Risolutore cubica

Un'equazione cubica è qualsiasi equazione polinomiale di grado tre scritta come a per x al cubo più b per x al quadrato più c per x più d uguale a zero quando il coefficiente dirigente a non è nullo. La forma chiusa classica di Cardano fornisce ancora ogni radice sui numeri complessi dopo una breve sequenza algebrica: divida per a per rendere monico il polinomio, sposti la variabile per rimuovere il termine quadratico, risolva la cubica depressa t al cubo più p t più q uguale a zero, quindi sposti indietro le tre soluzioni. Il segno del discriminante depresso classifica completamente il quadro: tre radici reali distinte, un pattern di radice reale multipla, oppure una radice reale abbinata a una coppia coniugata complessa. Quando a è zero, la richiesta viene rifiutata con un errore di validazione chiaro invece di trattare silenziosamente una quadratica come cubica.

Come il metodo di Cardano risolve una cubica generale

Parta dalla cubica reale generale a per x al cubo più b per x al quadrato più c per x più d uguale a zero e insistà che a sia non nullo affinché l'equazione abbia davvero grado tre. Divida per a per ottenere la forma monica x al cubo più A x al quadrato più B x più C uguale a zero.

La sostituzione x uguale a t meno A su tre rimuove il termine al quadrato e produce la cubica depressa t al cubo più p t più q uguale a zero, dove p e q sono polinomi elementari in A, B e C. Il discriminante di quella cubica depressa è Delta uguale al quadrato di q su due più il cubo di p su tre.

Quando Delta è positivo, le espressioni classiche di Cardano costruite da due radici cubiche e dalle radici cubiche non reali dell'unità producono una radice reale e una coppia coniugata complessa. Quando Delta è zero, tutte le radici sono reali e almeno due coincidono, recuperando i casi da manuale di radice doppia come un cubo perfetto o un fattore lineare al quadrato per un altro fattore lineare.

Quando Delta è negativo — il famoso casus irreducibilis — compaiono tre radici reali distinte, e il percorso di valutazione stabile usa l'identità trigonometrica con due volte la radice quadrata di meno p su tre per coseni di un argomento arccos di un terzo di angolo spostato di multipli di due pi su tre. Dopo aver conosciuto i tre valori di t, ogni radice viene spostata sottraendo A su tre, ripristinando le soluzioni del monico originale e quindi del polinomio scalato originale.

I coefficienti devono essere finiti; NaN e Infinity vengono rifiutati.

Cosa invia e cosa riceve in risposta

Invii quattro numeri finiti nei campi a, b, c e d che rappresentano i coefficienti di a per x al cubo più b per x al quadrato più c per x più d uguale a zero. Tutti e quattro i campi sono obbligatori. Quando a è zero o estremamente vicino a zero, la richiesta fallisce con un messaggio che il metodo di Cardano richiede un termine cubico non nullo, così i client possono passare a un risolutore quadratico invece di indovinare.

Per soluzioni puramente reali ogni parte immaginaria è zero; per spettri misti la coppia complessa è coniugata. Controlli classici da manuale: a uguale a uno, b uguale a meno sei, c uguale a undici, d uguale a meno sei con radici tre, due e uno; il caso di radice tripla depressa x al cubo uguale a zero; e cubiche con una reale e due complesse come x al cubo più x più uno uguale a zero.

Dove i risolutori di equazione cubica compaiono nel lavoro reale

I corsi di algebra delle scuole superiori e dell'università assegnano continuamente esercizi di Cardano, tabelle di classificazione per discriminante e confronti fattorizzare-o-formula; un unico oracolo affidabile che restituisce le tre radici con parti reale e immaginaria accelera la correzione e il montaggio delle demo.

I problemi di contest di programmazione e i riscaldamenti da colloquio spesso nascondono una cubica sotto vincoli di volume, modelli di costo cubico o forme depresse dopo una sostituzione, e gli ingegneri necessitano di una classificazione esatta tre-reali versus complesse invece di un NaN silenzioso da un radicale non controllato. La teoria del controllo e la progettazione meccanica risolvono equazioni caratteristiche cubiche per margini di stabilità e necessitano di ogni autovalore complesso di una matrice compagna tre per tre senza lasciare il percorso a forma chiusa.

Grafica, animazione e motori di gioco campionano curve di timing Bezier cubiche e risolvono radici di parametro di polinomi cubici lungo query di collisione o silhouette. Se in seguito Le servono solo la formula quadratica, soluzioni quartiche di Ferrari, sistemi di due equazioni polinomiali o fattorizzazione simbolica sugli interi, li tratti come intenti di ricerca e landing separati invece di sovraccaricare questa pagina del risolutore cubico Cardano.