حلال المعادلة التكعيبية
جذور المعادلة x³ − 6x² + 11x − 6 = 0 هي 3 و2 و1: أدخل المعاملات الأربعة لتحصل على الجذور الثلاثة، حقيقية أو عقدية، مع الصورة المختزلة والمميز. مجانًا في متصفحك.
- مجاني
- يعمل في متصفحك
- دون تسجيل
- بياناتك لا تغادر جهازك
شغّل الأداة مجانًا
مثال محلول
- A
- 1
- B
- -6
- C
- 11
- D
- -6
- المعادلة
- 1*x^3 + -6*x^2 + 11*x + -6 = 0
- المميز
- -0.037037037
- نوع الجذر
- three_real
- عدد الجذور الحقيقية
- 3
المعادلة التكعيبية هي أي معادلة كثيرة حدود من الدرجة الثالثة تُكتب على صورة a في x مرفوعاً إلى ثلاثة زائد b في x مربعاً زائد c في x زائد d يساوي صفراً عندما لا يكون المعامل القائد a صفراً. ما زال الشكل المغلق الكلاسيكي لـ Cardano يعطي كل جذر على الأعداد العقدية بعد سلسلة جبرية قصيرة: اقسم على a لجعل كثير الحدود أحادي المعامل القائد، انقل المتغير لإزالة الحد التربيعي، حل التكعيبية المختزلة t مرفوعاً إلى ثلاثة زائد p t زائد q يساوي صفراً، ثم أعد نقل الحلول الثلاثة. إشارة المميز المختزل تصنّف الصورة بالكامل: ثلاث جذور حقيقية متمايزة، نمط جذر حقيقي متعدد، أو جذر حقيقي واحد مقترن بزوج عقدي مترافق. يعيد هذا الحلال الجذور الثلاث كأجزاء حقيقية وتخيلية، والمعاملين المختزلين p و q، والمميز، وسلسلة معادلة قابلة للقراءة، بحيث تتشارك الواجبات وتجهيزات المسابقات ودفاتر الإنتاج حقيقة مرجعية واحدة. عندما يكون a صفراً تُرفض الطلبات بخطأ تحقق واضح بدلاً من معاملة تربيعية بصمت على أنها تكعيبية.
كيف يحل أسلوب Cardano تكعيبية عامة
ابدأ بالتكعيبية الحقيقية العامة a في x مرفوعاً إلى ثلاثة زائد b في x مربعاً زائد c في x زائد d يساوي صفراً واشترط أن يكون a غير صفري حتى تكون المعادلة من الدرجة الثالثة فعلاً. اقسم على a للحصول على الصورة الأحادية x مرفوعاً إلى ثلاثة زائد A x مربعاً زائد B x زائد C يساوي صفراً.
التعويض x يساوي t ناقص A على ثلاثة يزيل الحد المربع وينتج التكعيبية المختزلة t مرفوعاً إلى ثلاثة زائد p t زائد q يساوي صفراً، حيث p و q كثيرات حدود أولية في A و B و C. مميز تلك التكعيبية المختزلة هو Delta يساوي مربع q على اثنين زائد مكعب p على ثلاثة. عندما يكون Delta موجباً، تعابير Cardano الكلاسيكية المبنية من جذرين تكعيبيين والجذور التكعيبية غير الحقيقية للوحدة تعطي جذراً حقيقياً واحداً وزوجاً عقدياً مترافقاً.
عندما يكون Delta صفراً تكون كل الجذور حقيقية ويتطابق اثنان على الأقل، مستعيداً حالات الجذر المزدوج في الكتب مثل مكعب كامل أو عامل خطي مربع في عامل خطي آخر. عندما يكون Delta سالباً — الحالة الشهيرة casus irreducibilis — تظهر ثلاث جذور حقيقية متمايزة، ومسار التقييم المستقر يستخدم المتطابقة المثلثية مع ضعف الجذر التربيعي لسالب p على ثلاثة مضروباً في جيوب تمام لحجة arccos بثلث زاوية مزاحمة بمضاعفات اثنين باي على ثلاثة.
