いのスタックから呼び出す

curl -X POST https://api.kit.forhosting.com/algebra/system-3x3 \
  -H "Authorization: Bearer $KIT_KEY" \
  -H "Content-Type: application/json" \
  -d '{"coefficients":[[1,1,1],[0,2,5],[2,5,-1]],"constants":[6,-4,27]}'

const res = await fetch("https://api.kit.forhosting.com/algebra/system-3x3", {
  method: "POST",
  headers: {
    "Authorization": `Bearer ${process.env.KIT_KEY}`,
    "Content-Type": "application/json"
  },
  body: JSON.stringify({
    "coefficients": [
      [
        1,
        1,
        1
      ],
      [
        0,
        2,
        5
      ],
      [
        2,
        5,
        -1
      ]
    ],
    "constants": [
      6,
      -4,
      27
    ]
  })
});
const { task_id } = await res.json();

import os, requests

res = requests.post(
    "https://api.kit.forhosting.com/algebra/system-3x3",
    headers={"Authorization": f"Bearer {os.environ['KIT_KEY']}"},
    json={
    "coefficients": [
        [
            1,
            1,
            1
        ],
        [
            0,
            2,
            5
        ],
        [
            2,
            5,
            -1
        ]
    ],
    "constants": [
        6,
        -4,
        27
    ]
},
)
task_id = res.json()["task_id"]

<?php
$res = file_get_contents("https://api.kit.forhosting.com/algebra/system-3x3", false, stream_context_create([
  "http" => [
    "method"  => "POST",
    "header"  => "Authorization: Bearer " . getenv("KIT_KEY") . "\r\nContent-Type: application/json",
    "content" => '{"coefficients":[[1,1,1],[0,2,5],[2,5,-1]],"constants":[6,-4,27]}',
  ],
]));
$task = json_decode($res, true);

body := bytes.NewBufferString(`{"coefficients":[[1,1,1],[0,2,5],[2,5,-1]],"constants":[6,-4,27]}`)
req, _ := http.NewRequest("POST", "https://api.kit.forhosting.com/algebra/system-3x3", body)
req.Header.Set("Authorization", "Bearer "+os.Getenv("KIT_KEY"))
req.Header.Set("Content-Type", "application/json")
res, _ := http.DefaultClient.Do(req)

リクエスト例

{
  "coefficients": [
    [
      1,
      1,
      1
    ],
    [
      0,
      2,
      5
    ],
    [
      2,
      5,
      -1
    ]
  ],
  "constants": [
    6,
    -4,
    27
  ]
}

レスポンス例

{
  "task_id": "tsk_a1b2c3d4e5f6a1b2c3d4e5f6",
  "type": "algebra.system_3x3",
  "status": "queued",
  "_links": {
    "result": "/tasks/tsk_…/result"
  }
}

非同期APIです。task_idは即時に返ります。ポーリングは1秒あたり1リクエストまでです。

料金

1リクエストあたり$0.002

単価はすべて公開しています。トークン換算や独自クレジットはありません。失敗したタスクは課金されません。

制限

max_abs_coeff 1000000000000000

エラー

HTTP	コード	意味
`401`	`unauthorized`	APIキーが無効か、指定されていません。Authorizationヘッダーを確認してください。
`402`	`insufficient_balance`	残高が不足しています。チャージ後に再度お試しください。
`404`	`unknown_type`	指定されたタスクタイプは存在しません。タイプ名を確認してください。
`429`	`rate_limited`	リクエストが多すぎます。しばらく待ってから再度お試しください。

技術的な注記

定番の確認例としては、行が [1,1,1]、[0,2,5]、[2,5,−1]、右辺が [6,−4,27] の教科書的な連立方程式は x=5、y=3、z=−2 になります。CI環境や指導用デモで再現性のあるクラメルのフィクスチャが必要な場合は、成功したリクエスト1件につき$0.002でAPIをご利用いただけます。

3×3の線形系とは何か、レスポンスに含まれる内容

このエンジンは、サポートされている数値の範囲内で閉形式のクラメルの商を構築するか、それができない場合は invalid_input として入力を拒否します。

係数と定数の読み取り方と、行列式が有限であり続ける仕組み

優先されるフィールドは、3行3列の行列 A を表す coefficients と、長さ3のベクトル b を表す constants です。スプレッドシートやクエリ文字列、型付きフォームで同じ契約を再利用できるように、行列には a、matrix、A、ベクトルには b、rhs、right_hand_side というエイリアスも受け付けます。指数表記は許可されますが、空の文字列やオブジェクト、数値でないトークンは明確なフィールドパスとともに拒否され、不正なセルの値がそのまま誤った根になってしまうことはありません。自動化されたパイプラインの中で、4つの行列式を自分で再実装することなく同一のクラメルの結果が必要な場合は、このページの無料のブラウザ実行と、有料のAPIを組み合わせてご利用ください。

クラメルの公式が学習・コード・検証で果たす役割

このページ上での処理はすべてブラウザ内で完結しますが、APIを通じて成功した求解1件ごとに$0.002が発生し、検証に失敗した場合は課金されず、レスポンスを返した後に何も保存されません。この無料の対話的な探索と、同一結果を返す有料のAPIという分離は、KITのtier-Aカタログの他の部分と一致しており、教室でのデモから、数学的な結果を変えることなく自動化されたパイプラインへと移行することを可能にします。無料で決定的な代数ヘルパーの小さなラボを構築する場合は2直線の交点や数論のソルバーと、反復的な数値解法ではなく関連する閉形式が必要な場合は他の数学系エンドポイントと組み合わせてご利用ください。

連携の活用例

決定的なCIフィクスチャ

4つの行列式の展開を手作業で管理することなく、単体テストのために再現性のある x、y、z と行列式のフィールドを生成します。

KITの完全なドキュメントを見る →

3×3連立方程式ソルバー

無料で実行

3元連立方程式とは何か、結果で分かること

係数と定数の読み取り方と、行列式が有限であり続ける仕組み

クラメルの公式が学習・コード・検証で果たす役割

活用例

宿題と試験の解答キー

小規模な工学的なつり合い

よくある質問

関連ツール

開発者向け — APIアクセス

エンドポイント

お使いのスタックから呼び出す

リクエスト例

レスポンス例

料金

制限

エラー

技術的な注記

3×3の線形系とは何か、レスポンスに含まれる内容

係数と定数の読み取り方と、行列式が有限であり続ける仕組み

クラメルの公式が学習・コード・検証で果たす役割

連携の活用例

決定的なCIフィクスチャ

ありがとう