حاسبة درجة كثيرة الحدود
احصل على درجة كثيرة الحدود مباشرة من معاملاتها: القائمة 3 و−2 و0 و5 تمثل 3 − 2x + 5x³، وهي تكعيبية من الدرجة 3 ومعاملها الرئيسي 5. مجانًا في متصفحك.
- مجاني
- يعمل في متصفحك
- دون تسجيل
- بياناتك لا تغادر جهازك
شغّل الأداة مجانًا
تعمل هذه الأداة داخل متصفحك — مجانًا، ولا تُرسل بياناتك إلى أي خادم
درجة كثيرة الحدود هي أعلى قوة للمتغير تظهر بمعامل غير صفري. تستقبل هذه الحاسبة كثيرة حدود وحيدة المتغير كقائمة كثيفة من المعاملات بترتيب تصاعدي—الحد الثابت أولاً، ثم x، ثم x تربيع، وهكذا—وتزيل الأصفار اللاحقة، وتُبلّغ عن تلك القوة العليا مع المعامل القائد وتعبير مقروء. تُعالَج كثيرة الحدود الصفرية صراحةً: كل المعاملات صفر، فالدرجة التقليدية سالب واحد، وعلم منطقي مخصص يميّز الحالة حتى لا يخلط المستدعون بين «ثابت من الدرجة صفر» و«لا حدود على الإطلاق».
كيف تُعرَّف درجة كثيرة الحدود على قوائم المعاملات
تُوصف كثيرة الحدود وحيدة المتغير الكثيفة وصفاً كاملاً بالقائمة المرتبة لمعاملاتها لقوى x التصاعدية. القائمة المساوية لـ c صفر وc واحد وc اثنين وهكذا تعني كثيرة الحدود المساوية لـ c صفر زائد c واحد في x زائد c اثنين في x تربيع وحدوداً أعلى حتى آخر فهرس. بالتعريف تكون الدرجة أكبر فهرس i يكون عنده معامل x إلى القوة i غير صفري.
يحكم هذا الرقم الواحد تقريباً كل حقيقة بنيوية يتعلمها الطالب لاحقاً: كثيرة حدود غير صفرية من الدرجة n لها على الأكثر n جذوراً مع التعددية على حقل مغلق جبرياً، وحاصل ضرب كثيرتي حدود غير صفريتين درجته مجموع الدرجتين، والحد القائد يهيمن على النمو التقاربي. عندما تنتهي قائمة الإدخال بأصفار عارضة—شائعة بعد الجمع أو الطرح أو القطع—تكون الدرجة الحقيقية أصغر من الطول ناقص واحد، لذلك يمسح هذا المحرك دائماً من الطرف العالي ويسقط المدخلات شبه الصفرية اللاحقة قبل الإبلاغ.
شبه الصفر يعني قيمة مطلقة دون إبسيلون ضئيل حتى لا يخترع غبار الفاصلة العائمة حداً عالياً زائفاً. كثيرة الحدود الصفرية حالة خاصة: كل معامل صفر بعد التنظيف، ولا توجد أعلى قوة بمعامل غير صفري، وتكتب الكتب درجتها تقليدياً سالب واحد أو سالب لانهاية. الخوارزمية زمن خطي حتمي في طول القائمة: بلا تحليل إلى عوامل، بلا إيجاد جذور، بلا بذرة عشوائية، بلا ساعة، وبلا استدعاء شبكة.
ما الذي ترسلونه وما الذي تستلمونه
أرسلوا مصفوفة إلزامية واحدة تحت الحقل coefficients. يجب أن يكون كل عنصر عدداً منتهياً يمثل معامل x مرفوعاً إلى فهرسه، والفهرس صفر هو الحد الثابت. تُقبل الأسماء المختصرة coeffs وp لنفس المصفوفة.
اربطوا نموذج المتصفح المجاني للواجبات والفحوص السريعة، ثم استدعوا العقد ذاته من السكربتات عند الحاجة إلى توليد مفاتيح إجابات أو تجهيزات انحدار بالجملة. طول القائمة محدود بعشرة آلاف معامل حتى لا توقف الحمولات متعددة الميغابايت عرضاً عاملاً مشتركاً.
أين تظهر درجة كثيرة الحدود في العمل الحقيقي
يطلب جبر المرحلة الثانوية والجامعة باستمرار بيان درجة كثيرة حدود مكتوبة بالشكل القياسي أو موسَّعة من جداءات؛ يسرّع أوراكل موثوق واحد يعيد الدرجة الصحيحة والتعبير المقروء التصحيح وإعداد العروض. تبدأ واجبات الجبر الحاسوبي غالباً بفحوص درجة كثيفة قبل أن يلتقي الطلاب بخرائط وحيدات حد متفرقة أو الدرجة الكلية متعددة المتغيرات، فآلة حاسبة كثيفة صادقة تطابق الوحدة الأولى لكثير من المناهج دون الادعاء بأنها CAS كامل.
