Expansión por cofactores
Desarrolle un determinante por la fila o columna que usted elija y vea cada término: en el ejemplo de 3×3, la primera fila aporta 4, 5 y −60, que suman −51. Compare líneas para hallar la vía más corta. Gratis en su navegador.
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La expansión por cofactores, también llamada expansión de Laplace, es la definición recursiva clásica del determinante: elija cualquier fila o columna, multiplique cada elemento por su menor con signo y sume los resultados. Esta calculadora le permite escoger exactamente por qué fila o columna expandir —una diferencia pedagógica real, porque una línea llena de ceros hace la aritmética trivial mientras que una línea densa la alarga—. Devuelve el determinante junto con el desglose completo de la expansión: cada elemento de la línea elegida, su signo alternante, su cofactor calculado a partir del menor correspondiente y su contribución a la suma final. Las matrices no cuadradas se rechazan con un error de validación claro, porque el determinante solo está definido para matrices cuadradas.
Cómo funciona la expansión por cofactores a lo largo de una línea elegida
El resultado es idéntico sin importar qué línea elija, que es justamente el teorema que se pide verificar a los estudiantes en los cursos de álgebra lineal. Esta capacidad aplica esa recursión literalmente. Para la fila o columna elegida calcula cada determinante menor expandiendo de nuevo por la primera fila de la submatriz más pequeña, hasta llegar al caso base de uno por uno, donde el determinante es el único elemento, con el caso de dos por dos resuelto directamente con la forma cerrada ad menos bc.
La salida expone cada cantidad intermedia: cada elemento de la línea de expansión, el signo alternante determinado por la paridad de su posición, el valor del cofactor y la contribución elemento por cofactor. Sumar la columna de contribuciones a mano reproduce el determinante devuelto, lo que hace que la herramienta sirva para auditar el trabajo y no solo para comprobar un número final. Como la recursión tiene costo factorial, las dimensiones se limitan a diez por diez; los tamaños de aula y de competencia están totalmente cubiertos.
Por qué importa elegir la línea de expansión
El determinante es invariante entre líneas de expansión, pero el trabajo de calcularlo a mano no lo es. Expandir por una fila o columna que contiene ceros elimina términos por completo, porque un elemento cero no aporta nada por grande que sea su cofactor; los libros de texto enseñan a buscar la línea con más ceros antes de tocar cualquier menor, y esta calculadora demuestra esa estrategia de forma concreta al permitirle comparar una expansión por fila con una por columna sobre la misma matriz.
Los docentes la usan para construir soluciones paso a paso: el arreglo terms es exactamente la secuencia de productos que un estudiante debe escribir, de modo que las claves de respuestas pueden mostrar cada cofactor en lugar de un simple número final. Los estudiantes la usan para encontrar sus propios errores: cuando un cálculo a mano no coincide con la herramienta, el desglose por término localiza el error en un menor específico en lugar de obligar a rehacer todo.
Los programadores que verifican una rutina pequeña de determinantes en un contexto de competencia también pueden usar la vía de los cofactores como oráculo independiente frente a implementaciones basadas en LU. Si necesita un determinante simple sin elegir línea, inversión de matrices, valores propios o menores simbólicos sobre polinomios, trate esos casos como intenciones separadas en lugar de sobrecargar esta página de expansión por cofactores.
Qué puede hacer con ella
Soluciones de tareas paso a paso
Expanda det(A) por una fila o columna elegida y obtenga cada elemento, signo, cofactor y contribución, de modo que las claves de respuestas muestren la expansión de Laplace completa, no solo el número final.
Ejercicios de estrategia con líneas de ceros
Compare expansiones por distintas filas y columnas de la misma matriz para demostrar por qué elegir la línea con más ceros minimiza el cálculo a mano.
Localización de errores para estudiantes
Cuando un cálculo a mano no coincide con el determinante devuelto, compare el desglose por término con el trabajo del estudiante para encontrar el menor exacto donde ocurrió el error.
Preguntas frecuentes
¿La elección de la fila o columna cambia el determinante?
No. El teorema de Laplace garantiza el mismo valor a lo largo de cualquier fila o columna. La elección solo cambia cuánta aritmética requiere la expansión: las líneas con más ceros son más baratas, y por eso esta calculadora le permite elegir la línea.
¿Qué ocurre si la matriz no es cuadrada?
El determinante solo está definido para matrices cuadradas; las filas irregulares o los conteos distintos de filas y columnas se rechazan con un mensaje que nombra la fila que falla.
¿Qué contiene el arreglo terms?
Un registro por cada posición de la línea de expansión: el elemento de la matriz, su fila y columna en base 1, el signo alternante según la paridad de la posición, el cofactor (determinante del menor con signo) y la contribución elemento por cofactor. El determinante es la suma de todas las contribuciones.
¿Cuál es el tamaño máximo de la matriz?
n ≤ 10. Los menores se expanden recursivamente, lo cual tiene costo factorial; el límite mantiene la vía de cálculo gratuita por debajo del milisegundo. Los tamaños de aula y de competencia están totalmente cubiertos.
¿Cuánto cuesta?
La herramienta del navegador es gratuita y se ejecuta localmente.
Herramientas relacionadas
Para desarrolladores — acceso por API
Todo lo de esta página está disponible por programación. Esta sección es para equipos que quieren integrarlo en sus sistemas; el resto puede usar la herramienta de arriba sin más.
