Gauß-Elimination
Lösen Sie n lineare Gleichungen mit n Unbekannten durch Zeilenumformung: Das Beispiel mit drei Gleichungen liefert die Unbekannten 2, 3 und −1, samt Pivots und 2 Zeilentauschen. Kostenlos in Ihrem Browser.
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Die Gauß-Elimination ist der klassische Algorithmus zur Lösung eines quadratischen linearen Systems A x gleich b: Sie bilden die erweiterte Matrix, setzen Einträge unter jedem Pivot zu null und rekonstruieren anschließend jede Unbekannte durch Rückwärtseinsetzen. Erfolgreiche Läufe liefern den Lösungsvektor x, die Ordnung n, die verwendeten Pivotwerte, wie viele Zeilen getauscht wurden, und ein unique-Flag.
So funktioniert das Gauß-Verfahren
Man schreibt das System als Koeffizientenmatrix mit der Spalte der rechten Seiten daneben. Dann erzeugt man Stufe für Stufe Nullen unterhalb der Hauptdiagonalen, indem man Vielfache einer Zeile von den darunterliegenden abzieht. In jeder Stufe wird zuerst die Zeile mit dem betragsgrößten Eintrag der aktuellen Spalte nach oben getauscht; dieser Eintrag ist das Pivot. Am Ende steht eine Dreiecksform, aus der man die Unbekannten von unten nach oben durch Rückwärtseinsetzen gewinnt.
Wann es eine Lösung gibt und typische Fehler
Eine eindeutige Lösung existiert genau dann, wenn die Koeffizientenmatrix invertierbar ist, wenn also kein Pivot null wird. Im Beispiel mit drei Gleichungen ist das erste Pivot −3, es sind 2 Zeilentausche nötig, und die Unbekannten lauten am Ende 2, 3 und −1. Häufige Fehler beim Rechnen von Hand sind Vorzeichenfehler beim Abziehen von Zeilen und das Vergessen, die rechte Seite mitzutauschen. Der Rechner eignet sich, um Hausaufgaben zu prüfen, eine Vorlesung vorzubereiten oder kleine Modelle wie Stromkreise schnell zu lösen.
Was die Gauß-Elimination leistet und wann eine eindeutige Lösung existiert
Formulieren Sie das Problem als A mal den Spaltenvektor der Unbekannten gleich dem Spaltenvektor der Konstanten. Die Koeffizientenmatrix A muss quadratisch der Ordnung n sein, sodass Sie n unabhängige lineare Gleichungen in n Unbekannten haben. Die Gauß-Elimination bildet die erweiterte Matrix mit A links und b rechts und führt systematisch Nullen unter der Hauptdiagonale ein.
In Stufe k wählt der Algorithmus den größten Absolutwert in Spalte k ab Zeile k abwärts (partielle Pivotierung), tauscht diese Zeile bei Bedarf in Position k und verwendet Zeilenvielfache, um jeden Eintrag unter dem Pivot zu löschen. Geometrie und Algebra stimmen überein: eine eindeutige Lösung existiert genau dann, wenn A invertierbar ist, was in diesem Verfahren bedeutet, dass jeder Pivot von null fernbleibt.
Praktische Nutzung, Preise, Grenzen und Bereitstellung
Nutzen Sie das Browser-Werkzeug, wenn Sie eine sofortige exakte Lösung wünschen beim Prüfen von Hausaufgaben, beim Vorbereiten einer Vorlesung zur Zeilenreduktion oder beim Debuggen einer kleinen Schaltung, einer Bilanz oder eines leichten Nebenbedingungsmodells ohne Computeralgebrasystem. Es gibt kein Sprachmodell, keinen externen Lineare-Algebra-Dienst und keine Zufälligkeit, daher ist die Fähigkeit sicher in Continuous-Integration-Prüfungen und reproduzierbaren Lehrmaterialien zu verankern. Bevorzugen Sie diesen allgemeinen n×n-Gauß-Pfad, wenn Ihr System größer als zwei Gleichungen ist; ein dedizierter 2×2-Cramer-Helfer bleibt für den Unterricht zweizeiliger Determinanten verfügbar, aber Suchende nach Gauß-Elimination erwarten den im Titel genannten Algorithmus.
