Addition et soustraction de polynômes

L'addition et la soustraction de polynômes sont les premières opérations d'anneau que tout étudiant d'algèbre apprend après la combinaison de termes semblables. Cette calculatrice prend deux polynômes univariés comme listes denses de coefficients—terme constant d'abord, puis x, puis x au carré, et ainsi de suite—les additionne ou soustrait coefficient par coefficient, et renvoie la liste simplifiée sans zéros finaux. Vous obtenez aussi le degré de chaque entrée et du résultat, plus des expressions lisibles à copier dans les devoirs ou carnets.

Comment l'addition et la soustraction de polynômes fonctionnent sur les listes de coefficients

Un polynôme univarié dense est entièrement décrit par la liste ordonnée de ses coefficients pour les puissances croissantes de x. La liste p égale p zéro, p un, p deux et ainsi de suite signifie p de x égale p zéro plus p un fois x plus p deux fois x au carré et termes supérieurs jusqu'au dernier indice.

Pour additionner deux tels polynômes on les aligne sur le terme constant, on complète la liste plus courte avec des zéros à l'extrémité de haut degré et on additionne les positions correspondantes. La soustraction est le même alignement avec un signe moins sur chaque coefficient du second polynôme.

Après la somme ou différence point par point, les zéros finaux aux degrés les plus élevés sont supprimés de sorte que la longueur du résultat égale un plus le vrai degré, sauf le polynôme zéro représenté comme un seul zéro avec degré conventionnel moins un. Cette simplification est exactement ce que le manuel demande en « combiner les termes semblables et écrire sous forme standard », et c'est ce que ce moteur renvoie comme tableau résultat.

L'algorithme est en temps linéaire déterministe sur la longueur de la liste la plus longue : pas de factorisation, pas de recherche de racines, pas d'itération flottante au-delà de l'addition ordinaire de nombres finis. Les coefficients doivent être finis ; les chaînes qui s'analysent comme nombres sont acceptées pour la commodité des champs texte, mais objets, booléens utilisés comme drapeaux et jetons non numériques sont rejetés.

Comme l'addition est associative et commutative sur les réels (ou rationnels intégrés comme flottants), réordonner p et q sous l'opération add produit le même résultat simplifié, tandis que la soustraction s'inverse quand les opérandes s'échangent.

Ce que vous envoyez et ce que vous recevez

Envoyez deux tableaux obligatoires sous les champs p et q. Chaque entrée doit être un nombre fini représentant le coefficient de x à la puissance de son indice, l'indice zéro étant le terme constant. Optionnellement envoyez op comme add ou sub ; la valeur par défaut est add.

Contrôles classiques : p égal un, deux, trois et q égal trois, zéro, un avec add donne quatre, deux, quatre soit quatre plus deux x plus quatre x au carré ; les mêmes listes avec sub donnent moins deux, deux, deux. Exemples d'annulation comme p égal un, un et q égal un, un avec sub donnent le polynôme zéro comme un seul zéro. La longueur de liste est plafonnée à dix mille coefficients par polynôme pour qu'une charge multi-mégaoctets accidentelle ne bloque pas un worker partagé.

Où l'addition et la soustraction de polynômes interviennent dans le travail réel

L'algèbre du secondaire et du supérieur assigne constamment des exercices de combinaison de termes semblables, de réécritures sous forme standard et de « additionnez ces deux polynômes » ; un seul oracle de confiance qui renvoie le vecteur de coefficients et une expression lisible accélère la correction et la préparation de démos.

Les devoirs d'algèbre informatique commencent souvent par l'addition dense avant que les étudiants ne rencontrent des cartes monômes creuses ou des anneaux multivariés, de sorte qu'une calculatrice dense honnête correspond à la première unité de nombreux programmes sans prétendre être un CAS complet. Les problèmes de concours de programmation et les échauffements d'entretien cachent l'addition de polynômes sous des fonctions génératrices, des noyaux FIR de signal et des récurrences de comptage de chemins où deux tableaux de coefficients doivent être additionnés avant d'autres transformées.

Les carnets de données et de science combinent des modèles de tendance polynomiale ou des polynômes caractéristiques d'étapes de pipeline adjacentes et ont besoin d'un découpage déterministe des zéros de tête plutôt qu'un bogue silencieux de coercition de types. Si vous avez plus tard besoin de multiplication de polynômes, de division avec reste, d'évaluation en un point ou de recherche de racines pour quadratiques et cubiques, traitez-les comme des intentions de recherche et d'atterrissages séparés plutôt que de surcharger cette page de calculatrice d'addition de polynômes.