أصغر المصفوفة
في المصفوفة ذات الصفوف 1، 2، 3 و0، 4، 5 و1، 0، 6، يؤدي حذف الصف 1 والعمود 1 إلى بقاء الصفين 4، 5 و0، 6، ومحددهما 24 هو الأصغر. ويبدأ عدّ الصفوف والأعمدة من 1. مجانًا في متصفحك.
- مجاني
- يعمل في متصفحك
- دون تسجيل
- بياناتك لا تغادر جهازك
شغّل الأداة مجانًا
تعمل هذه الأداة داخل متصفحك — مجانًا، ولا تُرسل بياناتك إلى أي خادم
أصغر المصفوفة هو العدد السلمي الذي تحصلون عليه عند شطب صف وعمود من مصفوفة مربعة وحساب محددة ما يتبقى. هذا الرقم الواحد هو لبنة التوسيع بالمرافقات، والمصفوفة المرافقة، وقاعدة كرامر، وكل صيغة كلاسيكية لعكس مصفوفة صغيرة. تقبل هذه الحاسبة مصفوفة متداخلة مربعة من أعداد حقيقية منتهية مع فهارس صف وعمود تبدأ من واحد، وتحذف ذلك الصف والعمود، وتقيّم محددة الكتلة المتبقية بنفس الصيغ المغلقة ومسار LU المستخدمين في أدوات الجبر الخطي الشقيقة، وتعيد الأصغر بعد التنظيف مع المصفوفة الجزئية والعنصر الأصلي والطريقة المستخدمة وسلسلة صيغة قصيرة. تُرفض المدخلات غير المربعة ومصفوفات واحد في واحد والفهارس خارج النطاق والشبكات الفارغة وNaN وInfinity والمصفوفات الأكبر من الحد بخطأ تحقق واضح.
ما أصغر المصفوفة وكيف يُحسب
ثبّتوا مصفوفة مربعة A من الرتبة n لا تقل عن اثنين واختاروا عددين صحيحين i وj بين واحد وn ضمناً. يُعرَّف الأصغر M_ij بأنه محددة المصفوفة (n ناقص واحد) في (n ناقص واحد) الناتجة عن حذف الصف i والعمود j من A. هذا التعريف لا يضرب بإشارة: الكمية ذات الإشارة في توسيع لابلاس هي المرافقة C_ij تساوي سالب واحد مرفوعاً إلى i زائد j مضروباً في M_ij.
تعيد هذه القدرة الأصغر بلا إشارة، وهو بالضبط ما تطلبه الكتب عندما تكتب أوجدوا M_23 أو سردوا كل أصاغر مصفوفة ثلاثة في ثلاثة. داخلياً يتحقق المحرك أولاً من أن المدخل مصفوفة مربعة حقيقية من أعداد منتهية مع n بين اثنين واثنين وثلاثين، ثم يتحقق من أن row وcol عددان صحيحان ضمن النطاق، ويبني المصفوفة الجزئية بتخطي الصف والعمود المختارين، ثم يحسب محددتها. لبقية واحد في واحد يكون الأصغر هو العنصر المتبقي ببساطة.
لبقية اثنين في اثنين تُستخدم الصيغة المغلقة ad ناقص bc. لبقية ثلاثة في ثلاثة يُطبَّق توسيع لابلاس على طول الصف الأول. لبقية أكبر يضرب تحليل LU مع محورية جزئية قطر U في إشارة التبديل.
تشمل الفحوص الكلاسيكية مصفوفة ثلاثة في ثلاثة بصفوف واحد اثنان ثلاثة، وصفر أربعة خمسة، وواحد صفر ستة، حيث الأصغر عند الصف واحد العمود واحد يساوي أربعاً وعشرين من كتلة اثنين في اثنين أربعة خمسة فوق صفر ستة.
ما ترسلونه وما تستلمونه
أرسلوا ثلاثة حقول إلزامية. يجب أن يكون لكل صف الطول نفسه، وأن يساوي ذلك الطول عدد الصفوف، وأن يكون n على الأقل اثنين لأن مصفوفة واحد في واحد لا تملك أصغراً حقيقياً بعد إزالة صفها وعمودها الوحيدين. الحقلان row وcol عددان صحيحان يبدآن من واحد يسمّيان العنصر الذي تريدون أصغره؛ وهما أيضاً الصف والعمود اللذان سيُحذفان.
اربطوا نموذج المتصفح المجاني للواجبات والفحوص السريعة، ثم استدعوا العقد نفسه من السكربتات عندما تحتاجون توليد مفاتيح إجابات أو تثبيتات انحدار بالجملة. إذا احتجتم لاحقاً المرافقة ذات الإشارة أو محددة A الكاملة أو المصفوفة المرافقة أو العكس، فاعاملوها كنوايا بحث منفصلة بدل تحميل صفحة حاسبة الأصغر هذه بما لا يناسبها.