تخفي مسائل مسابقات البرمجة وإحماءات المقابلات الدرجة تحت دوال مولِّدة وكثيرات حدود مميزة للتكرارات ورتبة المرشحات، حيث يقرر أعلى معامل غير صفري أحجام المخازن والتعقيد التقاربي. تجمع دفاتر البيانات والعلوم نماذج اتجاه متعددة الحدود أو كثيرات حدود مميزة من مراحل أنابيب متجاورة وتحتاج إزالة حتمية للأصفار اللاحقة بدل خطأ إكراه أنواع صامت يترك درجة عالية وهمية. إن احتجتم لاحقاً إلى جمع أو ضرب أو قسمة مع باقٍ أو تقييم عند نقطة أو إيجاد جذور لكثيرات الحدود، فاعاملوها كنوايا بحث وصفحات هبوط منفصلة بدل إثقال صفحة حاسبة درجة كثيرة الحدود هذه.
حالات الاستخدام
تمارين الدرجة للواجبات
ولّدوا درجة مرجعية ومعاملاً قائداً وتعابير قابلة للطباعة لتمارين التوسيع وبيان الدرجة حتى يشارك المعلمون والمقيّمون الآليون أوراكل واحداً.
فحوص الدرجة في الأنابيب
بعد خطوات كثيفة من الجمع أو الضرب أو القطع، أكّدوا أعلى قوة حقيقية قبل تخصيص المخازن أو ادّعاء الرتبة التقاربية في كود المسابقات والدفاتر.
الأسئلة الشائعة
بأي ترتيب تُرتَّب المعاملات؟
قوى تصاعدية: الفهرس 0 هو الحد الثابت، و1 معامل x، و2 معامل x²، وهكذا. مثال: [3, -2, 0, 5] يعني 3 − 2x + 5x³ ودرجته 3.
ما درجة كثيرة الحدود الصفرية؟
ثابت غير صفري مثل [7] درجته 0، وهذا مختلف.
ماذا لو انتهت قائمتي بأصفار؟
تُزال الأصفار اللاحقة قبل الإبلاغ عن الدرجة. [1, 2, 0, 0] تُبسَّط إلى [1, 2] ودرجة 1 (خطية).
ماذا لو لم يكن المعامل عدداً؟
يجب أن يكون كل معامل عدداً منتهياً؛ تُرفض NaN وInfinity والسلاسل غير العددية ولا تُحاسب.
لماذا تهم درجة كثيرة الحدود؟
لأنها تحدد الكثير مما يأتي بعدها: كثيرة الحدود من الدرجة n لها n جذرًا على الأكثر، ودرجة حاصل الضرب تساوي مجموع الدرجتين، والحد الرئيسي يحدد النمو عند القيم الكبيرة.
أدوات ذات صلة
للمطوّرين — الوصول عبر API
كل ما في هذه الصفحة متاح برمجيًا. هذا القسم موجّه للفرق التقنية التي تريد ربط الأداة بأنظمتها الخاصة؛ بقية المستخدمين يمكنهم استخدام الأداة أعلاه مباشرة دون الحاجة لقراءة ما يلي.
الـEndpoint
صادِق على طلبك بترويسة Bearer، وأرسل طلب POST واحدًا لتدخل مهمتك قائمة التنفيذ فورًا؛ ثم تستلم النتيجة عبر webhook أو رابط موقّع.
استدعِ الخدمة من بيئتك
curl -X POST https://api.kit.forhosting.com/algebra/polynomial-degree \
-H "Authorization: Bearer $KIT_KEY" \
-H "Content-Type: application/json" \
-d '{"coefficients":[3,-2,0,5]}'const res = await fetch("https://api.kit.forhosting.com/algebra/polynomial-degree", {
method: "POST",
headers: {
"Authorization": `Bearer ${process.env.KIT_KEY}`,
"Content-Type": "application/json"
},
body: JSON.stringify({
"coefficients": [
3,
-2,
0,
5
]
})
});
const { task_id } = await res.json();import os, requests
res = requests.post(
"https://api.kit.forhosting.com/algebra/polynomial-degree",
headers={"Authorization": f"Bearer {os.environ['KIT_KEY']}"},
json={
"coefficients": [
3,
-2,
0,
5
]
},
)
task_id = res.json()["task_id"]<?php
$res = file_get_contents("https://api.kit.forhosting.com/algebra/polynomial-degree", false, stream_context_create([
"http" => [
"method" => "POST",
"header" => "Authorization: Bearer " . getenv("KIT_KEY") . "\r\nContent-Type: application/json",
"content" => '{"coefficients":[3,-2,0,5]}',
],
]));
$task = json_decode($res, true);body := bytes.NewBufferString(`{"coefficients":[3,-2,0,5]}`)
req, _ := http.NewRequest("POST", "https://api.kit.forhosting.com/algebra/polynomial-degree", body)
req.Header.Set("Authorization", "Bearer "+os.Getenv("KIT_KEY"))
req.Header.Set("Content-Type", "application/json")
res, _ := http.DefaultClient.Do(req)مثال على الطلب
{
"coefficients": [
3,
-2,
0,
5
]
}مثال على الاستجابة
{
"task_id": "tsk_a1b2c3d4e5f6a1b2c3d4e5f6",
"type": "algebra.polynomial_degree",
"status": "queued",
"_links": {
"result": "/tasks/tsk_…/result"
}
}الواجهة غير متزامنة: تستلم task_id فور الإرسال، ويمكنك الاستعلام عن الحالة بمعدل طلب واحد في الثانية.