بعد معرفة قيم t الثلاث، يُزاح كل جذر بطرح A على ثلاثة، فيُعاد حلول الأحادي الأصلي وبالتالي كثير الحدود المقياس الأصلي. يجب أن تكون المعاملات منتهية؛ يُرفض NaN و Infinity.
ما الذي ترسله وما الذي تستقبله
أرسل أربعة أعداد منتهية تحت الحقول a و b و c و d تمثل معاملات a في x مرفوعاً إلى ثلاثة زائد b في x مربعاً زائد c في x زائد d يساوي صفراً. الحقول الأربعة كلها مطلوبة. عندما يكون a صفراً أو شديد القرب من الصفر تفشل الطلبية برسالة أن أسلوب Cardano يتطلب حداً تكعيبياً غير صفري، فيستطيع العملاء التحول إلى حلال تربيعي بدلاً من التخمين.
للحلول الحقيقية الصرفة كل جزء تخيلي صفر؛ وللأطياف المختلطة الزوج العقدي مترافق. فحوص الكتب الكلاسيكية تشمل a يساوي واحداً و b يساوي سالب ستة و c يساوي أحد عشر و d يساوي سالب ستة بجذور ثلاثة واثنين وواحد؛ حالة الجذر الثلاثي المختزل x مرفوعاً إلى ثلاثة يساوي صفراً؛ وتكعيبيات بجذر حقيقي واحد وجذرين عقديين مثل x مرفوعاً إلى ثلاثة زائد x زائد واحد يساوي صفراً. صلِّ النموذج المجاني في المتصفح للواجبات والفحوص السريعة، ثم استدعِ العقد نفسه من السكربتات عند الحاجة إلى توليد جماعي لمفاتيح الإجابات أو تجهيزات الانحدار.
أين تظهر حلّالات المعادلة التكعيبية في العمل الحقيقي
مقررات الجبر في الثانوية والجامعة تكلّف باستمرار تمارين Cardano وجداول تصنيف المميز ومقارنات التحليل أو الصيغة؛ ومرجع موثوق واحد يعيد الجذور الثلاث بأجزاء حقيقية وتخيلية يسرّع التصحيح وإعداد العروض. مسائل مسابقات البرمجة وإحماءات المقابلات كثيراً ما تخفي تكعيبية تحت قيود الحجم أو نماذج تكلفة تكعيبية أو صور مختزلة بعد تعويض، ويحتاج المهندسون تصنيفاً دقيقاً لثلاث حقيقية مقابل عقدية بدلاً من NaN صامت من جذر غير مفحوص.
نظرية التحكم والتصميم الميكانيكي يحلّان معادلات مميزة تكعيبية لهامش الاستقرار ويحتاجان كل قيمة ذاتية عقدية لمصفوفة مرافقة ثلاثة في ثلاثة دون مغادرة مسار الشكل المغلق. الرسوم والرسوم المتحركة ومحركات الألعاب تأخذ عينات من منحنيات توقيت Bezier التكعيبية وتحل جذور المعاملات لكثيرات حدود تكعيبية في استعلامات التصادم أو الظل. إن احتجت لاحقاً صيغة تربيعية وحدها، أو حلول Ferrari الرباعية، أو أنظمة معادلتين كثيرتي حدود، أو تحليلاً رمزياً على الأعداد الصحيحة، فعالجها كنيات بحث وصفحات هبوط منفصلة بدلاً من تحميل هذه الصفحة الخاصة بحلال Cardano التكعيبي.
حالات الاستخدام
مفاتيح إجابات الواجبات والامتحانات
ولّد الجذور الثلاث و p/q المختزلين وصنف المميز لمجموعات كتاب ax³+bx²+cx+d حتى يتشارك المعلمون والمصححون الآليون حقيقة مرجعية واحدة.
المعادلات المميزة والاستقرار
حل كثيرات الحدود المميزة التكعيبية من نماذج خطية 3×3 وصنّف الأطياف الحقيقية مقابل العقدية دون باحثي جذور تكراريين.