أين تظهر أصاغر المصفوفات في العمل الحقيقي
تُسند مقررات الجبر الخطي في الثانوية والجامعة باستمرار جداول مرافقات وتوسيعاً على طول صف مختار وحساباً يدوياً لأصاغر اثنين في اثنين مقطوعة من مصفوفات ثلاثة في ثلاثة؛ وأوراكل موثوق واحد يعيد المصفوفة الجزئية والأصغر يسرّع التصحيح وإعداد العروض. غالباً ما تطلب مسائل مسابقات البرمجة وتسخين المقابلات أصغراً محدداً قبل المحددة الكاملة أو العكس، ويحتاج المهندسون M_ij رقمياً لا ضرباً خاطئاً صامتاً من حذف بفارق واحد.
تعتمد مكتبات الرسوم الحاسوبية والروبوتات التي تنفّذ العكس الكلاسيكي بالمصفوفة المرافقة لكتل صغيرة على مجموعة كاملة من الأصاغر؛ والتحقق من عنصر واحد أمام هذه الحاسبة يلتقط أخطاء فهرس الصف-العمود مبكراً. تستخدم مقررات الإحصاء والجبر الخطي العددي الأصاغر عند مناقشة الأصاغر الرئيسية ومعايير التعريف الموجب للمصفوفات المتناظرة. اقرنوها بصفحة محددة المصفوفة عندما يحتاج الطلاب det للمصفوفة الكاملة، وبصفحات الرتبة أو العكس عندما تكون الخطوة التالية قابلية العكس لا محددة واحدة بعد حذف صف.
حالات الاستخدام
جداول مرافقات للواجبات
ولّدوا M_ij والمصفوفة الجزئية بعد حذف الصف لتدريبات الكتاب 2×2 و3×3 وn×n الصغيرة حتى يشارك المعلمون والمصححات الآلية حقيقة مرجعية واحدة قبل أن يضرب الطلاب بإشارة المرافقة.
فحوص توسيع لابلاس
تحققوا من كل أصغر يظهر عند توسيع det(A) على طول صف أو عمود مختار، والتقطوا الحذف بفارق واحد قبل تجميع المحددة الكاملة.
إعداد المصفوفة المرافقة والعكس
احسبوا الأصاغر الفردية المستخدمة لبناء المصفوفة المرافقة في العكس الكلاسيكي لكتل كثيفة صغيرة في الرسوم والروبوتات والوصفات العددية.
الأسئلة الشائعة
ما الفرق بين الأصغر والمرافقة؟
الأصغر M_ij هو محددة المصفوفة بعد حذف الصف i والعمود j. المرافقة هي C_ij = (−1)^(i+j) · M_ij. تعيد هذه الأداة الأصغر فقط؛ طبّقوا الإشارة بأنفسكم إن احتجتم المرافقة.
هل row وcol يبدأان من صفر أم من واحد؟
من واحد، مطابقةً لترميز الكتب M_11 وM_23 وما شابه. لمصفوفة n×n يجب أن يكون كلا الفهرسين عددين صحيحين من 1 إلى n.
لماذا تُرفض مصفوفة 1×1؟
حذف الصف والعمود الوحيدين يترك مصفوفة 0×0 محددتها اصطلاح (غالباً 1) يربك المبتدئين. يُشترط n ≥ 2 ليكون كل أصغر محددة ذات رتبة موجبة معرّفة جيداً.
ما الطرق التي تحسب المحددة المتبقية؟
صيغ مغلقة 1×1 و2×2، وتوسيع لابلاس بالمرافقات لبقية 3×3، وLU مع محورية جزئية للكتل الأكبر. تتضمن الاستجابة حقل method يسمي المسار المستخدم.
فيمَ تُستخدم الأصغريات؟
هي حجر الأساس في نشر لابلاس والمصفوفة المرافقة وقاعدة كرامر والصيغ الكلاسيكية لمعكوس المصفوفات الصغيرة. وعندما تُضاف إليها الإشارة المناسبة تصبح عوامل مرافقة.
أدوات ذات صلة
للمطوّرين — الوصول عبر API
كل ما في هذه الصفحة متاح برمجيًا. هذا القسم موجّه للفرق التقنية التي تريد ربط الأداة بأنظمتها الخاصة؛ بقية المستخدمين يمكنهم استخدام الأداة أعلاه مباشرة دون الحاجة لقراءة ما يلي.
الـEndpoint
صادِق على طلبك بترويسة Bearer، وأرسل طلب POST واحدًا لتدخل مهمتك قائمة التنفيذ فورًا؛ ثم تستلم النتيجة عبر webhook أو رابط موقّع.
