المفكوك بالمرافقات
انشر المحدد على الصف أو العمود الذي تختاره وشاهد كل حد: في مثال 3×3 يساهم الصف الأول بالقيم 4 و5 و−60، ومجموعها −51. قارن بين الصفوف والأعمدة لتجد أقصر طريق. مجاني في متصفحك.
- مجاني
- يعمل في متصفحك
- دون تسجيل
- بياناتك لا تغادر جهازك
شغّل الأداة مجانًا
تعمل هذه الأداة داخل متصفحك — مجانًا، ولا تُرسل بياناتك إلى أي خادم
المفكوك بالمرافقات، المعروف أيضًا بمفكوك لابلاس، هو التعريف التكراري الكلاسيكي للمحدد: اختر أي صف أو عمود، واضرب كل عنصر في مرافقه الموقّع، ثم اجمع النواتج. تتيح لك هذه الآلة اختيار الصف أو العمود الذي يُفكَّك عليه بدقة، وهو فارق تعليمي حقيقي، إذ إن خطًا مليئًا بالأصفار يجعل الحساب تافهًا بينما يجعله الخط الكثيف طويلًا. وتُرجع المحدد مع تفصيل المفكوك كاملًا: كل عنصر من عناصر الخط المختار، وإشارته المتناوبة، ومرافقه المحسوب من المصفوفة الصغرى المناظرة، ومساهمته في المجموع النهائي. تُرفض المصفوفات غير المربعة برسالة تحقق واضحة، لأن المحدد لا يُعرَّف إلا للمصفوفات المربعة.
كيف يعمل المفكوك بالمرافقات على خط مختار
والنتيجة واحدة أيًّا كان الخط المختار، وهذا بالضبط ما يُطلب من الطلاب التحقق منه في مقررات الجبر الخطي. تطبق هذه الأداة ذلك التكرار حرفيًّا: فعلى الصف أو العمود المختار تحسب كل محدد صغير بفكّه مجددًا على الصف الأول من المصفوفة الأصغر، متدرجة تكراريًّا وصولًا إلى حالة الأساس واحد في واحد حيث المحدد هو العنصر الوحيد، مع اختصار حالة اثنين في اثنين إلى الصيغة المغلقة ad ناقص bc. ويعرض الناتج كل كمية وسيطة: كل عنصر من خط المفكوك، والإشارة المتناوبة المحددة بزوجية موضعه، وقيمة المرافق، والمساهمة أي العنصر مضروبًا في المرافق.
وبجمع عمود المساهمات يدويًّا يُستعاد المحدد المُعاد، ما يجعل الأداة مفيدة لتدقيق العمل لا لمجرد فحص رقم نهائي. ولأن التكرار تكلفته عاملية، حُدَّت الأبعاد بعشرة في عشرة؛ وأحجام الفصول الدراسية والمسابقات مغطاة بالكامل.
لماذا يهمّ اختيار خط المفكوك
المحدد ثابت عبر خطوط المفكوك، لكن الجهد اليدوي لحسابه ليس كذلك. فالفك على صف أو عمود يحوي أصفارًا يُسقط حدودًا بأكملها، لأن العنصر الصفري لا يساهم بشيء مهما بلغ مرافقه؛ وتعلّم الكتب المدرسية الطلاب البحث عن أكثر الخطوط تناثرًا قبل لمس أي محدد صغير، وتُظهر هذه الآلة تلك الاستراتيجية عمليًّا بإتاحة مقارنة مفكوك على صف بمفكوك على عمود للمصفوفة نفسها. يستخدمها المعلمون لبناء حلول خطوة بخطوة: فمصفوفة terms هي بالضبط تسلسل الجداءات التي ينبغي للطالب كتابتها، فيمكن لمفاتيح الإجابات أن تعرض كل مرافق بدل رقم نهائي مجرد.
