جمع وطرح كثيرات الحدود
اجمع الحدود المتشابهة في خطوة واحدة: 1 + 2x + 3x² زائد 3 + x² يساوي 4 + 2x + 4x²، وعند الطرح يكون الناتج −2 + 2x + 2x². وتظهر درجة كل كثيرة حدود. مجانًا في متصفحك.
- مجاني
- يعمل في متصفحك
- دون تسجيل
- بياناتك لا تغادر جهازك
شغّل الأداة مجانًا
تعمل هذه الأداة داخل متصفحك — مجانًا، ولا تُرسل بياناتك إلى أي خادم
جمع كثيرات الحدود وطرحها أول عمليات الحلقة التي يتعلمها كل طالب جبر بعد جمع الحدود المتشابهة. تستقبل هذه الحاسبة كثيرتي حدود وحيدي المتغير كقوائم معاملات كثيفة—الحد الثابت أولاً ثم x ثم x تربيع وهكذا—تجمعهما أو تطرحهما معاملاً بمعامل، وتُرجع القائمة المبسطة بلا أصفار ختامية. تحصل أيضاً على درجة كل إدخال والنتيجة، وتعابير مقروءة للنسخ في الواجبات أو الدفاتر.
كيف يعمل جمع وطرح كثيرات الحدود على قوائم المعاملات
كثير الحدود وحيد المتغير الكثيف يُوصف بالكامل بالقائمة المرتبة لمعاملاته لقوى x التصاعدية. القائمة p تساوي p صفر، p واحد، p اثنين وهكذا تعني p من x تساوي p صفر زائد p واحد في x زائد p اثنين في x تربيع وحدود أعلى حتى آخر فهرس. لجمع كثيرتي حدود من هذا النوع تُحاذى على الحد الثابت، وتُملأ القائمة الأقصر بأصفار في طرف الدرجة العالية، وتُجمع المواضع المتطابقة.
الطرح هو نفس المحاذاة بعلامة ناقص على كل معامل من كثير الحدود الثاني. بعد المجموع أو الفرق نقطة بنقطة تُحذف الأصفار الختامية عند أعلى الدرجات بحيث يساوي طول النتيجة واحداً زائد الدرجة الحقيقية، باستثناء كثير الحدود الصفري الممثَّل كصفر واحد بدرجة اصطلاحية ناقص واحد. هذا التبسيط هو بالضبط ما يطلبه الكتاب «اجمع الحدود المتشابهة واكتب بالشكل القياسي»، وهو ما يعيده هذا المحرك كمصفوفة نتيجة.
الخوارزمية زمن خطي حتمي في طول القائمة الأطول: بلا تحليل إلى عوامل، بلا بحث جذور، بلا تكرار عائم أبعد من الجمع العادي لأعداد منتهية. يجب أن تكون المعاملات منتهية؛ السلاسل التي تُحلَّل كأعداد تُقبل لراحة حقول النص، لكن الكائنات والمنطقيات المستخدمة كأعلام والرموز غير العددية تُرفض. ولأن الجمع تجميعي وتبادلي على الحقيقيات (أو العاقلات المضمّنة كعوائم)، إعادة ترتيب p و q تحت العملية add تنتج نفس النتيجة المبسطة، بينما ينعكس الطرح عند تبادل المعاملين.
ما ترسله وما تستلمه
أرسل مصفوفتين إلزاميتين تحت الحقلين p و q. كل عنصر يجب أن يكون عدداً منتهياً يمثل معامل x مرفوعاً لفهرسه، والفهرس صفر هو الحد الثابت. اختيارياً أرسل op كـ add أو sub؛ الافتراضي add.
تُقبل أسماء بديلة قصيرة مثل plus وعلامة الجمع و subtract و minus وتُطبَّع. فحوصات كلاسيكية: p يساوي واحداً اثنين ثلاثة و q يساوي ثلاثة صفراً واحداً مع add يعطي أربعة اثنين أربعة أي أربعة زائد اثنين x زائد أربعة x تربيع؛ نفس القوائم مع sub تعطي ناقص اثنين اثنين اثنين. أمثلة إلغاء مثل p يساوي واحداً واحداً و q يساوي واحداً واحداً مع sub تعطي كثير الحدود الصفري كصفر واحد.
اربط نموذج المتصفح المجاني للواجبات والفحوصات السريعة، ثم استدعِ نفس العقد من السكربتات عند الحاجة لتوليد جماعي لمفاتيح الإجابة أو تركيبات الانحدار. طول القائمة محدود بعشرة آلاف معامل لكل كثير حدود حتى لا توقف حمولات متعددة الميغابايت العرضية عاملاً مشتركاً.