Endpoint de API
¿Prefiere automatizarlo? Un POST autenticado crea la tarea; el resultado llega por webhook o enlace firmado. La misma capacidad también se ejecuta aquí en la web, por email y desde Telegram — y pronto también desde nuestra app.
Llámela desde su stack
curl -X POST https://api.kit.forhosting.com/math/cofactor-expansion-old \
-H "Authorization: Bearer $KIT_KEY" \
-H "Content-Type: application/json" \
-d '{"matrix":[[2,1,3],[0,4,1],[5,2,1]]}'const res = await fetch("https://api.kit.forhosting.com/math/cofactor-expansion-old", {
method: "POST",
headers: {
"Authorization": `Bearer ${process.env.KIT_KEY}`,
"Content-Type": "application/json"
},
body: JSON.stringify({
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2,
1,
3
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]
})
});
const { task_id } = await res.json();import os, requests
res = requests.post(
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headers={"Authorization": f"Bearer {os.environ['KIT_KEY']}"},
json={
"matrix": [
[
2,
1,
3
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[
0,
4,
1
],
[
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2,
1
]
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)
task_id = res.json()["task_id"]<?php
$res = file_get_contents("https://api.kit.forhosting.com/math/cofactor-expansion-old", false, stream_context_create([
"http" => [
"method" => "POST",
"header" => "Authorization: Bearer " . getenv("KIT_KEY") . "\r\nContent-Type: application/json",
"content" => '{"matrix":[[2,1,3],[0,4,1],[5,2,1]]}',
],
]));
$task = json_decode($res, true);body := bytes.NewBufferString(`{"matrix":[[2,1,3],[0,4,1],[5,2,1]]}`)
req, _ := http.NewRequest("POST", "https://api.kit.forhosting.com/math/cofactor-expansion-old", body)
req.Header.Set("Authorization", "Bearer "+os.Getenv("KIT_KEY"))
req.Header.Set("Content-Type", "application/json")
res, _ := http.DefaultClient.Do(req)Ejemplo de solicitud
{
"matrix": [
[
2,
1,
3
],
[
0,
4,
1
],
[
5,
2,
1
]
]
}Ejemplo de respuesta
{
"task_id": "tsk_a1b2c3d4e5f6a1b2c3d4e5f6",
"type": "math.cofactor_expansion_old",
"status": "queued",
"_links": {
"result": "/tasks/tsk_…/result"
}
}La API es asíncrona: la llamada devuelve un task_id al instante y el resultado llega por webhook. El polling está limitado a 1 req/s por tarea.
Precio
Precio publicado — sin tokens ni créditos inventados. Una tarea fallida no se cobra.
Errores
| HTTP | Código | Significado |
|---|---|---|
401 | unauthorized | API key ausente o inválida. |
402 | insufficient_balance | El saldo no cubre el precio de la tarea. |
404 | unknown_type | El tipo de tarea no existe. |
429 | rate_limited | Demasiadas peticiones. Use el webhook en vez de sondear. |
Notas técnicas
Cómo funciona la expansión por cofactores a lo largo de una línea elegida
El teorema de la expansión de Laplace establece que el determinante de una matriz de n por n puede calcularse a lo largo de cualquier fila o columna: multiplique cada elemento a_ij de esa línea por su cofactor C_ij, donde el cofactor es (-1) elevado a la potencia i más j por el determinante del menor obtenido al eliminar la fila i y la columna j, y luego sume los n productos. Toda la aritmética es código determinista de punto flotante, sin semillas aleatorias, sin marcas de tiempo y sin llamadas de red, de modo que entradas idénticas siempre producen JSON idéntico byte a byte.
Qué envía y qué recibe
Los elementos cero siguen apareciendo en el arreglo terms con contribución cero, de modo que la expansión es totalmente auditable. Use el formulario gratuito del navegador para comprobaciones rápidas y luego invoque el mismo contrato desde scripts para generar claves de respuestas en lote. Envíe un campo obligatorio llamado matrix: un arreglo JSON anidado de filas de números finitos, o una cadena JSON que codifique ese mismo arreglo anidado. Cada fila debe tener la misma longitud, y esa longitud debe ser igual al número de filas para que la matriz sea cuadrada; una cuadrícula de dos por tres falla de inmediato con invalid_input y un mensaje que nombra la fila infractora. Dos campos opcionales orientan la expansión. axis, con el alias along, acepta row o col y por defecto es row. index, con el alias line, es la posición en base uno de la fila o columna por la que expandir y por defecto es uno; debe ser un entero entre uno y n. Falta de matrix, formas que no son arreglos, filas irregulares, celdas no numéricas, NaN, Infinity, cuadrículas vacías, dimensiones superiores a diez, un axis desconocido o un index fuera de rango: todo ello falla con invalid_input y no se cobra. En caso de éxito, la respuesta devuelve la matriz limpia con redondeo estable de doce dígitos significativos, la dimensión entera n, el axis y el index resueltos, el determinante como número, abs_determinant, sign como menos uno, cero o más uno, una bandera booleana is_singular, el arreglo completo terms con entry, row, col, sign, cofactor y contribution para cada posición de la línea de expansión, y una breve cadena de fórmula que nombra la línea utilizada. Las llamadas exitosas a la API cuestan la tarifa base publicada de $0.002 por elemento; los fallos de validación no consumen saldo prepagado.
Por qué importa elegir la línea de expansión
Como esta capacidad es un motor de cálculo puro, el precio de la API es la tarifa base publicada de $0.002 por elemento exitoso y la validación fallida no consume saldo.