ويستخدمها الطلاب لاكتشاف أخطائهم بأنفسهم — فحين يختلف حساب يدوي مع ناتج الأداة، يحدد التفصيل بالحدود موضع الخطأ في محدد صغير بعينه بدل إعادة الحساب كله. ويمكن للمبرمجين الذين يتحققون من روتين محدد صغير في مسابقة أن يستخدموا مسار المرافقات مرجعًا مستقلًّا في مواجهة التطبيقات المعتمدة على تحليل LU. وإن احتجت محددًا مجردًا دون اختيار خط، أو معكوس مصفوفة، أو قيمًا ذاتية، أو مرافقات رمزية على كثيرات حدود، فعاملها كمقاصد منفصلة بدل إثقال صفحة المفكوك بالمرافقات هذه.
حالات الاستخدام
حلول الواجبات خطوة بخطوة
افك det(A) على صف أو عمود تختاره واحصل على كل عنصر وإشارة ومرافق ومساهمة، لتعرض مفاتيح الإجابات مفكوك لابلاس كاملًا لا مجرد الرقم النهائي.
تدريبات استراتيجية الخط الصفري
قارن المفكوكات على صفوف وأعمدة مختلفة من المصفوفة نفسها لتوضيح لماذا يقلّل اختيار الخط الأكثر أصفارًا الحساب اليدوي إلى أدنى حد.
تحديد مواضع الأخطاء للطلاب
حين يختلف حساب يدوي مع المحدد المُعاد، قارن التفصيل بالحدود بعمل الطالب لتجد المحدد الصغير الذي وقع فيه الخطأ بالضبط.
الأسئلة الشائعة
هل يغيّر اختيار الصف أو العمود قيمة المحدد؟
لا. تضمن نظرية لابلاس القيمة نفسها على أي صف أو عمود. الاختيار يغيّر فقط مقدار الحساب الذي يتطلبه المفكوك — فالخطوط الأكثر أصفارًا أرخص، ولهذا تتيح لك هذه الآلة اختيار الخط.
ماذا يحدث إذا لم تكن المصفوفة مربعة؟
فالمحدد لا يُعرَّف إلا للمصفوفات المربعة؛ وتُرفض الصفوف غير المنتظمة أو اختلاف عدد الصفوف عن الأعمدة برسالة تسمّي الصف الفاشل.
ماذا تحتوي مصفوفة terms؟
سجلًّا واحدًا لكل موضع من خط المفكوك: عنصر المصفوفة، وصفّه وعموده المبدوءان بواحد، والإشارة المتناوبة المستمدة من زوجية الموضع، والمرافق (محدد المصفوفة الصغرى الموقّع)، والمساهمة أي العنصر مضروبًا في المرافق. والمحدد هو مجموع جميع المساهمات.
ما الحد الأقصى لحجم المصفوفة؟
n ≤ 10. تُفكَّك المحددات الصغرى تكراريًّا، وهو ما تكلفته عاملية؛ ويُبقي الحد مسار التحليل المجاني دون الملّي ثانية. وأحجام الفصول الدراسية والمسابقات مغطاة بالكامل.
ما الصف أو العمود الأفضل لإجراء المفكوك؟
اختر الصف أو العمود الذي يحتوي على أكبر عدد من الأصفار. فالعنصر الذي قيمته صفر لا يضيف شيئًا إلى المجموع مهما كان مرافقه، فتختصر الحساب دون أن تتغير قيمة المحدد.
أدوات ذات صلة
للمطوّرين — الوصول عبر API
كل ما في هذه الصفحة متاح برمجيًا. هذا القسم موجّه للفرق التقنية التي تريد ربط الأداة بأنظمتها الخاصة؛ بقية المستخدمين يمكنهم استخدام الأداة أعلاه مباشرة دون الحاجة لقراءة ما يلي.