Halten Sie n bescheiden und Koeffizienten in gewöhnlichen Gleitkomma-Größenordnungen, damit Auslöschung nicht dominiert; bei Unterrichtsganzen und typischen Ingenieurskalen ist der Löser innerhalb der Doppelgenauigkeit exakt. Ein- und Ausgaben folgen denselben Aufbewahrungsregeln wie andere KIT-parse-Posten, und eine fehlgeschlagene Aufgabe wird nach der Validierung nie berechnet.
Anwendungsfälle
Hausaufgaben- und Tutorenprüfung
Studierende und Bewertende bestätigen den Lösungsvektor quadratischer Systeme, einschließlich singulärer Fälle, die korrekt scheitern, ohne lokales CAS.
Kleine Technik- und Schaltungsmodelle
Skripte, die Knotenspannungen, Massenströme oder lineare Nebenbedingungen von zwei bis n Parametern ausgleichen, rufen ein deterministisches Ax=b-Orakel auf, statt einen schweren numerischen Stack mitzuliefern.
Häufige Fragen
Verwendet der Löser partielle Pivotierung?
Ja. In jeder Stufe wählt er den größten Absolutwert in der aktiven Spalte unter der Diagonale, tauscht bei Bedarf Zeilen und eliminiert dann. Das verbessert die numerische Stabilität gegenüber naiver Elimination.
Wie groß darf das System maximal sein?
n ist auf 32 begrenzt, damit die Kosten in der analytischen tier-A-Hülle bleiben. Größere dichte Systeme brauchen eine dedizierte numerische Bibliothek oder eine andere Fähigkeit.
Wann hat ein lineares Gleichungssystem genau eine Lösung?
Wenn die Koeffizientenmatrix invertierbar ist, was bei der Elimination bedeutet, dass kein Pivot null wird. Das Ergebnis sagt Ihnen, ob die gefundene Lösung eindeutig ist.
Was zeigt das Ergebnis außer der Lösung?
Die in jeder Stufe verwendeten Pivots und die Zahl der Zeilentausche. Im Beispiel mit drei Gleichungen ist das erste Pivot −3, und es sind 2 Zeilentausche nötig.
Kann ich ein System mit mehr Gleichungen als Unbekannten lösen?
Nein. Die Koeffizientenmatrix muss quadratisch sein, also genauso viele unabhängige Gleichungen wie Unbekannte enthalten. Rechteckige Systeme erfordern ein anderes Verfahren.
Verwandte Tools
Für Entwickler — API-Zugang
Alles auf dieser Seite ist auch per API verfügbar. Dieser Abschnitt richtet sich an Teams, die es in ihre eigenen Systeme einbinden möchten; alle anderen nutzen einfach das Tool oben.
Endpunkt
Authentifizierung per Bearer-Token. Ein einziger POST stellt die Aufgabe in die Warteschlange; das Ergebnis erhalten Sie per Webhook oder über einen signierten Link.