أين يظهر جمع وطرح كثيرات الحدود في العمل الحقيقي
جبر الثانوية والجامعة يفرض باستمرار تمارين جمع الحدود المتشابهة وإعادة الكتابة بالشكل القياسي و«اجمع هاتين الكثيرتين»؛ أوراكل موثوق واحد يعيد متجه المعاملات وتعبيراً مقروءاً يسرّع التصحيح وإعداد العروض. تبدأ واجبات الجبر الحاسوبي غالباً بالجمع الكثيف قبل أن يلتقي الطلاب بخرائط أحاديات مبعثرة أو حلقات متعددة المتغيرات، فحاسبة كثيفة صادقة تطابق الوحدة الأولى لكثير من المناهج دون ادعاء أنها CAS كامل. تخفي مسائل مسابقات البرمجة وإحماءات المقابلات جمع كثيرات الحدود تحت دوال مولّدة ونوى FIR إشارة وتكرارات عدّ المسارات حيث يجب جمع مصفوفتَي معاملات قبل تحويلات لاحقة.
تجمع دفاتر البيانات والعلوم نماذج اتجاه متعددة الحدود أو كثيرات حدود مميزة من مراحل أنبوب متجاورة وتحتاج قصاً حتمياً للأصفار الأمامية لا خطأ إكراه نوع صامتاً. إن احتجت لاحقاً ضرب كثيرات حدود أو قسماً بباقي أو تقييماً عند نقطة أو إيجاد جذور للتربيعيات والتكعيبيات، عاملها كنوايا بحث وهبوط منفصلة بدل تحميل صفحة حاسبة الجمع هذه.
حالات الاستخدام
مفاتيح جمع الحدود المتشابهة
ولّد قوائم معاملات مبسطة وتعابير قابلة للطباعة لتمارين كتب p±q ليشترك المعلمون والمصححون الآليون في حقيقة مرجعية واحدة.
أنابيب الدوال المولّدة وFIR
اجمع أو اطرح مصفوفات معاملات كثيفة في كود المسابقات ودفاتر الإشارة دون إعادة كتابة منطق الحشو والسحاب يدوياً في كل مرة.
الأسئلة الشائعة
بأي ترتيب تكون المعاملات؟
قوى تصاعدية: الفهرس 0 هو الحد الثابت، 1 معامل x، 2 لـ x²، وهكذا. مثال: [1, 2, 3] يعني 1 + 2x + 3x².
كيف أطرح بدل الجمع؟
عيّن op إلى "sub" (أسماء بديلة: subtract، minus، -). الافتراضي "add".
ماذا يحدث بدرجات مختلفة؟
تُعامل القائمة الأقصر كمحشوة بأصفار في طرف الدرجة العالية. بعد العملية تُزال الأصفار الختامية لتكون درجة النتيجة دقيقة.
ماذا لو لم يكن المعامل عدداً؟
كل معامل يجب أن يكون عدداً منتهياً؛ تُرفض NaN و Infinity والسلاسل غير العددية ولا تُحسب.
ماذا يحدث إذا ألغت كثيرتا الحدود إحداهما الأخرى؟
تحصل على كثيرة الحدود الصفرية، وتظهر كصفر واحد 0. مثلًا طرح 1 + x من 1 + x لا يترك شيئًا، والأصفار الزائدة عند أعلى القوى تُحذف دائمًا من الناتج.
أدوات ذات صلة
للمطوّرين — الوصول عبر API
كل ما في هذه الصفحة متاح برمجيًا. هذا القسم موجّه للفرق التقنية التي تريد ربط الأداة بأنظمتها الخاصة؛ بقية المستخدمين يمكنهم استخدام الأداة أعلاه مباشرة دون الحاجة لقراءة ما يلي.
الـEndpoint
صادِق على طلبك بترويسة Bearer، وأرسل طلب POST واحدًا لتدخل مهمتك قائمة التنفيذ فورًا؛ ثم تستلم النتيجة عبر webhook أو رابط موقّع.
