Somma e sottrazione di polinomi

La somma e la sottrazione di polinomi sono le prime operazioni di anello che ogni studente di algebra impara dopo aver combinato i termini simili. Questa calcolatrice riceve due polinomi univariati come liste dense di coefficienti—termine costante per primo, poi x, poi x al quadrato, e così via—li somma o sottrae coefficiente per coefficiente e restituisce la lista semplificata senza zeri finali. Ottiene anche il grado di ciascun input e del risultato, più espressioni leggibili da copiare nei compiti o nei taccuini.

Come funzionano somma e sottrazione di polinomi sulle liste di coefficienti

Un polinomio univariato denso è descritto completamente dalla lista ordinata dei suoi coefficienti per potenze crescenti di x. La lista p uguale a p zero, p uno, p due e così via significa p di x uguale a p zero più p uno per x più p due per x al quadrato e termini superiori fino all'ultimo indice. Per sommare due tali polinomi li si allinea sul termine costante, si riempie la lista più corta con zeri all'estremo di grado alto e si sommano le posizioni corrispondenti.

La sottrazione è lo stesso allineamento con segno meno su ogni coefficiente del secondo polinomio. Dopo la somma o differenza punto a punto, gli eventuali zeri finali ai gradi più alti vengono rimossi così che la lunghezza del risultato uguagli uno più il grado vero, tranne il polinomio zero rappresentato come un unico zero con grado convenzionale meno uno. Quella semplificazione è esattamente ciò che il libro chiede con «combinare i termini simili e scrivere in forma standard», ed è ciò che questo motore restituisce come array risultato.

L'algoritmo è tempo lineare deterministico nella lunghezza della lista più lunga: nessuna fattorizzazione, nessuna ricerca di radici, nessuna iterazione in virgola mobile oltre l'addizione ordinaria di numeri finiti. I coefficienti devono essere finiti; le stringhe che si analizzano come numeri sono accettate per comodità nei campi testo, ma oggetti, booleani usati come flag e token non numerici sono rifiutati.

Poiché l'addizione è associativa e commutativa sui reali (o razionali incorporati come float), riordinare p e q sotto l'operazione add produce lo stesso risultato semplificato, mentre la sottrazione si inverte scambiando gli operandi.

Cosa invia e cosa riceve in risposta

Invii due array obbligatori sotto i campi p e q. Ogni entrata deve essere un numero finito che rappresenta il coefficiente di x elevato all'indice, con indice zero il termine costante. Opzionalmente invii op come add o sub; il predefinito è add.

Controlli classici: p uguale uno, due, tre e q uguale tre, zero, uno con add produce quattro, due, quattro cioè quattro più due x più quattro x al quadrato; le stesse liste con sub producono meno due, due, due. Esempi di cancellazione come p uguale uno, uno e q uguale uno, uno con sub producono il polinomio zero come un unico zero. La lunghezza della lista è limitata a diecimila coefficienti per polinomio affinché carichi multi-megabyte accidentali non bloccino un worker condiviso.

Dove somma e sottrazione di polinomi compaiono nel lavoro reale

L'algebra delle superiori e dell'università assegna costantemente esercizi di combinazione di termini simili, riscritture in forma standard e «sommi questi due polinomi»; un unico oracolo affidabile che restituisce sia il vettore dei coefficienti sia un'espressione leggibile accelera la correzione e la preparazione delle demo. I compiti di algebra computazionale spesso iniziano con l'addizione densa prima che gli studenti incontrino mappe monomio sparse o anelli multivariati, così una calcolatrice densa onesta combacia con la prima unità di molti programmi senza fingere di essere un CAS completo.

Problemi di gare di programmazione e riscaldamento da colloquio nascondono la somma di polinomi sotto funzioni generatrici, nuclei FIR di segnale e ricorrenze di conteggio di cammini dove due array di coefficienti devono essere sommati prima di ulteriori trasformate. Taccuini di dati e scienza combinano modelli di tendenza polinomiale o polinomi caratteristici da stadi di pipeline adiacenti e necessitano di un taglio deterministico degli zeri iniziali anziché di un bug silenzioso di coercizione di tipo.

Se in seguito serve moltiplicazione di polinomi, divisione con resto, valutazione in un punto o ricerca di radici per quadratiche e cubiche, li tratti come intenti di ricerca e landing separati anziché sovraccaricare questa pagina di calcolatrice di somma di polinomi.