الـEndpoint
صادِق على طلبك بترويسة Bearer، وأرسل طلب POST واحدًا لتدخل مهمتك قائمة التنفيذ فورًا؛ ثم تستلم النتيجة عبر webhook أو رابط موقّع.
استدعِ الخدمة من بيئتك
curl -X POST https://api.kit.forhosting.com/math/cofactor-expansion-old \
-H "Authorization: Bearer $KIT_KEY" \
-H "Content-Type: application/json" \
-d '{"matrix":[[2,1,3],[0,4,1],[5,2,1]]}'const res = await fetch("https://api.kit.forhosting.com/math/cofactor-expansion-old", {
method: "POST",
headers: {
"Authorization": `Bearer ${process.env.KIT_KEY}`,
"Content-Type": "application/json"
},
body: JSON.stringify({
"matrix": [
[
2,
1,
3
],
[
0,
4,
1
],
[
5,
2,
1
]
]
})
});
const { task_id } = await res.json();import os, requests
res = requests.post(
"https://api.kit.forhosting.com/math/cofactor-expansion-old",
headers={"Authorization": f"Bearer {os.environ['KIT_KEY']}"},
json={
"matrix": [
[
2,
1,
3
],
[
0,
4,
1
],
[
5,
2,
1
]
]
},
)
task_id = res.json()["task_id"]<?php
$res = file_get_contents("https://api.kit.forhosting.com/math/cofactor-expansion-old", false, stream_context_create([
"http" => [
"method" => "POST",
"header" => "Authorization: Bearer " . getenv("KIT_KEY") . "\r\nContent-Type: application/json",
"content" => '{"matrix":[[2,1,3],[0,4,1],[5,2,1]]}',
],
]));
$task = json_decode($res, true);body := bytes.NewBufferString(`{"matrix":[[2,1,3],[0,4,1],[5,2,1]]}`)
req, _ := http.NewRequest("POST", "https://api.kit.forhosting.com/math/cofactor-expansion-old", body)
req.Header.Set("Authorization", "Bearer "+os.Getenv("KIT_KEY"))
req.Header.Set("Content-Type", "application/json")
res, _ := http.DefaultClient.Do(req)مثال على الطلب
{
"matrix": [
[
2,
1,
3
],
[
0,
4,
1
],
[
5,
2,
1
]
]
}مثال على الاستجابة
{
"task_id": "tsk_a1b2c3d4e5f6a1b2c3d4e5f6",
"type": "math.cofactor_expansion_old",
"status": "queued",
"_links": {
"result": "/tasks/tsk_…/result"
}
}الواجهة غير متزامنة: تستلم task_id فور الإرسال، ويمكنك الاستعلام عن الحالة بمعدل طلب واحد في الثانية.
الأسعار
السعر معلن كما تراه: لا tokens ولا نظام نقاط؛ وإن فشلت المهمة فلن تُحاسَب عليها.
الأخطاء
| HTTP | الرمز | المعنى |
|---|---|---|
401 | unauthorized | مفتاح الوصول مفقود أو غير صالح؛ تحقق من ترويسة Bearer في طلبك. |
402 | insufficient_balance | رصيدك لا يكفي لتنفيذ هذه المهمة؛ أعد شحن الرصيد ثم أعد المحاولة. |
404 | unknown_type | نوع المهمة المطلوب غير موجود في الكتالوج — راجع الاسم المرسل في الطلب. |
429 | rate_limited | تجاوزت الحد المسموح من الطلبات؛ انتظر قليلًا ثم أعد المحاولة. |
ملاحظات تقنية
وتتشارك الأداة المجانية في المتصفح وواجهة API المدفوعة دالة واحدة نقية متجانسة، فلا تتباعد أبدًا نتائج واجبات الطلاب وخطوط المعالجة الآلية على المصفوفة نفسها.