استدعِ الخدمة من بيئتك
curl -X POST https://api.kit.forhosting.com/algebra/polynomial-add \
-H "Authorization: Bearer $KIT_KEY" \
-H "Content-Type: application/json" \
-d '{"p":[1,2,3],"q":[3,0,1]}'const res = await fetch("https://api.kit.forhosting.com/algebra/polynomial-add", {
method: "POST",
headers: {
"Authorization": `Bearer ${process.env.KIT_KEY}`,
"Content-Type": "application/json"
},
body: JSON.stringify({
"p": [
1,
2,
3
],
"q": [
3,
0,
1
]
})
});
const { task_id } = await res.json();import os, requests
res = requests.post(
"https://api.kit.forhosting.com/algebra/polynomial-add",
headers={"Authorization": f"Bearer {os.environ['KIT_KEY']}"},
json={
"p": [
1,
2,
3
],
"q": [
3,
0,
1
]
},
)
task_id = res.json()["task_id"]<?php
$res = file_get_contents("https://api.kit.forhosting.com/algebra/polynomial-add", false, stream_context_create([
"http" => [
"method" => "POST",
"header" => "Authorization: Bearer " . getenv("KIT_KEY") . "\r\nContent-Type: application/json",
"content" => '{"p":[1,2,3],"q":[3,0,1]}',
],
]));
$task = json_decode($res, true);body := bytes.NewBufferString(`{"p":[1,2,3],"q":[3,0,1]}`)
req, _ := http.NewRequest("POST", "https://api.kit.forhosting.com/algebra/polynomial-add", body)
req.Header.Set("Authorization", "Bearer "+os.Getenv("KIT_KEY"))
req.Header.Set("Content-Type", "application/json")
res, _ := http.DefaultClient.Do(req)مثال على الطلب
{
"p": [
1,
2,
3
],
"q": [
3,
0,
1
]
}مثال على الاستجابة
{
"task_id": "tsk_a1b2c3d4e5f6a1b2c3d4e5f6",
"type": "algebra.polynomial_add",
"status": "queued",
"_links": {
"result": "/tasks/tsk_…/result"
}
}الواجهة غير متزامنة: تستلم task_id فور الإرسال، ويمكنك الاستعلام عن الحالة بمعدل طلب واحد في الثانية.
الأسعار
السعر معلن كما تراه: لا tokens ولا نظام نقاط؛ وإن فشلت المهمة فلن تُحاسَب عليها.
الأخطاء
| HTTP | الرمز | المعنى |
|---|---|---|
401 | unauthorized | مفتاح الوصول مفقود أو غير صالح؛ تحقق من ترويسة Bearer في طلبك. |
402 | insufficient_balance | رصيدك لا يكفي لتنفيذ هذه المهمة؛ أعد شحن الرصيد ثم أعد المحاولة. |
404 | unknown_type | نوع المهمة المطلوب غير موجود في الكتالوج — راجع الاسم المرسل في الطلب. |
429 | rate_limited | تجاوزت الحد المسموح من الطلبات؛ انتظر قليلًا ثم أعد المحاولة. |
ملاحظات تقنية
المعاملات غير العددية والقوائم الفارغة وقيم NaN أو Infinity تفشل بخطأ invalid_input واضح حتى لا تعامل الأنابيب القمامة صفراً بصمت. تشترك الأداة المجانية في المتصفح وAPI المدفوعة في دالة نقية واحدة، فلا تتباعد عروض الصف ومفاتيح التصحيح والتركيبات الآلية على نفس p و q والعملية. تسعير استدعاءات API الناجحة هو القاعدة المنشورة $0.002 لكل عنصر؛ إخفاقات التحقق لا تستهلك الرصيد المدفوع مسبقاً.
كيف يعمل جمع وطرح كثيرات الحدود على قوائم المعاملات
مدخلات متطابقة تنتج دائماً JSON متطابقاً: لا بذرة عشوائية ولا ساعة ولا استدعاء شبكة على المسار.
ما ترسله وما تستلمه
المصفوفات الناقصة والفارغة والمعاملات غير العددية و NaN و Infinity تفشل بـ invalid_input ولا تُحسب. عند النجاح تعيد الاستجابة p و q منظفين بلا أصفارهما الختامية و op المطبَّع ومصفوفة النتيجة المبسطة ودرجات النتيجة وكلا الإدخالين وسلاسل تعبير قابلة للطباعة للكثيرات الثلاث و operation_label لـ p زائد q أو p ناقص q لشارات الواجهة. تسعير استدعاءات API الناجحة هو القاعدة المنشورة $0.002 لكل عنصر؛ إخفاقات التحقق لا تستهلك الرصيد المدفوع مسبقاً.
أين يظهر جمع وطرح كثيرات الحدود في العمل الحقيقي
ولأن هذه القدرة محرك parse نقي، تسعير API هو القاعدة المنشورة $0.002 لكل عنصر ناجح وإخفاق التحقق لا يستهلك الرصيد.
حالات التكامل
ودجات المنهج وتركيبات API
شغّل نفس عقد add/sub من نموذج متصفح مجاني ومن مجموعات انحدار حتى لا تتباعد العروض عن مخرج API المفوتر.
أسئلة تقنية
كم التكلفة؟
أداة المتصفح مجانية وتعمل محلياً. طلبات API تستخدم رصيد KIT المدفوع مسبقاً بـ $0.002 لكل عنصر ناجح؛ الإدخال غير الصالح لا يُحسب.