تكلفة تكعيبية وحجم ومعاملات Bezier
اعثر على معاملات تقاطع حقيقية لمنحنيات تكعيبية وجذور تعادل لنماذج تكلفة تكعيبية مع تراجع عقدي صادق عند الحاجة.
الأسئلة الشائعة
هل يعيد جذوراً عقدية؟
نعم. عندما يكون المميز المختزل موجباً تحصل على جذر حقيقي واحد وزوج عقدي مترافق. وعندما يكون سالباً تحصل على ثلاث جذور حقيقية. كل جذر كائن فيه re و im.
ما التكعيبية المختزلة؟
تتضمن الاستجابة p و q والإزاحة لتتأكد من خطوات الجبر الوسيطة.
ما جذور المعادلة x³ − 6x² + 11x − 6 = 0؟
جذورها 3 و2 و1، وكلها حقيقية ومختلفة. وعند التعويض بالعدد 1 مثلًا يصبح الطرف الأيسر 1 − 6 + 11 − 6، أي صفرًا تمامًا.
كيف تعرف الحاسبة عدد الجذور الحقيقية؟
من إشارة مميز المعادلة المختزلة: الموجب يعني جذرًا حقيقيًا واحدًا وزوجًا عقديًا مترافقًا، والصفر يعني جذورًا حقيقية مكررة، والسالب يعني ثلاثة جذور حقيقية مختلفة.
ماذا لو كان المعامل الأول صفرًا؟
لا تبقى المعادلة تكعيبية، لذلك تُرفض بدل معاملتها كتكعيبية. استخدم في هذه الحالة حلّال المعادلات التربيعية، لأن طريقة كاردانو تقسم على المعامل التكعيبي.
أدوات ذات صلة
للمطوّرين — الوصول عبر API
كل ما في هذه الصفحة متاح برمجيًا. هذا القسم موجّه للفرق التقنية التي تريد ربط الأداة بأنظمتها الخاصة؛ بقية المستخدمين يمكنهم استخدام الأداة أعلاه مباشرة دون الحاجة لقراءة ما يلي.
الـEndpoint
صادِق على طلبك بترويسة Bearer، وأرسل طلب POST واحدًا لتدخل مهمتك قائمة التنفيذ فورًا؛ ثم تستلم النتيجة عبر webhook أو رابط موقّع.
استدعِ الخدمة من بيئتك
curl -X POST https://api.kit.forhosting.com/algebra/cubic-equation \
-H "Authorization: Bearer $KIT_KEY" \
-H "Content-Type: application/json" \
-d '{"a":1,"b":-6,"c":11,"d":-6}'const res = await fetch("https://api.kit.forhosting.com/algebra/cubic-equation", {
method: "POST",
headers: {
"Authorization": `Bearer ${process.env.KIT_KEY}`,
"Content-Type": "application/json"
},
body: JSON.stringify({
"a": 1,
"b": -6,
"c": 11,
"d": -6
})
});
const { task_id } = await res.json();import os, requests
res = requests.post(
"https://api.kit.forhosting.com/algebra/cubic-equation",
headers={"Authorization": f"Bearer {os.environ['KIT_KEY']}"},
json={
"a": 1,
"b": -6,
"c": 11,
"d": -6
},
)
task_id = res.json()["task_id"]<?php
$res = file_get_contents("https://api.kit.forhosting.com/algebra/cubic-equation", false, stream_context_create([
"http" => [
"method" => "POST",
"header" => "Authorization: Bearer " . getenv("KIT_KEY") . "\r\nContent-Type: application/json",
"content" => '{"a":1,"b":-6,"c":11,"d":-6}',
],
]));
$task = json_decode($res, true);body := bytes.NewBufferString(`{"a":1,"b":-6,"c":11,"d":-6}`)
req, _ := http.NewRequest("POST", "https://api.kit.forhosting.com/algebra/cubic-equation", body)
req.Header.Set("Authorization", "Bearer "+os.Getenv("KIT_KEY"))
req.Header.Set("Content-Type", "application/json")
res, _ := http.DefaultClient.Do(req)مثال على الطلب
{
"a": 1,
"b": -6,
"c": 11,
"d": -6
}مثال على الاستجابة
{
"task_id": "tsk_a1b2c3d4e5f6a1b2c3d4e5f6",
"type": "algebra.cubic_equation",
"status": "queued",
"_links": {
"result": "/tasks/tsk_…/result"
}
}الواجهة غير متزامنة: تستلم task_id فور الإرسال، ويمكنك الاستعلام عن الحالة بمعدل طلب واحد في الثانية.