كيف يعمل المفكوك بالمرافقات على خط مختار
تنص نظرية مفكوك لابلاس على أن محدد مصفوفة من الرتبة n في n يمكن حسابه على أي صف أو عمود مفرد: اضرب كل عنصر a_ij من ذلك الخط في مرافقه C_ij، حيث المرافق هو (-1) مرفوعًا إلى القوة i زائد j مضروبًا في محدد المصفوفة الصغرى الناتجة عن حذف الصف i والعمود j، ثم اجمع جميع النواتج n. وجميع العمليات الحسابية شيفرة عائمة حتمية بلا بذور عشوائية ولا طوابع زمنية ولا استدعاءات شبكية، فتنتج المدخلات المتطابقة دائمًا مخرجات JSON متطابقة بايتًا ببايت.
ما الذي ترسله وما الذي تستعيده
وتظهر العناصر الصفرية في مصفوفة terms بمساهمة صفرية، فيكون المفكوك قابلًا للتدقيق تمامًا. استخدم نموذج المتصفح المجاني للفحوص السريعة، ثم نادِ العقد نفسه من السكربتات لدفعات مفاتيح الإجابات. أرسل حقلًا واحدًا إلزاميًّا باسم matrix: مصفوفة JSON متداخلة من صفوف أعداد منتهية، أو سلسلة JSON تُرمّز المصفوفة المتداخلة نفسها. يجب أن تكون كل الصفوف بالطول نفسه، وأن يساوي ذلك الطول عدد الصفوف لتكون المصفوفة مربعة؛ فشبكة من صفين وثلاثة أعمدة تفشل فورًا بخطأ invalid_input مع رسالة تُسمّي الصف المخالف. ويوجّه المفكوكَ حقلا اختياريان: axis، واسمه المستعار along، يقبل row أو col وقيمته الافتراضية row. وindex، واسمه المستعار line، هو الموضع المبدوء بواحد للصف أو العمود الذي يُفكَّك عليه وقيمته الافتراضية واحد؛ ويجب أن يكون عددًا صحيحًا بين واحد وn. غياب matrix، أو الأشكال غير المصفوفية، أو الصفوف غير المنتظمة، أو الخلايا غير العددية، أو NaN، أو Infinity، أو الشبكات الفارغة، أو الأبعاد فوق عشرة، أو محور غير معروف، أو مؤشر خارج النطاق — كلها تفشل بخطأ invalid_input ولا تُحتسَب رسومًا. وعند النجاح يعيد الرد المصفوفة المنقّاة بتقريب ثابت إلى اثنتي عشرة خانة معنوية، والبعد الصحيح n، والمحور والمؤشر المحسومين، والمحدد كعدد، وabs_determinant، وsign بقيمة سالب واحد أو صفر أو موجب واحد، وعلم is_singular البولياني، ومصفوفة terms الكاملة التي تتضمن entry وrow وcol وsign وcofactor وcontribution لكل موضع من خط المفكوك، وسلسلة صيغة قصيرة تسمّي الخط المستخدم. تكلّف استدعاءات API الناجحة السعر الأساسي المعلن $0.002 لكل عنصر؛ أما إخفاقات التحقق فلا تستهلك الرصيد المدفوع مسبقًا.
لماذا يهمّ اختيار خط المفكوك
ويريد مؤلفو المناهج الذين يبنون دروسًا تفاعلية بنية JSON نفسها في عنصر المتصفح وفي API لتبقى الأوراق غير المتصلة والمصحّحات الآلية المتصلة متوافقة. ولأن هذه الأداة محرك تحليلي خالص، فإن تسعير API هو السعر الأساسي المعلن $0.002 لكل عنصر ناجح، وفشل التحقق لا يستهلك الرصيد.
أسئلة تقنية
كم تبلغ التكلفة؟
أداة المتصفح مجانية وتعمل محليًّا. أما طلبات API فتستخدم رصيد KIT المدفوع مسبقًا بسعر $0.002 لكل عنصر ناجح؛ والمدخلات غير الصالحة لا تُحتسَب.