Aufruf aus Ihrem Stack
curl -X POST https://api.kit.forhosting.com/algebra/gaussian-elimination \
-H "Authorization: Bearer $KIT_KEY" \
-H "Content-Type: application/json" \
-d '{"A":[[2,1,-1],[-3,-1,2],[-2,1,2]],"b":[8,-11,-3]}'const res = await fetch("https://api.kit.forhosting.com/algebra/gaussian-elimination", {
method: "POST",
headers: {
"Authorization": `Bearer ${process.env.KIT_KEY}`,
"Content-Type": "application/json"
},
body: JSON.stringify({
"A": [
[
2,
1,
-1
],
[
-3,
-1,
2
],
[
-2,
1,
2
]
],
"b": [
8,
-11,
-3
]
})
});
const { task_id } = await res.json();import os, requests
res = requests.post(
"https://api.kit.forhosting.com/algebra/gaussian-elimination",
headers={"Authorization": f"Bearer {os.environ['KIT_KEY']}"},
json={
"A": [
[
2,
1,
-1
],
[
-3,
-1,
2
],
[
-2,
1,
2
]
],
"b": [
8,
-11,
-3
]
},
)
task_id = res.json()["task_id"]<?php
$res = file_get_contents("https://api.kit.forhosting.com/algebra/gaussian-elimination", false, stream_context_create([
"http" => [
"method" => "POST",
"header" => "Authorization: Bearer " . getenv("KIT_KEY") . "\r\nContent-Type: application/json",
"content" => '{"A":[[2,1,-1],[-3,-1,2],[-2,1,2]],"b":[8,-11,-3]}',
],
]));
$task = json_decode($res, true);body := bytes.NewBufferString(`{"A":[[2,1,-1],[-3,-1,2],[-2,1,2]],"b":[8,-11,-3]}`)
req, _ := http.NewRequest("POST", "https://api.kit.forhosting.com/algebra/gaussian-elimination", body)
req.Header.Set("Authorization", "Bearer "+os.Getenv("KIT_KEY"))
req.Header.Set("Content-Type", "application/json")
res, _ := http.DefaultClient.Do(req)Beispiel-Anfrage
{
"A": [
[
2,
1,
-1
],
[
-3,
-1,
2
],
[
-2,
1,
2
]
],
"b": [
8,
-11,
-3
]
}Beispiel-Antwort
{
"task_id": "tsk_a1b2c3d4e5f6a1b2c3d4e5f6",
"type": "algebra.gaussian_elimination",
"status": "queued",
"_links": {
"result": "/tasks/tsk_…/result"
}
}Die API arbeitet asynchron: Sie erhalten sofort eine task_id. Polling ist mit 1 Anfrage pro Sekunde erlaubt.
Preis
Der Preis steht auf der Seite – keine Tokens, keine Credits. Fehlgeschlagene Aufgaben werden nicht berechnet.
Fehler
| HTTP | Code | Bedeutung |
|---|---|---|
401 | unauthorized | Der API-Schlüssel fehlt oder ist ungültig – prüfen Sie den Authorization-Header (Bearer). |
402 | insufficient_balance | Ihr Guthaben reicht für diese Aufgabe nicht aus – Aufladungen verfallen nicht. |
404 | unknown_type | Unbekannter Aufgabentyp – prüfen Sie das Feld „type“ gegen den Katalog. |
429 | rate_limited | Zu viele Anfragen – warten Sie kurz; Polling ist mit 1 Anfrage pro Sekunde erlaubt. |
Technische Hinweise
Diese Fähigkeit führt dieses Verfahren mit partieller Pivotierung auf einer Koeffizientenmatrix aus, die Sie als JSON-Array von Zeilen und einem rechtsseitigen Vektor passender Länge übergeben. Ist ein Pivot null oder nahe null innerhalb einer engen Toleranz, wird die Koeffizientenmatrix als singulär behandelt und die Anfrage scheitert mit invalid_input, statt eine falsche eindeutige Lösung zu erfinden.
Was die Gauß-Elimination leistet und wann eine eindeutige Lösung existiert
Nach dem Vorwärtslauf ist das System obere Dreiecksform: jeder Diagonaleintrag ist ein Pivot, und die letzte Gleichung enthält nur x_n. Rückwärtseinsetzen löst dann x_n, setzt es in die vorherige Zeile für x_{n-1} ein und setzt fort bis x_1. Bietet eine Spalte keinen brauchbaren Pivot, sind die Zeilen von A linear abhängig — parallele Nebenbedingungen, ein unterbestimmtes Teilsystem oder eine inkonsistente Überbeschränkung — und diese API weigert sich, einen eindeutigen Vektor zu erfinden. Das entspricht Unterrichts- und Produktionserwartungen: Sie erhalten ein stabiles x oder einen expliziten Singularitätsfehler, niemals eine stille Kleinste-Quadrate-Schätzung.