استدعِ الخدمة من بيئتك
curl -X POST https://api.kit.forhosting.com/algebra/matrix-minor \
-H "Authorization: Bearer $KIT_KEY" \
-H "Content-Type: application/json" \
-d '{"matrix":[[1,2,3],[0,4,5],[1,0,6]],"row":1,"col":1}'const res = await fetch("https://api.kit.forhosting.com/algebra/matrix-minor", {
method: "POST",
headers: {
"Authorization": `Bearer ${process.env.KIT_KEY}`,
"Content-Type": "application/json"
},
body: JSON.stringify({
"matrix": [
[
1,
2,
3
],
[
0,
4,
5
],
[
1,
0,
6
]
],
"row": 1,
"col": 1
})
});
const { task_id } = await res.json();import os, requests
res = requests.post(
"https://api.kit.forhosting.com/algebra/matrix-minor",
headers={"Authorization": f"Bearer {os.environ['KIT_KEY']}"},
json={
"matrix": [
[
1,
2,
3
],
[
0,
4,
5
],
[
1,
0,
6
]
],
"row": 1,
"col": 1
},
)
task_id = res.json()["task_id"]<?php
$res = file_get_contents("https://api.kit.forhosting.com/algebra/matrix-minor", false, stream_context_create([
"http" => [
"method" => "POST",
"header" => "Authorization: Bearer " . getenv("KIT_KEY") . "\r\nContent-Type: application/json",
"content" => '{"matrix":[[1,2,3],[0,4,5],[1,0,6]],"row":1,"col":1}',
],
]));
$task = json_decode($res, true);body := bytes.NewBufferString(`{"matrix":[[1,2,3],[0,4,5],[1,0,6]],"row":1,"col":1}`)
req, _ := http.NewRequest("POST", "https://api.kit.forhosting.com/algebra/matrix-minor", body)
req.Header.Set("Authorization", "Bearer "+os.Getenv("KIT_KEY"))
req.Header.Set("Content-Type", "application/json")
res, _ := http.DefaultClient.Do(req)مثال على الطلب
{
"matrix": [
[
1,
2,
3
],
[
0,
4,
5
],
[
1,
0,
6
]
],
"row": 1,
"col": 1
}مثال على الاستجابة
{
"task_id": "tsk_a1b2c3d4e5f6a1b2c3d4e5f6",
"type": "algebra.matrix_minor",
"status": "queued",
"_links": {
"result": "/tasks/tsk_…/result"
}
}الواجهة غير متزامنة: تستلم task_id فور الإرسال، ويمكنك الاستعلام عن الحالة بمعدل طلب واحد في الثانية.
الأسعار
السعر معلن كما تراه: لا tokens ولا نظام نقاط؛ وإن فشلت المهمة فلن تُحاسَب عليها.
الأخطاء
| HTTP | الرمز | المعنى |
|---|---|---|
401 | unauthorized | مفتاح الوصول مفقود أو غير صالح؛ تحقق من ترويسة Bearer في طلبك. |
402 | insufficient_balance | رصيدك لا يكفي لتنفيذ هذه المهمة؛ أعد شحن الرصيد ثم أعد المحاولة. |
404 | unknown_type | نوع المهمة المطلوب غير موجود في الكتالوج — راجع الاسم المرسل في الطلب. |
429 | rate_limited | تجاوزت الحد المسموح من الطلبات؛ انتظر قليلًا ثم أعد المحاولة. |
ملاحظات تقنية
ما أصغر المصفوفة وكيف يُحسب
الحساب كله كود نقطة عائمة حتمي مع تنظيف مستقر لاثنتي عشرة خانة معنوية، بلا بذور عشوائية ولا طوابع ساعة حائط ولا استدعاءات شبكة، فنفس المدخلات تنتج دائماً JSON متطابقاً.
ما ترسلونه وما تستلمونه
الحقل matrix إما مصفوفة JSON متداخلة من صفوف أعداد منتهية، مثل واحد فاصلة اثنان فاصلة ثلاثة ثم صفر فاصلة أربعة فاصلة خمسة ثم واحد فاصلة صفر فاصلة ستة، أو سلسلة JSON ترمّز نفس المصفوفة المتداخلة. غياب matrix، والأشكال غير المصفوفية، والصفوف غير المنتظمة، والخلايا غير العددية، وNaN، وInfinity، والشبكات الفارغة، والأبعاد أكبر من اثنين وثلاثين، والفهارس خارج واحد إلى n تفشل بـ invalid_input ولا تُحاسب. عند النجاح تُبلّغ الاستجابة البعد n وrow وcol المعادين والعنصر الأصلي a_ij في ذلك الموضع والمصفوفة الجزئية المنظّفة والأصغر السلمي وطريقة المحددة المستخدمة على المصفوفة الجزئية وسلسلة صيغة قصيرة من الشكل M_ij يساوي det لـ A دون ذلك الصف والعمود. تسعير استدعاءات API الناجحة هو الأساس المنشور $0.002 لكل عنصر؛ إخفاقات التحقق لا تستهلك الرصيد المدفوع مسبقاً.
أين تظهر أصاغر المصفوفات في العمل الحقيقي
يريد مؤلفو المناهج الذين يبنون دروساً تفاعلية نفس شكل JSON في ودجة المتصفح وفي API حتى تبقى أوراق العمل دون اتصال والمصححات الآلية متصلة متوافقة. ولأن هذه القدرة محرك parse خالص، فإن تسعير API هو الأساس المنشور $0.002 لكل عنصر ناجح ولا يستهلك إخفاق التحقق الرصيد.
أسئلة تقنية
كم التكلفة؟
أداة المتصفح مجانية وتعمل محلياً. طلبات API تستخدم رصيد KIT المدفوع مسبقاً بسعر $0.002 لكل عنصر ناجح؛ المدخل غير الصالح لا يُحاسب.