Grado di un polinomio

Il grado di un polinomio è la massima potenza della variabile che compare con un coefficiente non nullo. Questo calcolatore riceve un polinomio univariato come elenco denso di coefficienti in ordine ascendente—termine costante per primo, poi x, poi x al quadrato, e così via—elimina gli zeri finali e riporta quella potenza massima insieme al coefficiente direttivo e a un'espressione leggibile. Il polinomio zero è gestito in modo esplicito: tutti i coefficienti sono zero, il grado convenzionale è meno uno e un flag booleano dedicato marca il caso così che non si confonda «costante di grado zero» con «nessun termine affatto».

Come si definisce il grado del polinomio sulle liste di coefficienti

Un polinomio univariato denso è descritto completamente dall'elenco ordinato dei suoi coefficienti per le potenze crescenti di x. L'elenco uguale a c zero, c uno, c due, e così via significa il polinomio uguale a c zero più c uno per x più c due per x al quadrato e termini superiori fino all'ultimo indice. Per definizione il grado è il massimo indice i per cui il coefficiente di x alla i è non nullo.

Quel solo numero governa quasi ogni fatto strutturale che lo studente impara in seguito: un polinomio non nullo di grado n ha al più n radici contando la molteplicità su un campo algebricamente chiuso, il prodotto di due polinomi non nulli ha grado pari alla somma dei gradi, e il termine direttivo domina la crescita asintotica.

Quando l'elenco di ingresso termina con zeri accidentali—comuni dopo addizione, sottrazione o troncamento—il grado vero è minore della lunghezza meno uno, quindi questo motore scansiona sempre dall'estremità alta e scarta le voci finali quasi nulle prima di rispondere. Quasi nullo significa valore assoluto sotto un epsilon minuscolo così che la polvere in virgola mobile non inventi un falso termine di alto grado.

Il polinomio zero è speciale: ogni coefficiente è zero dopo la pulizia, non esiste una potenza massima con coefficiente non nullo, e i manuali scrivono convenzionalmente il suo grado come meno uno o meno infinito. L'algoritmo è in tempo lineare deterministico sulla lunghezza dell'elenco: nessuna fattorizzazione, nessuna ricerca di radici, nessun seme casuale, nessun orologio e nessuna chiamata di rete.

Dove compare il grado del polinomio nel lavoro reale

L'algebra della scuola secondaria e dell'università chiede costantemente di indicare il grado di un polinomio scritto in forma standard o sviluppato da prodotti; un unico oracolo affidabile che restituisce sia il grado intero sia un'espressione leggibile accelera la valutazione e la preparazione delle dimostrazioni. I compiti di algebra computazionale spesso iniziano con controlli di grado densi prima che gli studenti incontrino mappe monomio sparse o grado totale multivariato, così un calcolatore denso onesto coincide con la prima unità di molti programmi senza pretendere di essere un CAS completo.

I problemi di gare di programmazione e i riscaldamenti da colloquio nascondono il grado sotto funzioni generatrici, polinomi caratteristici di ricorrenze e ordine di filtri, dove il coefficiente non nullo di massima potenza decide le dimensioni dei buffer e la complessità asintotica. I taccuini di dati e scienza combinano modelli di tendenza polinomiale o polinomi caratteristici di stadi adiacenti di pipeline e necessitano di un ritaglio deterministico degli zeri finali piuttosto che di un bug silenzioso di coercizione di tipi che lasci un grado alto fantasma.

Se in seguito ha bisogno di addizione, moltiplicazione, divisione con resto, valutazione in un punto o ricerca di radici di polinomi, li tratti come intenti di ricerca e landing separati invece di sovraccaricare questa pagina di calcolatore del grado del polinomio.