Wie Sie den Löser aufrufen und die Antwort lesen
Während der Elimination, falls der beste absolute Pivot einer Spalte unter ein enges Epsilon nahe 1e-12 fällt, scheitert die Anfrage mit der Meldung, dass die Koeffizientenmatrix singulär ist und keine eindeutige Lösung existiert. Numerischer Staub nahe null wird bereinigt, damit goldens und lesbare Demos stabil bleiben, während gewöhnliche nichtganzzahlige Reelle volle Doppelgenauigkeit behalten. Partielle Pivotierung verbessert die numerische Zuverlässigkeit gegenüber naiver Links-nach-rechts-Elimination ohne Zeilentausch; sie ändert die mathematische Lösung nicht, wenn A gut konditioniert ist, reduziert aber katastrophale Auslöschung, wenn ein kleiner führender Eintrag sonst Pivot würde. Senden Sie einen JSON-Körper mit dem Pflichtfeld A, einem nichtleeren Array von n Zeilen je der Länge n endlicher Zahlen, und dem Pflichtfeld b, einem Array von n endlichen Zahlen. Aliase matrix, a und coeff werden für A akzeptiert; rhs, right_hand_side und constants für b. Die Ordnung n muss zwischen 1 und 32 einschließlich liegen, damit Worker-Isolates in einer konservativen analytischen Kostenhülle bleiben. Die Engine prüft rechteckige Form, übereinstimmende Längen und endliche numerische Zellen; fehlende Felder, unregelmäßige Zeilen, nichtnumerische Strings, NaN und Infinity scheitern sofort mit invalid_input und werden nicht berechnet. Bei Erfolg enthält die Antwort stets x (den Lösungsvektor der Länge n), n, method gesetzt auf gaussian_elimination, pivots (die diagonalen Pivots nach Auswahl und optionalen Zeilentauschen), row_swaps (wie oft zwei Zeilen getauscht wurden) und unique auf true. Verdrahten Sie den Endpoint in Skripte, die bereits JSON sprechen und einen stabilen Vertrag brauchen, statt die Pivotlogik in jeder Sprache neu zu implementieren.
Praktische Nutzung, Preise, Grenzen und Bereitstellung
Nutzen Sie die API, wenn eine Tutorenplattform, eine Coding-Interview-Sandbox, ein Physik-Labornotizbuch oder eine Tabellen-Pipeline stabiles JSON für viele Koeffizientensätze unter einem Vertrag braucht. Jede erfolgreiche Anfrage ist ein abrechenbarer Posten zu $0.002; fehlgeschlagene Validierung und singuläre Matrizen werden nicht berechnet. Ergebnisse sind vollständig deterministisch: dieselben A und b liefern stets dasselbe x, pivots und row_swaps in einer gegebenen Gleitkommaumgebung.
Integrationsbeispiele
Zeilenreduktion und Pivotierung lehren
Unterrichtsseiten zeigen pivots und row_swaps, damit Lernende partielle Pivotierung und Rückwärtseinsetzen mit demselben eindeutigen Lösungsvektor verbinden.
Technische Fragen
Wie löse ich Ax gleich b mit Gauß-Elimination über diese API?
Senden Sie JSON mit der quadratischen Matrix A (Array von n Zeilen der Länge n) und dem Vektor b der Länge n. Die Antwort liefert x, n, pivots, row_swaps und unique, wenn eine eindeutige Lösung existiert.
Was geschieht, wenn die Koeffizientenmatrix singulär ist?
Erscheint während der Elimination ein Null- oder Nah-Null-Pivot (innerhalb eines engen Epsilons), scheitert die Anfrage mit invalid_input und wird nicht berechnet — es gibt keine eindeutige Lösung.
Ist der Gauß-Eliminations-Löser kostenlos?
Das Browser-Werkzeug läuft kostenlos auf Ihrem Gerät. API-Aufrufe nutzen vorausbezahltes KIT-Guthaben zu $0.002 pro erfolgreichem Posten; Validierungsfehler und singuläre Systeme werden nicht berechnet.