الأسعار
السعر معلن كما تراه: لا tokens ولا نظام نقاط؛ وإن فشلت المهمة فلن تُحاسَب عليها.
الأخطاء
| HTTP | الرمز | المعنى |
|---|---|---|
401 | unauthorized | مفتاح الوصول مفقود أو غير صالح؛ تحقق من ترويسة Bearer في طلبك. |
402 | insufficient_balance | رصيدك لا يكفي لتنفيذ هذه المهمة؛ أعد شحن الرصيد ثم أعد المحاولة. |
404 | unknown_type | نوع المهمة المطلوب غير موجود في الكتالوج — راجع الاسم المرسل في الطلب. |
429 | rate_limited | تجاوزت الحد المسموح من الطلبات؛ انتظر قليلًا ثم أعد المحاولة. |
ملاحظات تقنية
المعاملات غير العددية والقوائم الفارغة وقيم NaN أو Infinity تفشل بخطأ invalid_input واضح حتى لا تعامل الأنابيب القمامة كصفر بصمت. تشترك الأداة المجانية في المتصفح وواجهة API المدفوعة في دالة نقية واحدة، فلن تختلف عروض الصف ومفاتيح التصحيح والتجهيزات الآلية على نفس الإدخال. تسعير طلبات API الناجحة هو الأساس المنشور $0.002 لكل عنصر؛ إخفاقات التحقق لا تستهلك الرصيد المدفوع مسبقاً.
كيف تُعرَّف درجة كثيرة الحدود على قوائم المعاملات
هنا حقل degree العددي سالب واحد وis_zero_polynomial قيمته true حتى تتمكن واجهات البشر ومستهلِكو الآلة من التفرع دون تحليل أرقام سحرية وحدها. يجب أن تكون المعاملات منتهية؛ تُقبل السلاسل العددية في حقول النص، أما الكائنات والرموز الفارغة وNaN وInfinity فتُرفض بـ invalid_input.
ما الذي ترسلونه وما الذي تستلمونه
المصفوفات المفقودة أو الفارغة والمعاملات غير العددية وNaN وInfinity تفشل بـ invalid_input ولا تُحاسب. عند النجاح تعيد الاستجابة المعاملات المنظّفة بلا أصفار لاحقة، والدرجة الصحيحة، والمنطقي is_zero_polynomial، وleading_coefficient للحد الأعلى (صفر عندما تكون كثيرة الحدود هي الصفرية)، وعدد الحدود غير الصفرية، وسلسلة تعبير قابلة للطباعة، ودرجة_label قصيرة مثل constant أو linear أو quadratic أو cubic أو quartic أو عبارة عامة لدرجة n للدرجات الأعلى. فحوصات كلاسيكية: المعاملات ثلاثة، سالب اثنين، صفر، خمسة تعني ثلاثة ناقص اثنين x زائد خمسة x مكعب، إذن الدرجة ثلاثة والمعامل القائد خمسة؛ القائمة واحد، صفر، صفر هي الثابت واحد بعد الإزالة، الدرجة صفر؛ القائمة صفر، صفر، صفر هي كثيرة الحدود الصفرية بدرجة سالب واحد وis_zero_polynomial true. تسعير طلبات API الناجحة هو الأساس المنشور $0.002 لكل عنصر؛ إخفاقات التحقق لا تستهلك الرصيد المدفوع مسبقاً.
أين تظهر درجة كثيرة الحدود في العمل الحقيقي
يريد مؤلفو المناهج الذين يبنون دروساً تفاعلية نفس شكل JSON في ودجة المتصفح وAPI حتى تبقى أوراق العمل دون اتصال والمقيّمون الآليون متصلين متوافقين. لأن هذه القدرة محرك parse نقي، تسعير API هو الأساس المنشور $0.002 لكل عنصر ناجح والتحقق الفاشل لا يستهلك الرصيد.
حالات التكامل
ودجات المناهج وتجهيزات API
شغّلوا عقد الدرجة نفسه من نموذج متصفح مجاني ومن مجموعات انحدار حتى لا تختلف العروض عن مخرجات API المفوترة.
أسئلة تقنية
كم التكلفة؟
أداة المتصفح مجانية وتعمل محلياً. طلبات API تستخدم رصيد KIT المدفوع مسبقاً بمقدار $0.002 لكل عنصر ناجح؛ الإدخال غير الصالح لا يُحاسب.