الأسعار
السعر معلن كما تراه: لا tokens ولا نظام نقاط؛ وإن فشلت المهمة فلن تُحاسَب عليها.
الأخطاء
| HTTP | الرمز | المعنى |
|---|---|---|
401 | unauthorized | مفتاح الوصول مفقود أو غير صالح؛ تحقق من ترويسة Bearer في طلبك. |
402 | insufficient_balance | رصيدك لا يكفي لتنفيذ هذه المهمة؛ أعد شحن الرصيد ثم أعد المحاولة. |
404 | unknown_type | نوع المهمة المطلوب غير موجود في الكتالوج — راجع الاسم المرسل في الطلب. |
429 | rate_limited | تجاوزت الحد المسموح من الطلبات؛ انتظر قليلًا ثم أعد المحاولة. |
ملاحظات تقنية
كيف يحل أسلوب Cardano تكعيبية عامة
خط الأنابيب بأكمله حساب عائم حتمي: بلا بذور عشوائية، بلا طوابع ساعة حائط، بلا نداءات شبكة، وبلا انحراف نموذج، فالمعاملات المتطابقة تنتج دائماً JSON متطابقاً. الحالة الخاصة a قريب من الصفر تُرفض بـ invalid_input لأن Cardano سيقسم على صفر ولن تبقى المسألة تكعيبية.
ما الذي ترسله وما الذي تستقبله
الحقول الناقصة والسلاسل غير العددية و NaN و Infinity تفشل بـ invalid_input ولا تُحسب. عند النجاح تعيد الاستجابة المعاملات المنظّفة، وسلسلة معادلة قابلة للطباعة، والمعاملات الأحادية A و B و C، والثلاثي المختزل p و q و shift، والمميز المختزل كعدد، و root_type كواحد من three_real أو one_real_two_complex أو multiple_real، وعلَم Boolean real_roots، و real_root_count، ومصفوفة roots من ثلاثة كائنات لكل منها re و im. تسعير نداءات API الناجحة هو الأساس المنشور $0.002 لكل عنصر؛ إخفاقات التحقق لا تستهلك الرصيد المدفوع مسبقاً.
أين تظهر حلّالات المعادلة التكعيبية في العمل الحقيقي
ولأن هذه القدرة محرك parse نقي، تسعير API هو الأساس المنشور $0.002 لكل عنصر ناجح والتحقق الفاشل لا يستهلك الرصيد.
أسئلة تقنية
أي أسلوب يستخدمه حلال المعادلة التكعيبية هذا؟
أسلوب Cardano: تطبيع أحادي، اختزال x = t − b/(3a)، حل t³ + p t + q = 0 حسب حالة المميز (جذور Cardano التكعيبية أو الشكل المثلثي)، ثم التعويض العكسي.
ماذا يحدث إذا كان a صفراً؟
تفشل الطلبية بـ invalid_input. أسلوب Cardano يتطلب معاملاً تكعيبياً غير صفري؛ التربيعية ax² + bx + c = 0 مسألة مختلفة وصفحة هبوط مختلفة.
كم تبلغ التكلفة؟
أداة المتصفح مجانية وتعمل محلياً. طلبات API تستخدم رصيد KIT المدفوع مسبقاً بمقدار $0.002 لكل عنصر ناجح؛ الإدخال غير الصالح لا يُحسب.